【正文】 ，又已知第一臺(tái)機(jī)器加工40件產(chǎn)品，其中35件是合格品，所以．　　另外，由于ＡＢ表示事件“取到的第一臺(tái)機(jī)器加工的，并且是合格品”，而在100件產(chǎn)品中是第一臺(tái)機(jī)器加工的又是合格品的產(chǎn)品為35件，所以，而，從而有定義: 設(shè)是兩個(gè)事件，且，稱(chēng)為在事件Ａ發(fā)生的條件下，事件Ｂ發(fā)生的條件概率，記為，即同樣,可以在的條件下，定義在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率為條件概率Ｐ（ (1/6)2在線(xiàn)段上任意取兩個(gè)點(diǎn) B、C，在 B、C 處折斷此線(xiàn)段而得三折線(xiàn)，求此三折線(xiàn)能構(gòu)成三角形的概率。幾何概型特點(diǎn): 有一個(gè)可度量的幾何圖形，試驗(yàn)看成在中隨機(jī)地投擲一點(diǎn),事件就是所投擲的點(diǎn)落在中的可度量圖形中 這里我們研究樣本空間為一線(xiàn)段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型—幾何概型.例:某路公共汽車(chē)每發(fā)出一輛車(chē)，求乘客到達(dá)站點(diǎn)后，等待時(shí)間不超過(guò)的概率．如果記此事件為，乘客到達(dá)站點(diǎn)的時(shí)刻可視為向時(shí)間段投擲一隨機(jī)點(diǎn)．從而向時(shí)間段內(nèi)投點(diǎn)對(duì)應(yīng)于向線(xiàn)段上投點(diǎn)．事件表示“等待時(shí)間不超過(guò)，而樣本空間Ω＝，這里所投擲的點(diǎn)落在線(xiàn)段上任一點(diǎn)的可能性都一樣或說(shuō)具有等可能性．我們理解這種等可能性的含義，就是點(diǎn)落在時(shí)間段內(nèi)的可能性與該線(xiàn)段的長(zhǎng)度成正比，與該線(xiàn)段的位置無(wú)關(guān)．因此事件Ａ的概率決定于線(xiàn)段［2，5］與［0，5］的長(zhǎng)度比，即幾何概率的定義:如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相當(dāng)于從直線(xiàn)、平面或空間的某一區(qū)域Ω任取一點(diǎn)，而所取的點(diǎn)落在Ω中任意兩個(gè)度量（長(zhǎng)度、面積、體積）相等的子區(qū)域內(nèi)的可能性是一樣的，則稱(chēng)此試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判停瑢?duì)于任意有度量的子區(qū)域，定義事件“任取一點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)”發(fā)生的概率為例6：甲乙二人相約定7：008：00在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人要等候另一人20分鐘后，方可離開(kāi)。事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取2只的組合，有個(gè)．故　　事件發(fā)生的基本事件數(shù)為從5只白球中任取1只，從3只黑球中任取一只構(gòu)成的組合，共有個(gè)，故　　例3 一批產(chǎn)品共10件，其中有3件次品，今從中隨機(jī)取4件，問(wèn)其中恰有2件為次品的概率是多少? 解：設(shè)=｛從中隨機(jī)地取4件,恰有2件為次品｝10件產(chǎn)品中隨機(jī)地取4件共有種取法，每種取法為一基本事件且每個(gè)基本事件發(fā)生是等可能的，又因在3件次品中取2件的取法有種，在7件正品中取2件正品的取法有種，由乘法原理，在4件產(chǎn)品中有2件次品，2件正品的取法共有 (1) 設(shè)事件 為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求 (2)設(shè)事件為“第一次出現(xiàn)正面”， 求, (3)設(shè)事件 為“至少有一次出現(xiàn)正面” ,求 解： 中包含有限個(gè)元素，且每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同，屬于古典概型。解： ＝因?yàn)?所以,而所以練習(xí):設(shè)事件A、B的概率分別為1/1/2，求在下列三種情況下的值（1）A與B互不相容 （2） （3）P（AB）=1/8解：（1）由已知得=P（B）=1/2（2）=P（B）P（A）=1/6（3）=P（BA)=P(BAB)=P(B)P(AB)=3/8167。 (4) .解: (1)(2)。 (2) ?！☆l率與概率隨機(jī)事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)中是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定，但希望知道它發(fā)生可能性的大?。@里先引入頻率的概念，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)字度量———概率．一、頻率及其性質(zhì)1定義1在相同條件下重復(fù)進(jìn)行了次試驗(yàn)，如果事件在這次試驗(yàn)中發(fā)生了次，則稱(chēng)比值為事件發(fā)生的頻率，記作它具有下述性質(zhì): 非負(fù)性規(guī)范性有限可加性頻率的大小表示了在次試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻繁程度．頻率大，事件發(fā)生就頻繁，在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性就大，反之亦然．因而直觀的想法是用頻率來(lái)描述在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大?。? 頻率的穩(wěn)定性隨機(jī)事件在相同條件下重復(fù)多次時(shí)，事件發(fā)生的頻率在一個(gè)固定的數(shù)值附近擺動(dòng)，隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯,事件的頻率穩(wěn)定在數(shù)值，說(shuō)明了數(shù)值可以用來(lái)刻劃事件發(fā)生可能性的大小，可以規(guī)定為事件的概率二、概率的統(tǒng)計(jì)定義定義2　對(duì)任意事件，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行次試驗(yàn)，事件發(fā)生次，從而事件發(fā)生的頻率，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),那么稱(chēng)為事件的概率上述定義稱(chēng)為隨機(jī)事件概率的統(tǒng)計(jì)定義．在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往可用試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)的頻率來(lái)估計(jì)概率的大小，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，估計(jì)的精度會(huì)越來(lái)越高．在實(shí)際中，我們不可能對(duì)每一個(gè)事件都做大量的試驗(yàn)，然后求得事件發(fā)生的頻率，用以表征事件發(fā)生的概率．為此給出概率的嚴(yán)格的公理化定義．三、概率的公理化定義定義3 設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對(duì)的每一個(gè)事件賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為，若滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：（1）非負(fù)性　對(duì)每一個(gè)事件，有；（2）規(guī)范性　對(duì)于必然事件，有（3）可列可加性　設(shè)是兩兩互不相容的事件，有則稱(chēng)為事件發(fā)生的概率．四、概率的性質(zhì)性質(zhì)1：設(shè)是兩兩互不相容的事件,則有 即若則，有 ,若 則，證明　因?yàn)?，從而有），且．由性質(zhì)2得所以由于，因此性質(zhì)5：對(duì)任意事件.性質(zhì)6(減法公式)：對(duì)事件,則　證明　由于，而根據(jù)性質(zhì)4可得性質(zhì)7:對(duì)任意兩個(gè)事件，有推廣:證明:因?yàn)榍遥尚再|(zhì)2及性質(zhì)4得 一般地,設(shè)為n個(gè)隨機(jī)事件，則有 此公式稱(chēng)為概率的一般加法公式。(C) 甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷(xiāo)。 (D) 是的子事件.2. 設(shè)事件{甲種產(chǎn)品暢銷(xiāo), 乙種產(chǎn)品滯銷(xiāo)}, 則的對(duì)立事件為 (D).(A) 甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo),乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo)。記的對(duì)立事件為 注:互逆事件必為互斥事件，反之，互斥事件未必為互逆事件事件的關(guān)系與運(yùn)算可用圖來(lái)直觀的表示．注: 事件的運(yùn)算滿(mǎn)足如下基本關(guān)系．①，② 若ＡＢ，則Ａ∪Ｂ＝Ｂ，Ａ∩Ｂ＝Ａ．③ Ａ－Ｂ＝Ａ∩＝Ａ－Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｂ＝Ａ∪（Ｂ－Ａ）．完備事件組:設(shè)是有限或可列個(gè)事件,若其滿(mǎn)足①②，則稱(chēng)是樣本空間的一個(gè)完備事件組或一個(gè)劃分.注:與構(gòu)成一個(gè)完備事件組.四、隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律: 交換律: 結(jié)合律： 分配律: 德摩根De Morgan定律: 例2： 一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次，事件表示該射手第次射擊時(shí)擊中目標(biāo)（），試用表示下列各事件．（1）前兩次射擊中至少有一次擊中目標(biāo)；（2）第一次擊中目標(biāo)而第二次未擊中目標(biāo)；（3）三次射擊中，只有第三次未擊中目標(biāo)；（4）三次射擊中，恰好有一次擊中目標(biāo)；（5）三次射擊中，至少有一次未擊中目標(biāo)；（6）三次射擊都未擊中目標(biāo)；（7）三次射擊中，至少兩次擊中目標(biāo)；（8）三次射擊中，至多一次擊中目標(biāo)解:分別用表示（1），（2），…，（8）中所給出的事件．（1）．（2）或（3）（4）（4）或（6）（7）(8) 備講例2：甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶” “乙中靶” “丙中靶” 則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來(lái)分別表示下列各事件： (1) “甲未中靶”： (2) “甲中靶而乙未中靶”： (3) “三人中只有丙未中靶”： (4) “三人中恰好有一人中靶”： (5)“ 三人中至少有一人中靶”： (6)“三人中至少有一人未中靶”： 或(7)“三人中恰有兩人中靶”： (8)“三人中至少兩人中靶”： (9)“三人均未中靶”： (10)“三人中至多一人中靶”： (11)“三人中至多兩人中靶”： 或注：用其他事件的運(yùn)算來(lái)表示一個(gè)事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實(shí)際上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會(huì)用不同方法表達(dá)同一事件, 特別在解決具體問(wèn)題時(shí),往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?例3　如圖所示電路中，＝“燈亮”，分別表示“開(kāi)關(guān)Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ閉合” ，　， 　　這是因?yàn)椋绻?發(fā)生，即開(kāi)關(guān)Ⅰ，Ⅱ同時(shí)閉合，則整個(gè)電路接通，于是燈亮，即Ａ發(fā)生，所以,同理如果發(fā)生，即 或 中至少一個(gè)發(fā)生，則整個(gè)電路接通，于是燈亮，即Ａ發(fā)生，所以反之，如果Ａ發(fā)生，即燈亮，則 或中至少有一個(gè)發(fā)生，所以由事件相等的定義，課堂練習(xí)1. 設(shè)當(dāng)事件與同時(shí)發(fā)生時(shí)也發(fā)生, 則 ( C )(A) 是的子事件。3. 隨機(jī)性(不確定性): 每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知. ，但可以肯定會(huì)出現(xiàn)所有可能結(jié)果中的一個(gè).二、隨機(jī)事件：隨機(jī)試驗(yàn)中的每一個(gè)可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果稱(chēng)為這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè) 樣本點(diǎn),記作. 2樣本空間：全體樣本點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，記為.(或)．即例1:：投擲一枚硬幣，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為．：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，則樣本空間為．：將一枚硬幣連拋兩次，觀察正面Ｈ出現(xiàn)的次數(shù)，則樣本空間為．：記錄某電話(huà)臺(tái)在一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則樣本空間為．：已知某物體長(zhǎng)度在10與20之間，測(cè)量其長(zhǎng)度，則樣本空間為．：在一大批燈泡中任取一只，測(cè)試其使用壽命，則樣本空間為．注：：1)在 中，雖然一分鐘內(nèi)接到電話(huà)的呼叫次數(shù)是有限的，不會(huì)非常大，但一般說(shuō)來(lái)，人們從理論上很難定出一個(gè)次數(shù)的上限，為了方便，視上限為∞，這種處理方法在理論研究中經(jīng)常被采用．2)樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的，如和中同是將一枚硬幣連拋兩次，由于試驗(yàn)的目的不一樣，其樣本空間也不一樣．3隨機(jī)事件：我們稱(chēng)試驗(yàn)的樣本空間的子集為的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，…等大寫(xiě)字母表示事件．設(shè)為一個(gè)事件，當(dāng)且僅當(dāng)試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)事件在該次試驗(yàn)中發(fā)生．如：在拋擲一枚均勻硬幣的試驗(yàn)中，“正面向上”是一 個(gè)隨機(jī)事件，可用｛正面向上｝表示．?dāng)S骰子，“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)隨機(jī)事件，試驗(yàn)結(jié)果為2，4或6點(diǎn)， 可用B＝｛2，4，6｝表示．注: 要判斷一個(gè)事件是否在一次試驗(yàn)中發(fā)生，只有當(dāng)該次試驗(yàn)有了結(jié)果以后才能知道．1)基本事件 ：僅含一個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件稱(chēng)為基本事件.如:拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么“出現(xiàn)1點(diǎn)”、“出現(xiàn)2點(diǎn)”,...,“出現(xiàn)6 點(diǎn)”為該試驗(yàn)的基本事件． 2)必然事件：．樣本空間本身也是的子集，它包含的所有樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中必然發(fā)生，稱(chēng)為必然事件．即必然發(fā)生的事件.如：“拋擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6”為必然事件. 3)不可能事件：．空集也是的子集，它不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不可能發(fā)生，稱(chēng)為不可能事件．不可能發(fā)生的事件是不包含任何樣本點(diǎn)的. 如：“擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”是不可能事件.三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算研究原因：希望通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單事件的了解掌握較復(fù)雜的事件 研究規(guī)則：事件間的關(guān)系和運(yùn)算應(yīng)該按照集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來(lái)規(guī)定 事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的.1 子事件、包含關(guān)系 ,2相等事件:若事件Ａ發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生，且若事件發(fā)生必然導(dǎo)致事件發(fā)生， 即 A=B注：事件與事件含有相同的樣本點(diǎn) 例如：在投擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”與事件“出現(xiàn)2，4或6點(diǎn)”是相等事件。 在正常的大氣壓下，將純凈水加熱到100℃時(shí)必然沸騰,向上拋一石子必然下落，異性電荷相互吸引，同性電荷相互排斥等 2隨機(jī)現(xiàn)象:在一定條件下我們事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知其結(jié)果的現(xiàn)象，稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象.擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1，2，3，4，5，6點(diǎn),拋擲一枚均勻的硬幣，會(huì)出現(xiàn)正面向上、反面向上兩種不同的結(jié)果.3隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：人們通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究之后，發(fā)現(xiàn)這類(lèi)現(xiàn)象在大量重復(fù)試驗(yàn)或觀察下，.4. 隨機(jī)試驗(yàn) 為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察, 我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn), 并簡(jiǎn)稱(chēng)為試驗(yàn)，記為. :1. 可重復(fù)性: 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行。第一章 隨機(jī)事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量化的角度來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界中一類(lèi)不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）規(guī)律性的一門(mén)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.167。 隨機(jī)事件一、隨機(jī)試驗(yàn)1確定性現(xiàn)象:必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象。2. 可觀察性: 試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的。3和事件或并事件， 積事件或交事件， .事件的差，.注：例如，在例1的中，若記，則， ｝互斥或互不相容.事件A和隨機(jī)B不能同時(shí)發(fā)生.注：.推廣：設(shè)事件滿(mǎn)足稱(chēng)事件是兩兩互不相容的.7對(duì)立事件或互逆事件 若事件和事件中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即則事件和事件為互逆事件或?qū)α⑹录? (B)或(C) 是的子事件。(B) 甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)。(D) 甲種產(chǎn)品滯銷(xiāo)或者乙種產(chǎn)品暢銷(xiāo).167。例1：設(shè) 求(1) 。 (3) 。(3) (4) 例2：設(shè)， 求事件全不發(fā)生的概率。 古典概型與幾何概型一、古典概型我們稱(chēng)具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?）隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；（2）每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同．古典概型又稱(chēng)為等可能概型． 設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間為，則基本事件，…，兩兩互不相容，且由于及，因此若事件包含個(gè)基本事件，即其中是中某個(gè)不同的數(shù)，則有 即二、 計(jì)算古典概率的方法1基本計(jì)數(shù)原理：(1). 加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……,第種方式有種方法，無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.(2). 乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟,其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種方法，……，第個(gè)步驟有種方法；完成該件事必須通過(guò)每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總