【正文】 算，才可以有95%的把握保證一年的供應(yīng).3. 據(jù)調(diào)查某村莊中一對(duì)夫妻無(wú)孩子、有1個(gè)孩子、，．若該村共有400對(duì)夫妻，試求：(1) 400對(duì)夫妻的孩子總數(shù)超過(guò)450的概率；(2) 只有1個(gè)孩子的夫妻數(shù)不多于340的概率．解：(1) 設(shè)第k對(duì)夫妻 孩子數(shù)為X k ，則X k的分布律為X k012p則， (2) 設(shè)Y為只有一個(gè)孩子的夫妻對(duì)數(shù)，則Y ~ B (400,)， ．（B）1. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，m為正整數(shù)，證明：（提示：利用Chebyshev不等式）．證明：E（X）=f(x)d=，由切比雪夫不等式 == 2. 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，其共同的分布如下表所示，證明服從Chebyshev大數(shù)定律．Xn0pk1/41/21/4 證明： ，又因?yàn)楠?dú)立且同分布，所以服從切比雪夫大數(shù)定律.3. 設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，又存在（n=1,2,…），證明：．（提示：利用Chebyshev大數(shù)定律）證明：因?yàn)殡S機(jī)變量序列獨(dú)立同分布，所以也獨(dú)立同分布，存在由Chebyshev大數(shù)定律，第六章三、解答題 1. 已知總體X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一個(gè)樣本，求 (1) X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律。 (2) 的分布律。 (3) 解：因?yàn)閄的分布律為且X1，X2，…，Xn均于X獨(dú)立同分布，所以 （1）X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為 （2）因?yàn)?，所? （3）因?yàn)椋? 2. 從總體N(52，)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為36的樣本，． 解：因?yàn)閄~N(52，)，所以 ， 3. 某種燈管壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布X ～ N(m，s 2)，為來(lái)自總體X的樣本均值． (1) 求與m的偏差大于的概率． (2) 若m未知，s 2 = 100，現(xiàn)隨機(jī)取100只這種燈管，求與m的偏差小于1的概率． 解：因?yàn)閄～N(m，s 2)，所以 (1) (2) 因?yàn)閟 2 = 100，n=100，所以 4. 在天平上反復(fù)稱(chēng)量重量為w的物體，每次稱(chēng)量結(jié)果獨(dú)立同服從N(w，)，若以表示n次稱(chēng)重的算術(shù)平均，則為使，n至少應(yīng)該是多少？ 解：X1，X2，…，Xn為稱(chēng)重的結(jié)果，則X1，X2，…，Xn相互對(duì)立且均服從N(w，)，于是，欲使，須使，即解得查表得由于是遞增函數(shù)，須使解得n,故n至少為16. 5. 從正態(tài)總體中抽取樣本X1，X2，…，X10 (1) 已知m = 0，求； (2) m未知，求． 解：（1）因?yàn)閄i～N(0， 2)，即,令，則由于查表知，所以. (2) ）因?yàn)閄i～N(m， 2)，即，所以, , =，查表知，所以 6. 已知X ~ t (n)，求證X 2 ~ F(1，n)． 證明：因?yàn)閄 ~ t (n)，存在Y ～ N(0，1)，Z ～ c2(n)，Y與Z獨(dú)立，使，由于，且Y2與Z獨(dú)立，所以.第七章三、解答題 1. 設(shè)總體服從幾何分布，分布律為，()求的矩估計(jì)量． 解：因?yàn)椋訶的一階矩用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到所以的矩估計(jì)量為 2. 求均勻分布中參數(shù)的矩估計(jì)量． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，總體X的一階、二階矩分別為m2 = E(X 2) = D(X) + [E(X)] 2= 用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩m1和m2，得到解得的矩估計(jì)量為 3. 設(shè)總體的概率密度為，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量． 解：總體X的一階為用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到 4. 設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求和的矩估計(jì)量． 解：總體X的一階為總體X的二階為用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩m1和m2，得到解得和的矩估計(jì)量為，. 5. 設(shè)，m已知，未知，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計(jì)量． 解：由于X的分布律為基于樣本觀(guān)測(cè)值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為解得的最大似然估計(jì)值為的最大似然估計(jì)量為 6. 設(shè)總體的概率密度為，今從X中抽取10個(gè)個(gè)體，得數(shù)據(jù)如下:1050110010801200130012501340106011501150試用最大似然估計(jì)法估計(jì)． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，基于樣本觀(guān)測(cè)值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為當(dāng)時(shí)，令，解得．考慮到所以，θ的最大似然估計(jì)值為將數(shù)據(jù)代入計(jì)算， 7. 設(shè)某電子元件的使用壽命的概率密度為為未知參數(shù)，是的一組樣本觀(guān)測(cè)值，求的最大似然估計(jì)值． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個(gè)樣本，基于樣本觀(guān)測(cè)值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為容易看出θ越大L(q)越大，在約束下，即為θ最大似然估計(jì)值。 8. 設(shè)是取自總體N(m，1)的一個(gè)樣本，試證下面三個(gè)估計(jì)量均為m的無(wú)偏估計(jì)量，并確定最有效的一個(gè)．， 證明：因?yàn)楠?dú)立均服從N(m，1)，且.所以，均為m的無(wú)偏估計(jì)量。又因?yàn)樗宰钣行А? 9. 設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為，是來(lái)自的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．是任意常數(shù),證明是m 的無(wú)偏估計(jì)量．證明：因?yàn)閄i的數(shù)學(xué)期望均為，所以故是m 的無(wú)偏估計(jì)量． 10. 設(shè)總體是來(lái)自X的一個(gè)樣本． (1) 試確定常數(shù)c，使為s 2的無(wú)偏估計(jì)。 (2) 試確定常數(shù)c，使為m 2的無(wú)偏估計(jì)． 解：（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，為s 2的無(wú)偏估計(jì)。 （2）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，為s 2的無(wú)偏估計(jì)。 11. 設(shè)某種清漆的9個(gè)樣品，其干燥時(shí)間（以小時(shí)計(jì)）分別為，，，，設(shè)干燥時(shí)間總體服從N(m ，s 2)；在下面兩種情況下，求m ． (1) 由以往的經(jīng)驗(yàn)知s = (小時(shí))。 (2) s 未知． 解：（1）由于s = ，求m 的置信區(qū)間由公式計(jì)算，其中n=9，a=，，代入計(jì)算得m （，）. （2）由于s 未知，求m 的置信區(qū)間由公式計(jì)算，其中n=9，a=，=，，代入計(jì)算得m （，） 12. 某機(jī)器生產(chǎn)圓筒狀的金屬品，抽出9個(gè)樣品，，，，，求此機(jī)器所生產(chǎn)的產(chǎn)品，平均直徑的置信水平為99%的置信區(qū)間．假設(shè)產(chǎn)品直徑近似服從正態(tài)分布． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于s2未知，m 的置信區(qū)間為，其中n=9，a=，，代入計(jì)算得m 的置信水平為99%的置信區(qū)間為（，）. 13. 某燈泡廠(chǎng)從當(dāng)天生產(chǎn)的燈泡中隨機(jī)抽取9只進(jìn)行壽命測(cè)試，取得數(shù)據(jù)如下（單位：小時(shí)）：1050，1100，1080，1120，1250，1040，1130，1300，1200．設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布，試求當(dāng)天生產(chǎn)的全部燈泡的平均壽命的置信水平為95%的置信區(qū)間． 解：設(shè)X~N(m,s2),由于s未知，m 的置信區(qū)間為，其中n=9，a=，=，代入計(jì)算得m 的置信水平為95%的置信區(qū)間為（，）. 14. 假設(shè)某種香煙的尼古丁含量服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取此種香煙8支為一樣本，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s = ，． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于m未知，s2的置信區(qū)間為其中n=8，a=，s = ，代入計(jì)算得m 的置信水平為95%的置信區(qū)間為（，）.15. 從某汽車(chē)電池制造廠(chǎng)生產(chǎn)的電池中隨機(jī)抽取5個(gè)，，，求電池壽命方差的置信水平為95%的置信區(qū)間，假設(shè)電池壽命近似服從正態(tài)分布． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于m未知，s2的置信區(qū)間為其中n=5，a=，，代入計(jì)算得方差的置信水平為95%的置信區(qū)間為（，）. 16. 設(shè)使用兩種治療嚴(yán)重膀胱疾病的藥物，其治療所需時(shí)間（以天計(jì)）均服從正態(tài)分布．試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下: 使用第一種藥物 使用第二種藥物 假設(shè)兩正態(tài)總體的方差相等，求使用兩種藥物平均治療時(shí)間之差的置信水平為99%的置信區(qū)間． 解：設(shè)兩正態(tài)總體分別為X~N(m1 , s12)，Y~N(m2 , s22)，由于s12= s22未知，的置信區(qū)間為，其中 查t分布分位數(shù)表知ta/2(n1+n2 – 2) = (28) = ．（，2）． 17. 測(cè)得兩個(gè)民族中各8位成年人的身高（單位:cm）如下 A民族： B民族： 假設(shè)兩正態(tài)總體的方差相等，求兩個(gè)民族平均身高之差m1 – m2的置信水平為90%的置信區(qū)間． 解：由于總體方差相等但未知，可采用計(jì)算m1 – m2的置信區(qū)間．其中，由兩個(gè)民族的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得 查t分布分位數(shù)表知ta/2(n1+n2 – 2) = (14) = ．故得m1 – (，)． 18. 工人和機(jī)器人獨(dú)立操作在鋼部件上鉆孔，鉆孔深度分別服從N(m1，s12)和N(m2，s22)，m1，m2，s12，s22均未知，今測(cè)得部分鉆孔深度（單位:cm）如下 工人操作： 機(jī)器人操作: ． 解：由于m1和m2未知，可采用計(jì)算的置信區(qū)間． 由兩樣本觀(guān)測(cè)值計(jì)算得，a = ，查F分布的分位數(shù)表知(6,7) = ，(6,7) = ． 19. ． 解：設(shè)X~N(m , s2),由于s2未知，m 的的單側(cè)置信下限可由下面公式計(jì)算得到其中n=9，a=，，代入計(jì)算得m 的置信水平為95%的單側(cè)置信下限：= 20. ． 解：由于X～N(m，s2)且m未知，s 2的單側(cè)置信上限為其中n=8，a=，s = ，代入計(jì)算得m 的置信水平為99%的單側(cè)置信區(qū)間置信上限為. 21. 設(shè)總體，已知，要使總體均值的置信水平為的置信區(qū)間長(zhǎng)度不大于L，問(wèn)應(yīng)抽取多大容量的樣本？ 解：由于，已知，總體均值的置信水平為的置信區(qū)間為令置信區(qū)間為長(zhǎng)度，解得.53