【正文】 ?? 39。2+ C D 39。C D 39。F ( H L ) , ∴ ∠ D C F = ∠ D 39。D 39。D 39。青山區(qū)二模 ] 如圖 Z6 9 ① , 在正方形 A B C D 中 , E , F 分別為 BC , CD 的中點(diǎn) , 連接 AE , BF , 交點(diǎn)為 G. ( 1) 求證 : AE ⊥ BF 。 F = 2 x , 在 Rt △ F G C 中 , ∵ ∠ F G C = 90 176。. ( 3) 當(dāng) α= 60176。E D ,∴?? ???? ??=?? ???? 39。 圖 Z6 7 ( 2) 證明 : 如圖 ② 所示 . ∵ α= 30176。C F =α , ∴ △ B C D ≌△ A 39。B 。 B A =C A ( 3) 如圖 ③ , 若 FE 的延長(zhǎng)線不 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) N , CN= 1, C E =47, 求?? ???? ??的值 . 圖 Z6 6 ① 圖 Z6 6 ② 圖 Z6 6 ③ 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 解 : ( 1) 如圖 ① , ∵ 折疊后點(diǎn) A 落在 AB 邊上的點(diǎn) D 處 , ∴ EF ⊥ AB , △ A E F ≌△ D E F , ∴ S △AEF=S △DEF. ∵ S 四邊形ECBF= 3 S △EDF, ∴ S 四邊形ECBF= 3 S △AEF. ∵ S △ACB=S △AEF+S 四邊形ECBF= 4 S △AEF, ∴??△ ?? ?? ????△ ?? ?? ??=14. ∵ ∠ E A F = ∠ BAC , ∠ A F E = ∠ A C B = 90 176。 , ∴ s i n 4 5 176。 若丌存在 , 請(qǐng)說(shuō)明理由 . 圖 Z6 4 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 ( 3) 如圖所示 . ∵ AD ⊥ BC , MP ⊥ BC , ∴ ∠ N D P = ∠ M P C = 90 176。C 39。C 39。包頭模擬 ] 如圖 Z6 3, 在 Rt △ ABC 中 , 斜邊 AB= 5 c m , B C =a c m , A C =b c m , a b ,且 a , b 是方程 x2 ( m 1) x +m + 4 = 0 的兩根 . ( 1) 求 a 和 b 的值 . ( 2) △ A 39。 P R =12 2 95=95( c m2) . 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C = 4 c m , B C = 3 c m , 點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) ,速度為 1 c m / s , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 方向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 2 c m / s , 連接 PQ , 若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( s ) ,且 0 ≤ t ≤ 2 . ( 7) 是否存在某一時(shí)刻 t , 使線段 PQ 恰好把△ ABC 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分 ? 若存在 , 求出 t 的 值 。 若丌存在 , 說(shuō)明理由 . 圖 Z6 1 ⑤ 圖 Z6 1 ⑥ 圖 Z6 1 ⑦ 圖 Z6 1 ⑧ 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) ,速度為 1 cm / s , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 方向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 . (1 ) t 為何值時(shí) , PQ ∥ BC ? 圖 Z6 1 ① 解 : ( 1 ) 若 PQ ∥ BC , 則△ APQ ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 由題易知 : AB= 5, A C = 4, AP= 5 t , AQ= 2 t , ∴5 ??5=2 ??4, ∴ t=107. 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 9 0 176。 若丌存在 , 說(shuō)明理由 . 圖 Z6 1 ⑦ ( 7 ) 由 ( 5 ) ( 6 ) 知 , 丌存在 t 值同時(shí)把△ ABC 的周長(zhǎng)和面積平分 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 , AB= 5 cm , A C= 4 cm , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 PQ. 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( 單位 : s )(0 ≤ t ≤ 4) . (3 ) 當(dāng) t 為何值時(shí) , PQ ∥ BC ? 圖 Z6 2 (3 ) 當(dāng) PQ ∥ BC 時(shí) , △ APQ ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=??4, ∴ t=209. 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 2 如圖 Z6 2, 已知 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。B 39。 以 1 c m / s 的速度沿 BC 所在的直線向左移動(dòng) . ① 設(shè) x s 后△ A 39。 不△ ABC 開(kāi)始時(shí)完全重合 , 然后讓△ ABC 固定丌動(dòng) , 將△ A 39。 . 易得△ N D P ∽△ C P M , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴?? ??4 ??=??2 ??, N D =12 4 ?? . ∵ S 四邊形ANPM=S 四邊形ADPM S △NDP=12 ?? ?? + ?? ?? =?? ???? ??=?? ??1 + ??= 22. ∴ M N= 22(1 +t ) . ∵ 四邊形 A B CD 是平行四邊形 , ∴ AD ∥ B C. 又 ∵ MN ⊥ BC , ∴ MN ⊥ AD. ∴ S 四邊形AN PM=S △M AP+S △NAP=12AP , ∴ △ A E F ∽△ ABC , ∴??△ ?? ?? ????△ ?? ?? ??= ?? ???? ?? 2, ∴ ?? ???? ?? 2=14. 在 Rt △ A C B 中 , ∵ ∠ A C B = 90176。 BF , ∴85 5 = 4 BF ,∴ B F = 2, ∴ A F = 3, ∴?? ???? ??=32. 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 針 對(duì) 訓(xùn) 練 1 . [ 2022 ( 3) 當(dāng) α= 60176。C F , ∴ B D =A39。 , ∠ A B C = 45176。??, ∴ CD 時(shí) , 求 B 39。 , ∴ t a n ∠ F C G =?? ???? ??, ∴ C G = 3 x , ∴ 3 x +x = 1, ∴ x= 3 12, ∴ B 39。 ( 2) 將△ B C F 沿 BF 對(duì)折 , 得到△ B P F ( 如圖 ② ), 延長(zhǎng) FP 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) Q , 求 s i n ∠ B Q P 的值 。 交于點(diǎn) F. ( 1) 如圖 Z6 11 ① , 當(dāng) α= 60 176。=AD =B39。C F =12∠ D 39。 , B 39。2, ∴ A 39。=?? ???? 39。???? 39。D 39。B 39。,?? ?? = ?? ?? , ∴ Rt △ C D F ≌ Rt △ C D 39。 , ∴ A 39。C 不 AD 交于點(diǎn) E , AD 的延長(zhǎng)線不 A 39。 . 分別延長(zhǎng) BM 和 DN 交于點(diǎn) C , 得正方形 A B C D , 由 ( 2) 可知 , A H =AB =BC =C D =AD . 設(shè) A H =x , 則 M C =x 2, N C =x 3, 在 Rt △ M C N 中 , 由勾股定理 , 得 MN2=M C2+N C2, ∴ 52= ( x 2)2+ ( x 3)2, 解得x1= 6, x2= 1( 丌符合題意 , 舍去 ) . ∴ A H = 6 . 類型 2 幾何圖形中的圖形變換問(wèn)題 3 . [ 2022 G = F G = x , B 39。 分別交 AB , AC 于點(diǎn) E , F , 連接 B B 39。D ∴ △ B C D ∽△ B 39。B 。 . 又 ∵ ∠ B C D = ∠ A 39。 B 39。 , ∴ △ B H F ∽△ B C A , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, 即 HF ② 求 EF 的長(zhǎng) 。 ,∴ 在 Rt △ B NM 中 , ∠ B NM = 9 0 176。包頭樣題 ] 如圖 Z6 4, 已知在△ ABC 中 , A B =AC , AD ⊥ BC 于點(diǎn) D , 且 A D =BC = 8 厘米 , 直線 PM 從點(diǎn) C出發(fā)沿 CB 方向勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 1 厘米 / 秒 , 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持 PM ⊥ BC , 直線 PM 交 BC 于點(diǎn) P , 交 AC 于點(diǎn) M , 過(guò)點(diǎn) P 作 PQ ⊥ AB 于點(diǎn) Q , 交 AD 于點(diǎn) N , 連接 QM , 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是 t 秒 0 ?? 4 . ( 3) 設(shè)四邊形 A N P M 的面積為 S ( 厘米2), 求出 S 不 t 的函數(shù)關(guān)系式 . 是否存在某一時(shí)刻 t , 使 S 的值最大 ? 若存在 , 求出 t 的值 。B 39。B 39。 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 10) 當(dāng) t 為何值時(shí) , 四邊形 Q C B P 的面積最小 ? 并求出最小值 . 圖 Z6 2 ( 10 ) 要使四邊形 Q C B P 的面積最小 , 則△ A P Q 的面積應(yīng)最大 , 由 ( 8) 知當(dāng) t=52時(shí) , S △ AQP 最大 , 且最大值為158. ∴ 四邊形 Q C B P 面積的最小值為 6 158=338( c m 2 ) . 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 針 對(duì) 訓(xùn) 練 1 . [ 2022 , AB= 5 c m , A C = 4 c m , 點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 它們的速度均為 1 c m / s , 連接 P Q . 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( 單位 : s ) ( 0 ≤ t ≤ 4) . ( 2) 當(dāng) t= 2 時(shí) , 求△ APQ 的面積 . 圖 Z6 2 ( 2) 當(dāng) t= 2 時(shí) , 如圖 ① , 過(guò)點(diǎn) P 作 PR ⊥ AC 于點(diǎn) R , 則△ A P R ∽△ ABC , ∴?? ???? ??=?? ???? ??, ∴5 ??5=?? ??3, ∴5 25=?? ??3, ∴ P R =95, ∴ S △ APQ =12AQ 52, t 1 =5 + 52( 舍 ), t 2 =5 52. ∴ 當(dāng) t=5 52時(shí) , S △ APQ =12S △ ABC . 類型 1 幾何圖形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題 例 1 已知 : 如圖 Z6 1, 在 Rt △ ABC 中 , ∠ C= 90176。 是菱形 ?若存在 , 求此時(shí)菱形的面積 。 , A C= 4 cm , B C= 3 c m , 點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng) ,速度為 1 cm / s , 同時(shí)點(diǎn) Q 從點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 方向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng) , 速度為 2 cm / s , 連接 PQ , 若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t ( s ),且 0 ≤ t ≤ 2 .