【正文】 53概率論習題答案第1章 三、解答題 5． 從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？ 解：顯然總取法有種，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法二：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法三：分兩種情況考慮：+ 其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有1雙配對再除去重復部分：法五：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件： 其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為 6．在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀念章，任取3人記錄其紀念章的號碼．求： (1) 求最小號碼為5的概率； (2) 求最大號碼為5的概率． 解：(1) 法一：，法二： (2) 法二：，法二： 7．將3個球隨機地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率． 解：設M1, M2, M3表示杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的事件，則 , , 8．設5個產(chǎn)品中有3個合格品，2個不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少？ 解：設M2, M1, M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則 , 9．口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率． 解：設M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則.所以 10． 若在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率． 解：這是一個幾何概型問題．以x和y表示任取兩個數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 任取兩個數(shù)的所有結果構成樣本空間W = {(x，y)：0 163。 x，y 163。 1} 事件A =“兩數(shù)之和小于6/5”= {(x，y) 206。 W ： x + y 163。 6/5}因此．圖？ 11．隨機地向半圓（為常數(shù)）內(nèi)擲一點，點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點和該點的連線與軸的夾角小于的概率． 解：這是一個幾何概型問題．以x和y表示隨機地向半圓內(nèi)擲一點的坐標，q表示原點和該點的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標系，如圖. 隨機地向半圓內(nèi)擲一點的所有結果構成樣本空間 W={(x，y)：} 事件A =“原點和該點的連線與軸的夾角小于” ={(x，y)：}因此． 12．已知，求． 解： 13．設10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少？ 解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應理解為求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。 設A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”；， 14．有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少？已知上述從第2個箱子中取出的球是白球，則從第1個箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：設A=“從第1個箱子中取出的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中取出的1個球是白球”，則，由全概率公式得由貝葉斯公式得 15．將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？ 解：設M=“原發(fā)信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由貝葉斯公式得 16．三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？ 解：設Ai=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為 17．設事件A與B相互獨立，已知P(A) = ，P(A∪B) = ，求. 解：由于A與B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A∪B)=P(A)+ P(B) P(AB)= P(A)+ P(B) P(A)P(B)將P(A) = ，P(A∪B) = P(B) = ，所以或者,由于A與B相互獨立,所以A與相互獨立，所以 18．甲乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概率是多少？ 解：設A=“甲射擊目標”，B=“乙射擊目標”，M=“命中目標”，已知P(A)=P(B)=1,所以由于甲乙兩人是獨立射擊目標，所以 19．某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，，；第二種工藝有兩道工序，，試問： (1) 用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些？ (2) ，情況又如何？ 解：設Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2.（1）根據(jù)題意，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=,P(B2)=,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據(jù)題意，而P(B1)=P(B2)=,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。 1．設兩兩相互獨立的三事件A，B和C滿足條件ABC = 198。，且已知，求P(A)． 解：因為ABC = 198。，所以P(ABC) =0,因為A，B，C兩兩相互獨立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2．設事件A，B，C的概率都是，且，證明：． 證明：因為，所以將代入上式得到整理得 3．設0 P(A) 1，0 P(B) 1，P(A|B) +，試證A與B獨立． 證明：因為P(A|B) +，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)[1P(B)]并整理得到所以A與B獨立. 4．設A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨立的充分必要條件． 證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)[1P(A)]并整理得到所以A與B獨立. 必要性：由于A與B獨立，即且所以一方面另一方面所以 5．一學生接連參加同一課程的兩次考試．第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為. (1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：設Ai=“第i次及格”，i=1，由全概率公式得(1) 他取得該資格的概率為(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為 6．每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收．由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%．求檢驗一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率． 解：設Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品”，i=0，1，=“一件產(chǎn)品為正品”，N=“一件產(chǎn)品被檢驗為正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率為 7．用一種檢驗法檢驗產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下．；；．今獨立地對一產(chǎn)品進行三次檢驗，結果是兩次檢驗認為含有雜質(zhì)，而有一次認為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率． 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”，Bi=“對一產(chǎn)品進行第i次檢驗認為含有雜質(zhì)”，i=1,2,3. 已知獨立進行的三次檢驗中兩次認為含有雜質(zhì)，一次認為不含有雜質(zhì)，不妨假設前兩次檢驗認為含有雜質(zhì)，第三次認為檢驗不含有雜質(zhì)，即B1，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知所以所求概率為由于三次檢驗是獨立進行的，所以 8．火炮與坦克對戰(zhàn)，假設坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，．試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設Ai=“第i次射擊目標被擊毀”，i=1,2,3,4. 已知所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9．甲、乙、丙三人進行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率． 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,….，已知，由于各局比賽具有獨立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為第二章9. X112pi 分析：由題意，該隨機變量為離散型隨機變量，根據(jù)離散型隨機變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機變量的取值及概率。10. 分析：每次觀察下基本結果“X≤1/2”出現(xiàn)的概率為，而本題對隨機變量X取值的觀察可看作是3重伯努利實驗，所以11. ,同理，P{| X | 163。 } =.12. .13. ，利用全概率公式來求解：二、單項選擇題：1. B，由概率密度是偶函數(shù)即關于縱軸對稱，容易推導F(a)=2. B，只有B的結果滿足3. C，根據(jù)分布函數(shù)和概率密度的性質(zhì)容易驗證4. D，可以看出不超過2，所以，可以看出，分布函數(shù)只有一個間斷點.5. C, 事