【正文】 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3。1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/143 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=得P(AB)=1/8由P(A|B)=得P(B)=1/4(X,Y)取到的所有可能數(shù)對為(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),則P{X=0,Y=0}=)=P(A∪B)=1PA∪B =1P(A)P(B)+P(AB)=5/8P{X=0,Y=1}=P(AB)=P(BA)=P(B)P(AB)=1/8P{X=1,Y=0}=P(AB)=P(AB)=P(A)P(AB)=1/8P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8：(1)由歸一性知：1=∞+∞∞+∞fx,ydxdy=0101Axydxdy=A4, 故A=4(2)P{X=Y}=0(3)P{XY}=01x14xydydx=12 (4)F(x,y)= ∞x∞yf(u,v)dudv=0,x0或y0 40x0yuvdudv,0≤x≤1,0≤y140x01uvdudv,0≤x≤1,y140y01uvdudv,x1,0≤y11,x≥1,y≥1即F(x,y)=0，x0或y0x2y2,0≤x≤1,0≤y1x2,0≤x≤1,y1y2,x1,0≤y11,x≥1,y≥1：P{X+Y179。0時， 當(dāng)y0時，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi(X,Y)(0,1)(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(1,1)(2,1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)100101101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為Z012Pk W 101Pj 14 解： 由獨立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為則P{Z=1}=P{X163。0時，從而，(2) F(1/2,4)=P{X163。4}=P{2163。 P{X=1}P{Y=0}5 解：X與Y相互獨立，利用卷積公式計算 ：(X,Y)～Ｕ(G)設(shè)F(x)和f(s)分別表示S=XY的分布函數(shù)和密度函數(shù)F(s)=P{XYs}s0時，F(xiàn)s(s)=0s179。u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y163。FY(u1)+180。 當(dāng)z179。1/2|X=0}=P{Y163。z|X=1}+P{X=0}P{X+Y163。z}=P{X=1}P{1+Y163。 當(dāng)z179。0時，所以，Z的概率密度為 第四章4三、解答題1. 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為X– 202pi求，．解：E (X ) = = +0+2= E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 2. 同時擲八顆骰子，求八顆骰子所擲出的點數(shù)和的數(shù)學(xué)期望．解：記擲1顆骰子所擲出的點數(shù)為Xi，則Xi 的分布律為記擲8顆骰子所擲出的點數(shù)為X ，同時擲8顆骰子，相當(dāng)于作了8次獨立重復(fù)的試驗，E (Xi ) =1/6(1+2+3+4+5+6)=21/6E (X ) =821/3=283. 某圖書館的讀者借閱甲種圖書的概率為p1，借閱乙種圖書的概率為p2，設(shè)每人借閱甲乙圖書的行為相互獨立，讀者之間的行為也是相互獨立的． (1) 某天恰有n個讀者，求借閱甲種圖書的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．(2) 某天恰有n個讀者，求甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．解：(1) 設(shè)借閱甲種圖書的人數(shù)為X ，則X~B(n, p1),所以E (X )= n p1(2) 設(shè)甲乙兩種圖書至少借閱一種的人數(shù)為Y , 則Y ~B(n, p),記A ={借甲種圖書}， B ={借乙種圖書}，則p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 p1 p2所以E (Y )= n (p1+ p2 p1 p2 )4. 將n個考生的的錄取通知書分別裝入n個信封，在每個信封上任意寫上一個考生的姓名、地址發(fā)出，用X表示n個考生中收到自己通知書的人數(shù)，求E(X)．解：依題意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.5. 設(shè)，且，求E(X)．解：由題意知X～P（），則X的分布律P =，k = 1,2,...又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6.6. 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為問X的數(shù)學(xué)期望是否存在？解：因為級數(shù)， 而發(fā)散，所以X的數(shù)學(xué)期望不存在.7. 某城市一天的用電量X（十萬度計）是一個隨機(jī)變量，其概率密度為求一天的平均耗電量． 解：E(X) ==6. 8. 設(shè)某種家電的壽命X（以年計）是一個隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為求這種家電的平均壽命E(X)．解：由題意知，隨機(jī)變量X的概率密度為 當(dāng)5時， ，當(dāng)163。解：因為X～P(l)，由契比謝夫不等式可得2. 設(shè)E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = – ，試根據(jù)契比謝夫不等式估計P{|X + Y | 179。5. ，先對100個病人進(jìn)行這種手術(shù)，用X記手術(shù)成功的人數(shù)，求P{84 X 95}．解：依題意, X ~ B（100，），則E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其結(jié)帳柜臺替顧客服務(wù)的時間（以分鐘計）是相互獨立的隨機(jī)變量，方差為1．求對100位顧客的總服務(wù)時間不多于2小時的概率．解：設(shè)柜臺替第i位顧客服務(wù)的時間為X i ，i = 1,2,3.....100.則X i ，i = 1,2,3.....100獨立同分布，且E（X i）=，D(X i )=1，所以 .7. 已知筆記本電腦中某種配件的合格率僅為80%，某大型電腦廠商月生產(chǎn)筆記本電腦10000臺，%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件，問：此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買該種配件多少件？解：設(shè)此生產(chǎn)廠商每月至少應(yīng)購買n件該種配件，其中合格品數(shù)為X，則X ~ B(n，), =P{X179。 (3) 解：因為X的分布律為且X1，X2，…，Xn均于X獨立同分布，所以 （1）X1，X2，…，Xn的聯(lián)合分布律為 （2）因為，所以. （3）因為，所以 2. 從總體N(52，)中隨機(jī)抽取一個容量為36的樣本，． 解：因為X~N(52，)，所以 ， 3. 某種燈管壽命X（以小時計）服從正態(tài)分布X ～ N(m，s 2)，為來自總體X的樣本均值． (1) 求與m的偏差大于的概率． (2) 若m未知，s 2 = 100，現(xiàn)隨機(jī)取100只這種燈管，求與m的偏差小于1的概率． 解：因為X～N(m，s 2)，所以 (1) (2) 因為s 2 = 100，n=100，所以 4. 在天平上反復(fù)稱量重量為w的物體，每次稱量結(jié)果獨立同服從N(w，)，若以表示n次稱重的算術(shù)平均，則為使，n至少應(yīng)該是多少？ 解：X1，X2，…，Xn為稱重的結(jié)果，則X1，X2，…，Xn相互對立且均服從N(w，)，于是，欲使，須使，即解得查表得由于是遞增函數(shù)，須使解得n,故n至少為16. 5. 從正態(tài)總體中抽取樣本X1，X2，…，X10 (1) 已知m = 0，求； (2) m未知，求． 解：（1）因為Xi～N(0， 2)，即,令，則由于查表知，所以. (2) ）因為Xi～N(m， 2)，即，所以, , =，查表知，所以 6. 已知X ~ t (n)，求證X 2 ~ F(1，n)． 證明：因為X ~ t (n)，存在Y ～ N(0，1)，Z ～ c2(n)，Y與Z獨立，使，由于，且Y2與Z獨立，所以.第七章三、解答題 1. 設(shè)總體服從幾何分布，分布律為，()求的矩估計量． 解：因為，所以X的一階矩用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到所以的矩估計量為 2. 求均勻分布中參數(shù)的矩估計量． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，總體X的一階、二階矩分別為m2 = E(X 2) = D(X) + [E(X)] 2= 用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩m1和m2，得到解得的矩估計量為 3. 設(shè)總體的概率密度為，是來自的簡單隨機(jī)樣本，求參數(shù)的矩估計量． 解：總體X的一階為用樣本的一階A1=代替總體X的一階矩E(X)得到 4. 設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)，是來自的簡單隨機(jī)樣本，求和的矩估計量． 解：總體X的一階為總體X的二階為用樣本的一階、二階矩A1和A2分別代替總體的一階、二階矩m1和m2，得到解得和的矩估計量為，. 5. 設(shè)，m已知，未知，是來自的簡單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計量． 解：由于X的分布律為基于樣本觀測值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為解得的最大似然估計值為的最大似然估計量為 6. 設(shè)總體的概率密度為，今從X中抽取10個個體，得數(shù)據(jù)如下:1050110010801200130012501340106011501150試用最大似然估計法估計． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，基于樣本觀測值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為當(dāng)時，令，解得．考慮到所以，θ的最大似然估計值為將數(shù)據(jù)代入計算， 7. 設(shè)某電子元件的使用壽命的概率密度為為未知參數(shù)，是的一組樣本觀測值，求的最大似然估計值． 解：設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的一個樣本，基于樣本觀測值x1，x2，…，xn的似然函數(shù)為容易看出θ越大L(q)越大，在約束下，即為θ最大似然估計值。 (2) 試確定常數(shù)c，使為m 2的無偏估計． 解：（1）因為所以當(dāng)時，為s 2的