【正文】 算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng).3. 據(jù)調(diào)查某村莊中一對夫妻無孩子、有1個孩子、，．若該村共有400對夫妻，試求：(1) 400對夫妻的孩子總數(shù)超過450的概率；(2) 只有1個孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率．解：(1) 設(shè)第k對夫妻 孩子數(shù)為X k ，則X k的分布律為X k012p則， (2) 設(shè)Y為只有一個孩子的夫妻對數(shù)，則Y ~ B (400,)， ．（B）1. 設(shè)隨機變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：（提示：利用Chebyshev不等式）．證明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式 == 2. 設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律．Xn0pk1/41/21/4 證明： ，又因為獨立且同分布，所以服從切比雪夫大數(shù)定律.3. 設(shè)隨機變量序列獨立同分布，又存在（n=1,2,…），證明：．（提示：利用Chebyshev大數(shù)定律）證明：因為隨機變量序列獨立同分布，所以也獨立同分布，存在由Chebyshev大數(shù)定律，第六章三、解答題 1. 已知總體X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一個樣本，求 (1) X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律。 (2) 的分布律。 (3) 解：因為X的分布律為且X1，X2，…，Xn均于X獨立同分布，所以 （1）X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為 （2）因為，所以. （3）因為，所以 2. 從總體N(52，)中隨機抽取一個容量為36的樣本，． 解：因為X~N(52，)，所以 ， 3. 某種燈管壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布X ～ N(m，s 2)，為來自總體X的樣本均值． (1) 求與m的偏差大于的概率． (2) 若m未知，s 2 = 100，現(xiàn)隨機取100只這種燈管，求與m的偏差小于1的概率． 解：因為X～N(m，s 2)，所以 (1) (2) 因為s 2 = 100，n=100，所以 4. 在天平上反復(fù)稱量重量為w的物體，每次稱量結(jié)果獨立同服從N(w，)，若以表示n次稱重的算術(shù)平均，則為使，n至少應(yīng)該是多少？ 解：X1，X2，…，Xn為稱重的結(jié)果，則X1，X2，…，Xn相互對立且均服從N(w，)，于是，欲使，須使，即解得查表得由于是遞增函數(shù)，須使解得n,故n至少為16. 5. 從正態(tài)總體中抽取樣本X1，X2，…，X10 (1) 已知m = 0，求； (2) m未知，求． 解：（1）因為Xi～N(0， 2)，即,令，則由于查表知，所以. (2) ）因為Xi～N(m， 2)，即，所以, , =，查表知，所以 6. 已知X ~ t (n)，求證X 2 ~ F(1，n)． 證明：因為X ~ t (n)，存在Y ～ N(0，1)，Z ～ c2(n)，Y與Z獨立，使，由于，且Y2與Z獨立，所以.第七章三、解答題 1. 設(shè)總體服從幾何分布，分布律為，()求的矩估計量． 解：因為，所以X的一階矩用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到所以的矩估計量為 2. 求均勻分布中參數(shù)的矩估計量． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，總體X的一階、二階矩分別為m2 = E(X 2) = D(X) + [E(X)] 2= 用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩m1和m2，得到解得的矩估計量為 3. 設(shè)總體的概率密度為，是來自的簡單隨機樣本，求參數(shù)的矩估計量． 解：總體X的一階為用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到 4. 設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來自的簡單隨機樣本，求和的矩估計量． 解：總體X的一階為總體X的二階為用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩m1和m2，得到解得和的矩估計量為，. 5. 設(shè)，m已知，未知，是來自的簡單隨機樣本，求的最大似然估計量． 解：由于X的分布律為基于樣本觀測值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為解得的最大似然估計值為的最大似然估計量為 6. 設(shè)總體的概率密度為，今從X中抽取10個個體，得數(shù)據(jù)如下:1050110010801200130012501340106011501150試用最大似然估計法估計． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，基于樣本觀測值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為當時，令，解得．考慮到所以，θ的最大似然估計值為將數(shù)據(jù)代入計算， 7. 設(shè)某電子元件的使用壽命的概率密度為為未知參數(shù)，是的一組樣本觀測值，求的最大似然估計值． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，基于樣本觀測值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為容易看出θ越大L(q)越大，在約束下，即為θ最大似然估計值。 8. 設(shè)是取自總體N(m，1)的一個樣本，試證下面三個估計量均為m的無偏估計量，并確定最有效的一個．， 證明：因為獨立均服從N(m，1)，且.所以，均為m的無偏估計量。又因為所以最有效。 9. 設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為，是來自的簡單隨機樣本．是任意常數(shù),證明是m 的無偏估計量．證明：因為Xi的數(shù)學(xué)期望均為，所以故是m 的無偏估計量． 10. 設(shè)總體是來自X的一個樣本． (1) 試確定常數(shù)c，使為s 2的無偏估計。 (2) 試確定常數(shù)c，使為m 2的無偏估計． 解：（1）因為所以當時，為s 2的無偏估計。 （2）因為所以當時，為s 2的無偏估計。 11. 設(shè)某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為，，，，設(shè)干燥時間總體服從N(m ，s 2)；在下面兩種情況下，求m ． (1) 由以往的經(jīng)驗知s = (小時)。 (2) s 未知． 解：（1）由于s = ，求m 的置信區(qū)間由公式計算，其中n=9，a=，，代入計算得m （，）. （2）由于s 未知，求m 的置信區(qū)間由公式計算，其中n=9，a=，=，，代入計算得m （，） 12. 某機器生產(chǎn)圓筒狀的金屬品，抽出9個樣品，，，，，求此機器所生產(chǎn)的產(chǎn)品，平均直徑的置信水平為99%的置信區(qū)間．假設(shè)產(chǎn)品直徑近似服從正態(tài)分布． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于s2未知，m 的置信區(qū)間為，其中n=9，a=，，代入計算得m 的置信水平為99%的置信區(qū)間為（，）. 13. 某燈泡廠從當天生產(chǎn)的燈泡中隨機抽取9只進行壽命測試，取得數(shù)據(jù)如下（單位：小時）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布，試求當天生產(chǎn)的全部燈泡的平均壽命的置信水平為95%的置信區(qū)間． 解：設(shè)X~N(m,s2),由于s未知，m 的置信區(qū)間為，其中n=9，a=，=，代入計算得m 的置信水平為95%的置信區(qū)間為（，）. 14. 假設(shè)某種香煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽取此種香煙8支為一樣本，樣本標準差s = ，． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于m未知，s2的置信區(qū)間為其中n=8，a=，s = ，代入計算得m 的置信水平為95%的置信區(qū)間為（，）.15. 從某汽車電池制造廠生產(chǎn)的電池中隨機抽取5個，，，求電池壽命方差的置信水平為95%的置信區(qū)間，假設(shè)電池壽命近似服從正態(tài)分布． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于m未知，s2的置信區(qū)間為其中n=5，a=，，代入計算得方差的置信水平為95%的置信區(qū)間為（，）. 16. 設(shè)使用兩種治療嚴重膀胱疾病的藥物，其治療所需時間（以天計）均服從正態(tài)分布．試驗數(shù)據(jù)如下: 使用第一種藥物 使用第二種藥物 假設(shè)兩正態(tài)總體的方差相等，求使用兩種藥物平均治療時間之差的置信水平為99%的置信區(qū)間． 解：設(shè)兩正態(tài)總體分別為X~N(m1 , s12)，Y~N(m2 , s22)，由于s12= s22未知，的置信區(qū)間為，其中 查t分布分位數(shù)表知ta/2(n1+n2 – 2) = (28) = ．（，2）． 17. 測得兩個民族中各8位成年人的身高（單位:cm）如下 A民族： B民族： 假設(shè)兩正態(tài)總體的方差相等，求兩個民族平均身高之差m1 – m2的置信水平為90%的置信區(qū)間． 解：由于總體方差相等但未知，可采用計算m1 – m2的置信區(qū)間．其中，由兩個民族的觀測數(shù)據(jù)計算得 查t分布分位數(shù)表知ta/2(n1+n2 – 2) = (14) = ．故得m1 – (，)． 18. 工人和機器人獨立操作在鋼部件上鉆孔，鉆孔深度分別服從N(m1，s12)和N(m2，s22)，m1，m2，s12，s22均未知，今測得部分鉆孔深度（單位:cm）如下 工人操作： 機器人操作: ． 解：由于m1和m2未知，可采用計算的置信區(qū)間． 由兩樣本觀測值計算得，a = ，查F分布的分位數(shù)表知(6,7) = ，(6,7) = ． 19. ． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于s2未知，m 的的單側(cè)置信下限可由下面公式計算得到其中n=9，a=，，代入計算得m 的置信水平為95%的單側(cè)置信下限：= 20. ． 解：由于X～N(m，s2)且m未知，s 2的單側(cè)置信上限為其中n=8，a=，s = ，代入計算得m 的置信水平為99%的單側(cè)置信區(qū)間置信上限為. 21. 設(shè)總體，已知，要使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間長度不大于L，問應(yīng)抽取多大容量的樣本？ 解：由于，已知，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為令置信區(qū)間為長度，解得.53