福建省南平市中考數(shù)學(xué)試卷(解析)-資料下載頁
2025-06-07 22:03本頁面
【正文】 =25x﹣300；②商店要不虧本，則y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：當(dāng)x的值至少為12時，商店才不會虧本．點評： 本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用；根據(jù)題意得出等量關(guān)系列出方程組或得出函數(shù)關(guān)系式或由不等關(guān)系得出不等式是解決問題的關(guān)鍵． 24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx的對稱軸為x=，且經(jīng)過點A（2，1），點P是拋物線上的動點，P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜2），過點P作PB⊥x軸，垂足為B，PB交OA于點C，點O關(guān)于直線PB的對稱點為D，連接CD，AD，過點A作AE⊥x軸，垂足為E．（1）求拋物線的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示點C，D的坐標(biāo)：C（ m ， m?。珼（ 2m ， 0?。?；②當(dāng)m= 1 時，△ACD的周長最??；（3）若△ACD為等腰三角形，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．考點： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）根據(jù)拋物線對稱軸公式和代入法可得關(guān)于a，b的方程組，解方程組可得拋物線的解析式；（2）①設(shè)OA所在的直線解析式為y=kx，將點A（2，1）代入求得OA所在的解析式為y=x，因為PC⊥x軸，所以C得橫坐標(biāo)與P的橫坐標(biāo)相同，為m，令x=m，則y=m，所以得出點C（m，m），又點O、D關(guān)于直線PB的對稱，所以由中點坐標(biāo)公式可得點D的橫坐標(biāo)為2m，則點D的坐標(biāo)為（2m，0）；②因為O與D關(guān)于直線PB的對稱，所以PB垂直平分OD，則CO=CD，因為，△ACD的周長=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以當(dāng)AD最小時，△ACD的周長最小；根據(jù)垂線段最短，可知此時點D與E重合，其橫坐標(biāo)為2，故m=1．（3）由中垂線得出CD=OC，再將OC、AC、AD用m表示，然后分情況討論分別得到關(guān)于m的方程，解得m，再根據(jù)已知條件選取復(fù)合體藝的點P坐標(biāo)即可．解答： 解：（1）依題意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依題意，得B（m，0）在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D關(guān)于直線PC對稱，∴CD=OC=m在RT△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三種情況討論：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，則有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，則有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）綜上所述，當(dāng)△ACD為等腰三角形是，點P的坐標(biāo)分別為P1（1，），P2（，），P3（，）．點評： 此題看出二次函數(shù)的綜合運用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，中心對稱，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，滲透分類討論思想． 25．定義：底與腰的比是的等腰三角形叫做黃金等腰三角形．如圖，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36176。，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）證明：AB2=AA1?AC；（2）探究：△ABC是否為黃金等腰三角形？請說明理由；（提示：此處不妨設(shè)AC=1）（3）應(yīng)用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此規(guī)律操作下去，用含a，n的代數(shù)式表示An﹣1An．（n為大于1的整數(shù)，直接回答，不必說明理由）考點： 相似形綜合題．分析： （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ABC∽△AA1B，進(jìn)而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，進(jìn)而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求進(jìn)而得出AA1，A1A2的長，進(jìn)而得出其長度變化規(guī)律求出即可．解答： （1）證明：∵AC=BC，∠C=36176。，∴∠A=∠ABC=72176。，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36176。，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1?AC；（2）解：△ABC是黃金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC?AA1，設(shè)AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36176。，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，設(shè)AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合題意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黃金等腰三角形；（3）解：由（2）得；當(dāng)AC=a，則AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3A．故An﹣1An=A．點評： 此題主要考查了相似形綜合以及等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出AA1，A1A2的長是解題關(guān)鍵． 第25頁（共25頁）
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