【正文】 0.[二十七 ] 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為： X：－ 2， － 1， 0， 1， 3 P： 51 ， 61 ， 51 ， 151 ， 3011 求 Y=X 2的分布律 ∵ Y=X 2： (－ 2)2 (－ 1)2 (0)2 (1)2 (3)2 P： 51 61 51 151 3011 再把 X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù) Y的分布律為： ∴ Y： 0 1 4 9 P： 51 15161? 51 3011 31.[二十八 ] 設(shè)隨機(jī)變量 X在（ 0， 1）上服從均勻分布 （ 1）求 Y=eX的分布密度 ∵ X的分布密度為： ??? ??? 為其他x xxf 0 101)( Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù) 又 X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在 且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 ?? max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e ∴ Y的分布密度為： ????? ??????為其他yeyyyhyhfyψ0111|)(39。|)]([)( （ 2）求 Y=－ 2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－ 2lnX 是單調(diào)減函數(shù) 又 2)( YeYhX ??? 反函數(shù)存在。 且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞ , 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞ , 0 )= +∞ ∴ Y的分布密度為： ????? ?????????? ??為其他yyeeyhyhfyψ yy0021211|)(39。|)]([)( 22 32.[二十九 ] 設(shè) X～ N（ 0， 1） （ 1）求 Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是 ???????? xeπxf x ,21)( 22 Y= g (X)=eX 是單調(diào)增函數(shù) 又 X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在 且 α = min[g (－∞ ), g (+∞ )]=min(0, +∞ )=0 β = max[g (－∞ ), g (+∞ )]= max(0, +∞ )= +∞ ∴ Y的分布密度為： ????? ???????? ?為其他yyyeπyhyhfyψ y00121|)(39。|)]([)( 2 )( l n2 （ 2） 求 Y=2X2+1的概率密度。 在這里， Y=2X2+1在 (+∞，－∞ )不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。 設(shè) Y的分布函數(shù)是 FY（ y）， 則 FY ( y)=P (Y≤ y)=P (2X2+1≤ y) = ???????? ????? 2 12 1 yXyP 當(dāng) y1時(shí)： FY ( y)=0 當(dāng) y≥ 1時(shí)：? ????????????? ?????? 2 12122212 12 1)( yyxy dxeπyXyPyF 故 Y的分布密度ψ ( y)是： 當(dāng) y≤ 1時(shí)：ψ ( y)= [FY ( y)]39。 = (0)39。 =0 當(dāng) y1時(shí)，ψ ( y)= [FY ( y)]39。 =?????????? ????21212221yyx dxe? =4 1)1(2 1 ??? yeyπ （ 3）求 Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Y≤ y )=P ( | X |≤ y) 當(dāng) y0時(shí)， FY ( y)=0 當(dāng) y≥ 0時(shí)， FY ( y)=P (| X |≤ y )=P (－ y≤ X≤ y)=???yyx dxeπ 2221 ∴ Y的概率密度為： 當(dāng) y≤ 0時(shí)：ψ ( y)= [FY ( y)]39。 = (0)39。 =0 當(dāng) y0時(shí)：ψ ( y)= [FY ( y)]39。 =2222 221yyyx eπdxeπ ?? ? ??????????? 33.[三十 ] （ 1）設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為 f (x)，求 Y = X 3的概率密度。 ∵ Y=g (X )= X 3 是 X單調(diào)增函數(shù)， 又 X=h (Y ) = 31Y ，反函 數(shù)存在， 且 α = min[g (－∞ ), g (+∞ )]=min(0, +∞ )=－∞ β = max[g (－∞ ), g (+∞ )]= max(0, +∞ )= +∞ ∴ Y的分布密度為： ψ ( y)= f [h ( h )]178。 | h39。 ( y)| = 0,31)( 3231 ???????? ? yyyyf 但 0)0( ?? （ 2）設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 1的指數(shù)分布，求 Y=X 2的概率密度。 法一：∵ X的分布密度為： ??? ??? ? 00 0)( xxexf x Y=x2 是非單調(diào)函數(shù) 當(dāng) x0時(shí) y=x2 ? 反函數(shù)是 yx ?? 當(dāng) x0時(shí) y=x2 ? yx? ∴ Y～ fY (y) = ))(())(( ????? yyfyyf － y = ????????? ??000,2 12 10yyeyey yy 法二： )()()()()(~ yXPyXPyXyPyYPyYFY ??????????? ?????????? ???0,00,100yyedxe yy x ∴ Y～ fY (y) = ????????.0,0.0,2 1yyey y x O y y=x2 34.[三十一 ] 設(shè) X的概率密度為 ????? ???為其他xπxπ xxf002)( 2 求 Y=sin X的概率密度。 ∵ FY ( y)=P (Y≤ y) = P (sinX≤ y) 當(dāng) y0時(shí)： FY ( y)=0 當(dāng) 0≤ y≤ 1時(shí)： FY ( y) = P (sinX≤ y) = P (0≤ X≤ arc sin y或 π－ arc sin y≤ X≤ π) = ?? ?? π yπy dxπ xdxπ x a r c s in 2a r c s in0 2 22 當(dāng) 1y時(shí)： FY ( y)=1 ∴ Y的概率密度ψ ( y )為： y≤ 0時(shí)，ψ ( y )=[ FY ( y)]39。 = (0 )39。 = 0 0y1時(shí)，ψ ( y )=[ FY ( y)]39。 =??????? ? ?? ?π yπy dxπ xdxπ x a r c s in 2a r c s in0 2 22 = 212 yπ ? 1≤ y時(shí)，ψ ( y )=[ FY ( y)]39。 = )1(? = 0 36.[三十三 ] 某物體的溫度 T (oF )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有 T～ N（ ， 2），試求 θ(℃ )的概率密度。 [已知 )32(95 ?? Tθ ] 法一：∵ T的概率密度為??????? ??? tetf t ,22 1)( 22 )( 2? 又 )32(95)( ??? TTgθ 是單調(diào)增函數(shù)。 3259)( ??? θθhT 反函數(shù)存在。 且 α = min[g (－ ∞ ), g (+∞ )]=min(－∞ , +∞ )=－∞ β = max[g (－∞ ), g (+∞ )]= max(－∞ , +∞ )= +∞ ∴ θ 的概率密度ψ (θ )為 5922 1|)(39。|)]([)( 4)( 2 ???? ??? θeπθhθhfθψ ????????? θeπθ ,10 9 100)37(81 2 法二：根據(jù)定理：若 X～ N（ α1， σ1），則 Y=aX+b～ N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于 T～ N（ , 2） 故 ???????? ???????????????? ??????????? 295,9333295,~916095 22 NNTθ 故 θ 的概率密度為： ???????????????????????? ?????????,10929521)( 100 )37(8129529333222ee 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布 1.[一 ] 在一箱子里裝有 12 只開關(guān)，其中 2 只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗(yàn)：（ 1）放回抽樣，（ 2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量 X， Y 如下： ???????若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,0X ???????若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,0Y 試分別就（ 1）（ 2）兩種情況，寫出 X和 Y的聯(lián)合分布律。 解：（ 1）放回抽樣情況 由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。 P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )= 362512101210 ?? P (X=0, Y=1 )= 3651221210 ?? P (X=1, Y=0 )= 3651210122 ?? P (X=1, Y=1 )= 361122122 ?? 或?qū)懗? X Y 0 1 0 3625 365 1 365 361 （ 2）不放回抽樣的情況 P {X=0, Y=0 }= 66451191210 ?? P {X=0, Y=1 }= 66101121210 ?? P {X=1, Y=0 }= 66101110122 ?? P {X=1, Y=1 }= 661111122 ?? 或?qū)懗? X Y 0 1 0 6645 6610 1 6610 661 3.[二 ] 盒子里裝有 3 只黑球， 2只紅球， 2只白球，在其中任取 4只球，以 X 表示取到黑球的只數(shù)，以 Y表示取到白球的只數(shù)，求 X， Y的聯(lián)合分布律。 X Y 0 1 2 3 0 0 0 353 352 1 0 356 3512 352 2 351 356 353 0 解：（ X， Y）的可能取值為 (i, j)， i=0， 1， 2， 3， j=0， 12， i + j≥ 2，聯(lián)合分布律 為 P {X=0, Y=2 }= 351472222 ?CCC P {X=1, Y=1 }= 35647221213 ?C CCC P {X=1, Y=2 }= 35647122213 ?C CCC P {X=2, Y=0 }= 353472223 ?CCC P {X=2, Y=1 }= 351247121223 ?C CCC P {X=2, Y=2 }= 353472223 ?CCC P {X=3, Y=0 }= 352471233 ?CCC P {X=3, Y=1 }= 352471233 ?CCC P {X=3, Y=2 }=0 5.[三 ] 設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）概率密度為 ????? ??????? 其它,0 42,20),6(),( yxyxkyxf （ 1）確定常數(shù) k。 （ 2）求 P {X1, Y3} （ 3）求 P (X} （ 4）求 P (X+Y≤ 4} 分析：利用 P {(X, Y)∈ G}= ???? ?? oDGG dydxyxfdydxyxf ),(),( 再化為累次積分，其中???????????????42,20),(yxyxDo 解：（ 1）∵ ? ? ?????? ???? ???? 20 12 )6(),(1 dy dxyxkdydxyxf ， ∴ 81?k （ 2） 83)6(81)3,1( 3210 ?? ?????? dyyxdxYXP （ 3） 3227)6(81),()( ????????? ?? dyyxdxYXPXP （ 4） 32)6(81)4( 4020 ?????? ?? ? dy