概率論與數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)-免費閱讀
【正文】 ， 兩個正態(tài)總體的檢驗。＝，從而＝。說明：（1）P（）＝，亦可表示為P（。今欲檢驗H0：μ1=μ2，即H0：μ1－μ2＝0。該檢驗方法稱為t檢驗法，其步驟與u檢驗法類似。概括這一檢驗過程，可以把已知方差時對正態(tài)總體均值的u檢驗，歸納為以下5個步驟 —— u檢驗法。 一般，在假設(shè)H0：μ＝μ0＝500成立的條件下，可知來自正態(tài)總體N（μ，）的樣本均值服從正態(tài)分布N（μ，），而統(tǒng)計量服從標準正態(tài)分布N（0，1）。這是因為，當H0為真時，小概率事件A也有可能發(fā)生（A是小概率事件，并非不可能事件）。 例：某一箱子中裝有100個白球和黑球，但不知道黑白球各有多少個，現(xiàn)提出假設(shè)H0：“其中99個白球”，用上面的思想方法檢驗H0的正確性。因此，本問題就歸結(jié)為判斷總體均值μ是否等于μ0＝500。因此，為提高區(qū)間估計精度，可以增大樣本容量。但是由于樣本的隨機性，這樣的估計值不見得就是待估參數(shù)的真值。但是一個總體參數(shù)的無偏估計量并不是唯一的，換言之，同一個總體參數(shù)可能有兩個或者兩個以上的無偏估計量。估計量的評價（1）估計的無偏性：估計值與參數(shù)真值θ可能不同，但我們有理由要求應(yīng)該圍繞著待估參數(shù)θ擺動，即應(yīng)有E()＝θ。一、參數(shù)的點估計問題的提出：前面討論統(tǒng)計量時，提到樣本均值和樣本方差的概念。二．統(tǒng)計量的分布（）的分布設(shè)（ξξ2……ξn）為來自正態(tài)總體ξ～N（μ，）的一個樣本，樣本均值為，則可證明～N（μ，/n） ～N（0，1）這說明樣本均值的取值比總體ξ的取值更緊密地集中在總體均值μ的周圍，集中的程度與樣本容量n的大小有關(guān)。符合上述2個條件的抽樣方法稱為簡單隨機抽樣，所獲得的樣本成為簡單隨機樣本。如果一個總體ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N（μ，），則稱ξ為正態(tài)總體。離差的平方的數(shù)學(xué)期望稱為隨機變量ξ的方差，記作D（ξ），即D（ξ）＝E{[ξE（ξ）]2}顯然，對任意隨機變量有D（ξ）≥0。（2）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)ξ為離散型隨機變量，其分布率為ξx1 x2 …… xkPp1 p2 …… pk如果級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)為隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望（或均值）并記作E（ξ），即E（ξ）＝顯然，對于分布已經(jīng)確定的隨機變量來說，隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個常數(shù)。反映隨機變量的分布情形的某些特征數(shù)字，我們稱為隨機變量的數(shù)字特征。此時，其分布密度函數(shù)用（x）表示，即（x）＝ (∞x+∞)相應(yīng)地，分布函數(shù)用Φ（x）表示，即Φ（x）＝ (∞x+∞) 正態(tài)分布是一種十分重要的分布，在實際上也是最常見的一種分布，如產(chǎn)品的質(zhì)量指標、人的身高、體重及測量的誤差等一般認為是服從正態(tài)分布的。連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的幾何意義是，分布函數(shù)等于位于x左方的分布密度曲線下的面積。（iii） P（aξ≤b）= F(b) F(a) 顯然，一旦知道了分布密度p（x），即可求出ξ在任何實數(shù)區(qū)間（a，b]上取值的概率，即（aξ≤b ）這件事的概率等于分布密度函數(shù)p（x）從a到b的積分。設(shè)離散型隨機變量ξ的所有可能取值為x0，x1，……，xk，……，ξ取各個可能值的概率為P(ξ＝xk)＝p(xk) (k=0,1,2……) （11）（12）則稱式（1－1）為離散型隨機變量ξ的概率分布或分布律（也稱概率函數(shù)），若將其用表格形式表示，則為ξx0x1 ……xk ……pp(x0)p(x1 )……p(xk ) …… 若用圖形表示，則如課本上的圖11所示。試驗結(jié)果能用一個數(shù)ξ(希臘字母，讀“克西”)來表示，這個數(shù)ξ隨試驗結(jié)果不同而變化，我們稱ξ為隨機變量。因此，這個常數(shù)（p）就是事件A的概率。2. 概率與頻率對每一次試驗而言，隨機事件是否發(fā)生是帶有偶然性的。但在大量重復(fù)試驗下，并把這些試驗結(jié)果綜合在一起，就可以看出支配這些偶然性的某種必然規(guī)律性來。即事件A的概率就是事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值（p）。 隨機變量與一般實變量不同，它是隨機的，即它的取值有一定的概率。由概率的基本性質(zhì)可知，概率分布具有以下性質(zhì)：（i） 0≤p(xk)≤1 (k=0,1,2……)（ii）＝1 這兩條性質(zhì)可以作為檢驗一張表能否成為一個離散型隨機變量的分布律的條件。注意，對連續(xù)型隨機變量，任一點的概率均為零，因為p（x）在任一點上的積分為零。根據(jù)定義，隨機變量的分布函數(shù)F（x）具有以下性質(zhì)：（i） F(x)是一個非減函數(shù)，即若x1x2，則必有F(x1) F(x2)（ii） 0≤F（x）≤1（iii） F(∞)＝＝0, F(+∞)＝＝1 （iv） 對任意實數(shù)a和b（ab），有P(aξ≤b)＝P(ξ≤b）P(ξ≤a）＝F(b)– F(a)三、正態(tài)分布（Gauss 高斯分布）1. 正態(tài)分布的定義隨機變量的分布形式有多種，但最重要，最常用的是所謂的正態(tài)分布。 （面相、手相、算命等傳統(tǒng)民間文化，實質(zhì)上就是把人的一生的命運按概率分布函數(shù)進行計算和推測！可是，這些分布密度函數(shù)經(jīng)驗公式的適用條件是什么？？？）2. 正態(tài)分布密度函數(shù)的特點（i） p(x）≥0；（ii） ；（iii） p(x)的圖形對稱于x＝μ；（iv） 當x時 p(x)；（v） 在x＝μ處，p(x）有極大值。最常用且最重要的兩種數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和方差。如果級數(shù)發(fā)散，則稱ξ的期望不存在。[ξE（ξ）]2是隨機變量ξ的函數(shù)，是一個新的隨機變量，它的期望表示這個新的隨機變量取值的平均情況。（2）樣本與樣本容量從總體中抽取一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。顯然簡單隨機樣本具有2個性質(zhì)： 代表性； 獨立性統(tǒng)計量當我們得到了總體ξ的一個樣本（ξξ2……ξn）時，為了推得總體的一些性質(zhì)，往往需要對所取得樣本做一些運算，即構(gòu)成樣本的某種函數(shù)，這種函數(shù)稱為統(tǒng)計量。若（ξξ2……ξn）為來自正態(tài)總體ξ～N（μ，）的一個容量為n的樣本，又若為已知，可以證明，由樣本方差S2構(gòu)造的統(tǒng)計量(n－1)S2/是自由度為n1的變量，即(n－1)S2/服從自由度為n1的分布，記作=(n－1)S2/～（n－1）其中隨機變量的分布密度
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