【正文】 (希臘字母，讀“克西”)來表示，這個(gè)數(shù)ξ隨試驗(yàn)結(jié)果不同而變化，我們稱ξ為隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量取值為有限個(gè)或無限可列個(gè)。設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為x0，x1，……，xk，……，ξ取各個(gè)可能值的概率為P(ξ＝xk)＝p(xk) (k=0,1,2……) （11）（12）則稱式（1－1）為離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布或分布律（也稱概率函數(shù)），若將其用表格形式表示，則為ξx0x1 ……xk ……pp(x0)p(x1 )……p(xk ) …… 若用圖形表示，則如課本上的圖11所示。為此，我們引入概率分布密度函數(shù)的概念。（iii） P（aξ≤b）= F(b) F(a) 顯然，一旦知道了分布密度p（x），即可求出ξ在任何實(shí)數(shù)區(qū)間（a，b]上取值的概率，即（aξ≤b ）這件事的概率等于分布密度函數(shù)p（x）從a到b的積分。3. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)若ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F（x）＝P(ξ≤x)稱為隨機(jī)變量ξ的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的幾何意義是，分布函數(shù)等于位于x左方的分布密度曲線下的面積。正態(tài)分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式首先由高斯（Gauss）給出，所以也叫高斯分布。此時(shí)，其分布密度函數(shù)用（x）表示，即（x）＝ (∞x+∞)相應(yīng)地，分布函數(shù)用Φ（x）表示，即Φ（x）＝ (∞x+∞) 正態(tài)分布是一種十分重要的分布，在實(shí)際上也是最常見的一種分布，如產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)、人的身高、體重及測(cè)量的誤差等一般認(rèn)為是服從正態(tài)分布的。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)Φ(x）＝在實(shí)際工作中廣泛應(yīng)用，但它難以直接進(jìn)行積分運(yùn)算，通常是查表，參見書后的附表1。反映隨機(jī)變量的分布情形的某些特征數(shù)字，我們稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征。由于頻率具有偶然性，所以我們用頻率的穩(wěn)定值——概率代替頻率，就消除了偶然性，從本質(zhì)上反映了隨機(jī)變量的平均值。（2）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)ξ為離散型隨機(jī)變量，其分布率為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)為隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望（或均值）并記作E（ξ），即E（ξ）＝顯然，對(duì)于分布已經(jīng)確定的隨機(jī)變量來說，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)常數(shù)。例：設(shè)ξ～N（μ，），求E（ξ）解：E（ξ）＝＝＝μ∴正態(tài)分布N（μ，）中的參數(shù)μ就是ξ的數(shù)學(xué)期望。離差的平方的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量ξ的方差，記作D（ξ），即D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}顯然，對(duì)任意隨機(jī)變量有D（ξ）≥0。方差的算術(shù)平方根稱為ξ的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記作（ξ）＝.與數(shù)學(xué)期望一樣，對(duì)有確定分布的隨機(jī)變量來說，方差也是一個(gè)常量。如果一個(gè)總體ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（μ，），則稱ξ為正態(tài)總體。由于（ξξ2……ξn）是從總體中隨機(jī)抽取的，所以ξξ2……ξn分別為n個(gè)隨機(jī)變量。符合上述2個(gè)條件的抽樣方法稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，所獲得的樣本成為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。若（ξξ2……ξn）為總體ξ的一個(gè)樣本，如果樣本的函數(shù)f（ξξ2……ξn）不包含其它未知參數(shù)，則稱f（ξξ2……ξn）為總體的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。二．統(tǒng)計(jì)量的分布（）的分布設(shè)（ξξ2……ξn）為來自正態(tài)總體ξ～N（μ，）的一個(gè)樣本，樣本均值為，則可證明～N（μ，/n） ～N（0，1）這說明樣本均值的取值比總體ξ的取值更緊密地集中在總體均值μ的周圍，集中的程度與樣本容量n的大小有關(guān)。 參數(shù)估計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本任務(wù)是以樣本為依據(jù)來推斷總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。一、參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題的提出：前面討論統(tǒng)計(jì)量時(shí)，提到樣本均值和樣本方差的概念。若（xx...、xn）為一個(gè)樣本值，代入估計(jì)量中，就得到θ的具體數(shù)據(jù)，這個(gè)數(shù)據(jù)稱為參數(shù)θ的估計(jì)值。估計(jì)量的評(píng)價(jià)（1）估計(jì)的無偏性：估計(jì)值與參數(shù)真值θ可能不同，但我們有理由要求應(yīng)該圍繞著待估參數(shù)θ擺動(dòng)，即應(yīng)有E()＝θ。 證明過程見p26～27。但是一個(gè)總體參數(shù)的無偏估計(jì)量并不是唯一的，換言之，同一個(gè)總體參數(shù)可能有兩個(gè)或者兩個(gè)以上的無偏估計(jì)量。 解：因?yàn)镈()＝D（)= )= n=又因D()=D()=所以D()D()。但是由于樣本的隨機(jī)性，這樣的估計(jì)值不見得就是待估參數(shù)的真值。其中(1，2)稱為θ的置信區(qū)間，1α稱為此區(qū)間的置信水平或置信度，α稱為信度。因此，為提高區(qū)間估計(jì)精度，可以增大樣本容量。設(shè)樣本(ξ1,ξ2…ξn)來自正態(tài)總體N(μ, )，則可知t＝～對(duì)于給定的信度α，自由度f＝n－1，查t分布表可得臨界值，使得P(|t|)＝1－α，即P（）=1－αP(μ)=1－α于是得到μ的置信區(qū)間為：(，).2．方差的區(qū)間估計(jì)在實(shí)際問題中考慮精度的穩(wěn)定性時(shí)，需要對(duì)方差進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，即要根據(jù)樣本找出正態(tài)總體方差D(ξ)＝的置信區(qū)間。因此，本問題就歸結(jié)為判斷總體均值μ是否等于μ0＝500。設(shè)有某H0需要檢驗(yàn)，我們先假設(shè)H0為正確，在此假設(shè)下，某事件A的概率很小，例如P(A)＝，經(jīng)過一次試驗(yàn)后，如果A出現(xiàn)了，那么便出現(xiàn)了一個(gè)小概率事件。 例：某一箱子中裝有100個(gè)白球和黑球，但不知道黑白球各有多少個(gè)，現(xiàn)提出假設(shè)H0：“其中99個(gè)白球”，用上面的思想方法檢驗(yàn)H0的正確性。P（A）＝α，α＝。這是因?yàn)?，?dāng)H0為真時(shí)，小概率事件A也有可能發(fā)生（A是小概率事件，并非不可能事件）。但在實(shí)際工作的時(shí)候，要使犯這兩類錯(cuò)誤的概率同時(shí)都非常小是做不到的。 一般，在假設(shè)H0：μ＝μ0＝500成立的條件下，可知來自正態(tài)總體N（μ，）的樣本均值服從正態(tài)分布N（μ，），而統(tǒng)計(jì)量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）。在出現(xiàn)拒絕原假設(shè)H0的情況下，稱μ與μ0有顯著差異。概括這一檢驗(yàn)過程，可以把已知方差時(shí)對(duì)正態(tài)總體均值的u檢驗(yàn)，歸納為以下5個(gè)步驟 —— u檢驗(yàn)法。未知方差，檢驗(yàn)均值μ（即未知方差，檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ＝μ0）因?yàn)榉讲钗粗圆荒茉儆胾檢驗(yàn)法。該檢驗(yàn)方法稱為t檢驗(yàn)法，其步驟與u檢驗(yàn)法類似。若≤≤,則接受原假設(shè)。今欲檢驗(yàn)H0：μ1=μ2，即H0：μ1－μ2＝0。（若方差不相等，則前面對(duì)總體均值的檢驗(yàn)方法不可用?。┰O(shè)總體，,），且兩者相互獨(dú)立。說明：（1）P（）＝，亦可表示為P（。故＝.以上用服從F分布的統(tǒng)計(jì)量來進(jìn)行檢驗(yàn)的方法稱為F檢驗(yàn)法。＝，從而＝。另外：其他許多書中，對(duì)“一個(gè)正態(tài)總體的檢驗(yàn)”和“兩個(gè)正態(tài)總體的檢驗(yàn)”均進(jìn)行列表總結(jié)，非常好，使人一目了然。， 兩個(gè)正態(tài)總體的