【正文】 解 用兩種方法求解方法1 利用卷積公式由定義知，僅當(dāng) 即 時(shí)上述積分的被積函數(shù)才不等于零，如圖38知 圖38當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故 方法2 先求的分布函數(shù)。(2) 求時(shí), 的條件概率分布以及時(shí), 的條件概率分布。借助于兩個(gè)隨機(jī)事件的相互獨(dú)立的概念，引入隨機(jī)變量的相互獨(dú)立一、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念定義 ,則稱隨機(jī)變量相互獨(dú)立.說明（1） 可知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)可由其邊緣分布函數(shù)唯一確定（2）對(duì)任意的,隨機(jī)事件與相互獨(dú)立.二、離散型隨機(jī)變量的相互獨(dú)立的充要條件如果是二維離散型隨機(jī)變量，其概率分布及邊緣概率分布分別為,則隨機(jī)變量和相互獨(dú)立的充分必要條件是：對(duì)的所有可能取值均有,即,例1：設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為解：由又由聯(lián)合概率分布,邊緣概率分布為例2:甲、乙兩人獨(dú)立地各進(jìn)行兩次射擊，以和分別表示甲和乙的命中次數(shù)，試求和的聯(lián)合概率分布．解　因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，所以和的聯(lián)合概率分布可由邊緣概率分布求得．因?yàn)?，．所以和的邊緣概率分布為列表? 由和的獨(dú)立性, 和的聯(lián)合概率分布,故和的聯(lián)合概率分別為 三、連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件如果是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)及邊緣概率密度函數(shù)和在面上除個(gè)別點(diǎn)及個(gè)別曲線外均連續(xù)時(shí)，隨機(jī)變量和相互獨(dú)立的充分必要條件是：在,的連續(xù)點(diǎn)處都有例3:設(shè)證明與相互獨(dú)立的充要條件是.證明：因 “222。解： 2 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為 YX011020求及解 3 設(shè)的概率分布由下表給出，求, Y0200120解 第二節(jié) 邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)1定義：二維隨機(jī)向量作為一個(gè)整體, 有分布函數(shù)，其分量與都是隨機(jī)變量，有各自的分布函數(shù)，分別分別稱為的邊緣分布函數(shù)和Y的邊緣分布函數(shù)；稱為的聯(lián)合分布函數(shù)。三、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則的分布函數(shù)為例1：，求它的分布函數(shù),并求,.解：由概率的有限可加性得分布函數(shù)為：一般地，對(duì)離散型隨機(jī)變量其分布函數(shù)為結(jié)論：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),分布函數(shù)的跳躍點(diǎn)對(duì)應(yīng)離散型隨機(jī)變量的可能取值點(diǎn),跳躍高度對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量取對(duì)應(yīng)值的概率。隨機(jī)變量的取值一般用小寫字母等表示。如任選一個(gè)壇子，從中取出一球，問這球是黑球的概率是多少?2:對(duì)以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí)，產(chǎn)品的合格率為 90% , 而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某一故障時(shí)，其合格率為 30% 。解：設(shè)A＝｛三折線能構(gòu)成三角形｝設(shè)AD＝1，AB＝x，BC＝y(tǒng)，CD＝1xy，則樣本空間A＝｛兩邊之和大于第三邊｝＝ 167。 古典概型與幾何概型一、古典概型我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?）隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；（2）每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同．古典概型又稱為等可能概型． 設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間為，則基本事件，…，兩兩互不相容，且由于及，因此若事件包含個(gè)基本事件，即其中是中某個(gè)不同的數(shù)，則有 即二、 計(jì)算古典概率的方法1基本計(jì)數(shù)原理：(1). 加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……,第種方式有種方法，無論通過哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.(2). 乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟,其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種方法，……，第個(gè)步驟有種方法；完成該件事必須通過每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為 .2. 排列組合方法(1) 排列公式：從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同排列總數(shù)為 (2) 組合公式；從n個(gè)不同元素中任取k個(gè)的不同組合總數(shù)為例1 :將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H,反面T出現(xiàn)的情況。(D) 甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.167。2. 可觀察性: 試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的。3. 隨機(jī)性(不確定性): 每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知. ，但可以肯定會(huì)出現(xiàn)所有可能結(jié)果中的一個(gè).二、隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè) 樣本點(diǎn),記作. 2樣本空間：全體樣本點(diǎn)組成的集合稱為這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，記為.(或)．即例1:：投擲一枚硬幣，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為．：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為．：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面Ｈ出現(xiàn)的次數(shù)，則樣本空間為．：記錄某電話臺(tái)在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為．：已知某物體長(zhǎng)度在10與20之間，測(cè)量其長(zhǎng)度，則樣本空間為．：在一大批燈泡中任取一只，測(cè)試其使用壽命，則樣本空間為．注：：1)在 中，雖然一分鐘內(nèi)接到電話的呼叫次數(shù)是有限的，不會(huì)非常大，但一般說來，人們從理論上很難定出一個(gè)次數(shù)的上限，為了方便，視上限為∞，這種處理方法在理論研究中經(jīng)常被采用．2)樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的，如和中同是將一枚硬幣連拋兩次，由于試驗(yàn)的目的不一樣，其樣本空間也不一樣．3隨機(jī)事件：我們稱試驗(yàn)的樣本空間的子集為的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，…等大寫字母表示事件．設(shè)為一個(gè)事件，當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)時(shí)，稱事件在該次試驗(yàn)中發(fā)生．如：在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上”是一 個(gè)隨機(jī)事件，可用｛正面向上｝表示．?dāng)S骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為2，4或6點(diǎn)， 可用B＝｛2，4，6｝表示．注: 要判斷一個(gè)事件是否在一次試驗(yàn)中發(fā)生，只有當(dāng)該次試驗(yàn)有了結(jié)果以后才能知道．1)基本事件 ：僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱為基本事件.如:拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)2點(diǎn)”,...,“出現(xiàn)6 點(diǎn)”為該試驗(yàn)的基本事件． 2)必然事件：．樣本空間本身也是的子集，它包含的所有樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生，稱為必然事件．即必然發(fā)生的事件.如：“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過6”為必然事件. 3)不可能事件：．空集也是的子集，它不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，稱為不可能事件．不可能發(fā)生的事件是不包含任何樣本點(diǎn)的. 如：“擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件.三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算研究原因：希望通過對(duì)簡(jiǎn)單事件的了解掌握較復(fù)雜的事件 研究規(guī)則：事件間的關(guān)系和運(yùn)算應(yīng)該按照集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來規(guī)定 事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的.1 子事件、包含關(guān)系 ,2相等事件:若事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生，且若事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生， 即 A=B注：事件與事件含有相同的樣本點(diǎn) 例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與事件“出現(xiàn)2，4或6點(diǎn)”是相等事件?！☆l率與概率隨機(jī)事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定，但希望知道它發(fā)生可能性的大?。@里先引入頻率的概念，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)字度量———概率．一、頻率及其性質(zhì)1定義1在相同條件下重復(fù)進(jìn)行了次試驗(yàn)，如果事件在這次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則稱比值為事件發(fā)生的頻率，記作它具有下述性質(zhì): 非負(fù)性規(guī)范性有限可加性頻率的大小表示了在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻繁程度．頻率大，事件發(fā)生就頻繁，在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性就大，反之亦然．因而直觀的想法是用頻率來描述在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大?。? 頻率的穩(wěn)定性隨機(jī)事件在相同條件下重復(fù)多次時(shí)，事件發(fā)生的頻率在一個(gè)固定的數(shù)值附近擺動(dòng)，隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯,事件的頻率穩(wěn)定在數(shù)值，說明了數(shù)值可以用來刻劃事件發(fā)生可能性的大小，可以規(guī)定為事件的概率二、概率的統(tǒng)計(jì)定義定義2　對(duì)任意事件，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，事件發(fā)生次，從而事件發(fā)生的頻率，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),那么稱為事件的概率上述定義稱為隨機(jī)事件概率的統(tǒng)計(jì)定義．在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往可用試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)的頻率來估計(jì)概率的大小，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，估計(jì)的精度會(huì)越來越高．在實(shí)際中，我們不可能對(duì)每一個(gè)事件都做大量的試驗(yàn)，然后求得事件發(fā)生的頻率，用以表征事件發(fā)生的概率．為此給出概率的嚴(yán)格的公理化定義．三、概率的公理化定義定義3 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對(duì)的每一個(gè)事件賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為，若滿足下列三個(gè)條件：（1）非負(fù)性　對(duì)每一個(gè)事件，有；（2）規(guī)范性　對(duì)于必然事件，有（3）可列可加性　設(shè)是兩兩互不相容的事件，有則稱為事件發(fā)生的概率．四、概率的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)是兩兩互不相容的事件,則有 即若則，有 ,若 則，證明　因?yàn)?，從而有），且．由性質(zhì)2得所以由于，因此性質(zhì)5：對(duì)任意事件.性質(zhì)6(減法公式)：對(duì)事件,則　證明　由于，而根據(jù)性質(zhì)4可得性質(zhì)7:對(duì)任意兩個(gè)事件，有推廣:證明:因?yàn)榍?，由性質(zhì)2及性質(zhì)4得 一般地,設(shè)為n個(gè)隨機(jī)事件，則有 此公式稱為概率的一般加法公式。 (1) 設(shè)事件 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 (2)設(shè)事件為“第一次出現(xiàn)正面”， 求, (3)設(shè)事件 為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 解： 中包含有限個(gè)元素，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。 條件概率例1:兩臺(tái)機(jī)器加工同一種產(chǎn)品，共100件，第一臺(tái)機(jī)器加工合格品數(shù)為35件，次品數(shù)為5件，第二臺(tái)機(jī)器加工合格品數(shù)為50件，次品數(shù)為10件．若從100件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知取到的是第一臺(tái)機(jī)器加工的產(chǎn)品，問它是合格品的概率是多少．解　令Ａ＝“取到產(chǎn)品是第一臺(tái)機(jī)器加工的”，Ｂ＝“取到產(chǎn)品為合格品”，于是所求概率是事件Ａ發(fā)生的條件下事件Ｂ發(fā)生的概率，所以稱它為Ａ發(fā)生的條件下Ｂ發(fā)生的條件概率，并記作可以用古典概型計(jì)算．因?yàn)槿〉降氖堑谝慌_(tái)機(jī)器加工的，又已知第一臺(tái)機(jī)器加工40件產(chǎn)品，其中35件是合格品，所以．　　另外，由于ＡＢ表示事件“取到的第一臺(tái)機(jī)器加工的，并且是合格品”，而在100件產(chǎn)品中是第一臺(tái)機(jī)器加工的又是合格品的產(chǎn)品為35件，所以，而，從而有定義: 設(shè)是兩個(gè)事件，且，稱為在事件Ａ發(fā)生的條件下，事件Ｂ發(fā)生的條件概率，記為，即同樣,可以在的條件下，定義在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率為條件概率Ｐ（每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí)，機(jī)器調(diào)整良好的概率為 75% 。 2隨機(jī)變量的特征 1) 它是一個(gè)變量， 2) 它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個(gè)隨機(jī)事件，具有一定的概率 三、引入隨機(jī)變量的意義 隨機(jī)變量的引入,隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象,. 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.四、隨機(jī)變量的類型隨機(jī)變量因其取值方式不同, 通常分為離散型和非離散型兩類. 而非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量. 離散型：隨機(jī)變量的所有取值是有限個(gè)或可列個(gè)連續(xù)性：隨即變量的取值是某個(gè)區(qū)間或整個(gè)數(shù)軸167。反之,如果某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是階梯函數(shù),則該隨機(jī)變量必為離散型.例2設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.解 由于圖形是一個(gè)階梯型曲線, 故知是一個(gè)離散型隨機(jī)變量, 的跳躍點(diǎn)分別為對(duì)應(yīng)的跳躍高度分別為 9/19, 6/19, 4/19, 如圖.故X的概率分布為 例3：一個(gè)靶子是半徑為 2 米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以 X 表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. 試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).解：1） 若 則 是不可能事件，于是 3） 若 , 則 是必然事件，于是第四節(jié) 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 一、 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義 如果對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)函數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)有 則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量, 稱為的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為概率密度或密度函數(shù).概率密度性質(zhì)： 關(guān)于概率密度的說明1. 對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù), 同時(shí), 還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:2. 連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0. 因注： ，概率為1的事件也不一定是必然事件。2求法： 同理注：與的邊緣分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一維隨機(jī)