【正文】 (2) 試確定常數(shù)c，使為m 2的無偏估計． 解：（1）因為所以當時，為s 2的無偏估計。解：因為X～P(l)，由契比謝夫不等式可得2. 設(shè)E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，r XY = – ，試根據(jù)契比謝夫不等式估計P{|X + Y | 179。 當z179。z|X=1}+P{X=0}P{X+Y163。 當z179。u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y163。4}=P{2163。0時， 當y0時，所以，12 解：由得13解：Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的所有可能取值如下表pi(X,Y)(0,1)(0,0)(0,1)(1,1)(1,0)(1,1)(2,1)(2,0)(2,1)max(X,Y)001111222Min(X,Y)100101101Z=max(X,Y),W=min(X,Y)的分布律為Z012Pk W 101Pj 14 解： 由獨立性得X，Y的聯(lián)合概率密度為則P{Z=1}=P{X163。1/2=/3同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3。所以P(ABC) =0,因為A，B，C兩兩相互獨立，所以由加法公式得 即 考慮到得 2．設(shè)事件A，B，C的概率都是，且，證明：． 證明：因為，所以將代入上式得到整理得 3．設(shè)0 P(A) 1，0 P(B) 1，P(A|B) +，試證A與B獨立． 證明：因為P(A|B) +，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)[1P(B)]并整理得到所以A與B獨立. 4．設(shè)A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨立的充分必要條件． 證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)[1P(A)]并整理得到所以A與B獨立. 必要性：由于A與B獨立，即且所以一方面另一方面所以 5．一學生接連參加同一課程的兩次考試．第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為. (1) 若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率． 解：設(shè)Ai=“第i次及格”，i=1，由全概率公式得(1) 他取得該資格的概率為(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為 6．每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收．由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%．求檢驗一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率． 解：設(shè)Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品”，i=0，1，=“一件產(chǎn)品為正品”，N=“一件產(chǎn)品被檢驗為正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率為 7．用一種檢驗法檢驗產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下．；；．今獨立地對一產(chǎn)品進行三次檢驗，結(jié)果是兩次檢驗認為含有雜質(zhì)，而有一次認為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率． 解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”，Bi=“對一產(chǎn)品進行第i次檢驗認為含有雜質(zhì)”，i=1,2,3. 已知獨立進行的三次檢驗中兩次認為含有雜質(zhì)，一次認為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗認為含有雜質(zhì)，第三次認為檢驗不含有雜質(zhì)，即B1，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知所以所求概率為由于三次檢驗是獨立進行的，所以 8．火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，．試問 (1) 火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少？ (2) 都不被擊毀的概率等于多少？ 解：設(shè)Ai=“第i次射擊目標被擊毀”，i=1,2,3,4. 已知所以 (1) 火炮被擊毀的概率為 坦克被擊毀的概率為 (2) 都不被擊毀的概率為 9．甲、乙、丙三人進行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩次為止，此人即為冠軍，而每次比賽雙方取勝的概率都是，現(xiàn)假定甲乙兩人先比，試求各人得冠軍的概率． 解：Ai=“甲第i局獲勝”， Bi=“乙第i局獲勝”，Bi=“丙第i局獲勝”，i=1,2,….，已知，由于各局比賽具有獨立性，所以在甲乙先比賽，且甲先勝第一局時，丙獲勝的概率為同樣，在甲乙先比賽，且乙先勝第一局時，丙獲勝的概率也為丙得冠軍的概率為甲、乙得冠軍的概率均為第二章9. X112pi 分析：由題意，該隨機變量為離散型隨機變量，根據(jù)離散型隨機變量的分布函數(shù)求法，可觀察出隨機變量的取值及概率。 x，y 163。（2）根據(jù)題意，而P(B1)=P(B2)=,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)= P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。6. （1）當時，即時，當時，即y1時，所以；（2）， 當時，為不可能事件，則， 當時，則， 當時，則，根據(jù)得 ；（3），當時，當時，所以 ；7. (1) 證明：由題意知。1}=6 解：X的所有可能取值為0,1,2,Y的所有可能取值為0,1,2, 3.P{X=0,Y=0}==。1/2,Y163。0時，所以，于是，S=ＸY概率密度為：由全概率公式：FU(u)=P{U163。FY(u2)所以，fU(u) =180。1/2}=1/2(2) 由全概率公式：FZ(z)=P{Z163。z}=1/3180。5時，0.E(X) =所以這種家電的平均壽命E(X)=10年.9. 在制作某種食品時，面粉所占的比例X的概率密度為求X的數(shù)學期望E(X)．解：E(X) ==1/4 10. 設(shè)隨機變量X的概率密度如下，求E(X)．解：.11. 設(shè)，求數(shù)學期望．解：X的分布律為， k = 0，1，2，3，4，X取值為0，1，2，3，4時，相應(yīng)的取值為0，1，0，1，0，所以 12. 設(shè)風速V在(0，a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的正壓力W是V的函數(shù)：，（k 0，常數(shù)），求W的數(shù)學期望．解：V的分布律為，所以 13. 設(shè)隨機變量(X, Y )的分布律為 Y X01203/289/283/2813/143/14021/2800求E(X)，E(Y )，E(X – Y )．解：E(X)=0(3/28+9/28+3/28）+1(3/14+3/14+0)+ 2(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E(Y)=0（3/28+3/14+1/28）+1(9/28+3/14+0)+ 2(3/28+0+0)=21/28=3/4 E(XY) = E(X) E(Y)=1/23/4= 1/4.14. 設(shè)隨機變量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 15. 某工廠完成某批產(chǎn)品生產(chǎn)的天數(shù)X是一個隨機變量，具有分布律X10 11 12 13 14pi 所得利潤（以元計）為,求E(Y)，D(Y)．解： E(Y) = E［1000(12X)］=1000[(1210)+(1211)]+(1212)+(1213)+(1214)] = 400E(Y2) = E［10002(12X)2］=10002[(1210)2+（1211）2+（1212）2+（1213）2+（1214）2]=106D(Y)=E(Y2)［E(Y)］2=106 4002=106 16. 設(shè)隨機變量X服從幾何分布 ，其分布律為其中0 p 1是常數(shù)，求E(X)，D(X)．解：令q=1 p ,則 D(X) = E(X2) E(X) =2q/p2+1/p1/p2 = (1p)/p217. 設(shè)隨機變量X的概率密度為，試求E(X)，D(X)．解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 設(shè)隨機變量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，．解：因為，所以=1/632=1,19. 在題13中求Cov(X，Y)，rXY．解：E(X) =1/2, E(Y) =3/4, E(XY)=0(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28）+13/14+20+40=3/14, E(X2)= 02（3/28+9/28+3/28）+12(3/14+3/14+0)+ 22(1/28+0+0)=4/7, E(Y2)= 02（3/28+3/14+1/28）+12(9/28+3/14+0)+ 22(3/28+0+0)=27/28, D(X)= E(X2) ［E(X)］2 = 4/7(1/2)2= 9/28, D(Y)= E(Y2) ［E(Y)］2=27/28(3/4)2= 45/112, Cov(X，Y)= E(XY) E(X) E(Y) =3/14 (1/2) (3/4)= 9/56, rXY = Cov(X，Y) /()=9/56 184。10000}= ，解得 n=12655%的把握保證出廠的電腦均能裝上合格的配件。 8. 設(shè)是取自總體N(m，1)的一個樣本，試證下面三個估計量均為m的無偏估計量，并確定最有效的一個．， 證明：因為獨立均服從N(m，1)，且.所以，均為m的無偏估計量。 (2) s 未知． 解：（1）由于s = ，求m 的置信區(qū)間由公式計算，其中n=9，a=，代入計