對(duì)多值解析函數(shù)研究-資料下載頁(yè)
2025-06-07 18:51本頁(yè)面
【正文】 解。將nR1z的各支點(diǎn)連接在一起作割線(xiàn)。再對(duì)R2(z)同樣分解如此進(jìn)行下去，便得出nRz的最大可單值分支區(qū)域。例如，求Fz=z1z2z3z4 的可單值分支區(qū)域。容易看出 z=1,2,3,4是Fz的支點(diǎn)，顯然在復(fù)平面上沿實(shí)軸從z=1到z=4作割線(xiàn)，在所得的區(qū)域D內(nèi)，即是可單值分支區(qū)域。但為了使割線(xiàn)盡可能短些，現(xiàn)在考查僅含兩個(gè)支點(diǎn)的Jordan閉曲線(xiàn)。設(shè)g是一條不通過(guò)z=1,2,3,4且僅包含z=1,2的Jordan閉曲線(xiàn)，則?gargz1z2z3z4=?gargz1+?gargz2+?gargz3+?gargz4=177。2π177。2π+0+0=177。4π.根據(jù)引理3，有?gFz=0，同理，若取C是僅包含z=3,4的Jordan閉曲線(xiàn)，也可得?gFz=0。于是做連接z=1，z=2的直線(xiàn)段及連接z=3，z=4的直線(xiàn)段為割線(xiàn)所得的區(qū)域D就是Fz的可單值分支區(qū)域。 應(yīng)用實(shí)例研究Fz=ln?(1+z2)的支點(diǎn)，并求滿(mǎn)足條件：F0=2kπi的一個(gè)解析分支在z=2處的值。解 由引理4 知ln?(1+z2)與arg(1+z2)有相同的支點(diǎn)，易知為i,i, ∞。割線(xiàn)可以取從i到i的射線(xiàn)，或者反過(guò)來(lái)。但考慮到z=0,z=2不能再割線(xiàn)上，所以取i到1，從i到1，并沿實(shí)軸的負(fù)方向的直線(xiàn)為割線(xiàn)，從而割破平面得單值解析分支區(qū)域D。由初值定義及已知條件： F0=ln1+z2+iarg1+z2|z=0=2πi，得arg1+0=2π。故所得單值解析分支為：ln1+z2=ln1+z2+iarg1+z2+2πi 注意，此處的argz取主值，則F2=ln5+2πi。4 結(jié)論由這些討論可以看出，多值性在復(fù)變函數(shù)中占有很重要的意義。復(fù)變函數(shù)的多值性和單值性的相互轉(zhuǎn)換也是非常靈活，并且有規(guī)律的。 數(shù)學(xué)是解決問(wèn)題的基本手段之一，只有搞懂多值函數(shù)的一些重要的性質(zhì)，就可以在實(shí)際的應(yīng)用中，解決一些在理論分析中無(wú)法解決的問(wèn)題。參考文獻(xiàn)：[1] 金庭枝. 多值函數(shù)的單值解析分支[J]. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 23(2).[2] 韓惠麗. 多值函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2007, 23(4).[3] 王健濤. 復(fù)變函數(shù)的多值性與單葉分支[J]. 哈爾濱學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 24(10).
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