對(duì)多值解析函數(shù)研究-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 。如同對(duì)幅角函數(shù)的處理方法，我們把z平面沿負(fù)實(shí)軸割開(kāi)那么，在此割破的平面上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)z從某一點(diǎn)z0沿任意的閉曲線(xiàn)（此閉曲線(xiàn)不會(huì)跨過(guò)負(fù)實(shí)軸，也不會(huì)包含原點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)一周，回到點(diǎn)z0時(shí)，幅角不會(huì)改變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值將都位于同一角形區(qū)域Tk中，比如取πθπ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)單值區(qū)域就是πn?πn，此時(shí)k取0，w=nr?eiθn 稱(chēng)為多值函數(shù)的主支。：在其任一鄰域中的任一條閉約當(dāng)曲線(xiàn)上繞它作(一次)完全環(huán)繞，可將多值函數(shù)的一個(gè)分支變?yōu)檫@函數(shù)的另一分支。解：（1）令zα(zβ)zγ=0、∞，得z=α、β、γ、∞。故z=α是支點(diǎn)。這個(gè)定理可以檢驗(yàn)怎樣取簡(jiǎn)單曲線(xiàn)連接支點(diǎn)作為割線(xiàn)是“適當(dāng)?shù)摹保词且豢煞謫沃捣种^(qū)域。引理2 設(shè)Rz=P(z)Q(z)=(za1)α1……(zan)αn(zb1)β1……(zbn)βn 則 ?gargRz=α1?gargza1+…+αn?gargzanβ1?gargzβ1…βn?gargzβn ，g是不通過(guò)P(z)，Q(z)零點(diǎn)的曲線(xiàn)。） 設(shè)D為多值函數(shù)的單值分支f(z)的解析區(qū)域，單值解析分支表達(dá)式fz|終=?gfz+f(z0)，其中g(shù)為D內(nèi)某一條可求長(zhǎng)的Jordan曲線(xiàn)，z0，z分別為g的起點(diǎn)與終點(diǎn)。第一類(lèi)：logR(z) 的可單值分支區(qū)域。因logRz=logR1z+logR2(z)，故之后只需考慮logR2(z)，的多值性。其中R1(z)為一有理式，其分子分母次數(shù)之差為n的整數(shù)倍，而R1(z)本身不能作類(lèi)似分解。容易看出 z=1,2,3,4是Fz的支點(diǎn)，顯然在復(fù)平面上沿實(shí)軸從z=1到z=4作割線(xiàn)，在所得的區(qū)域D內(nèi)，即是可單值分支區(qū)域。2π+0+0=177。解 由引理4 知ln?(1+z2)與arg(1+z2)有相同的支點(diǎn)，易知為i,i, ∞。故所得單值解析分支為：ln1+z2=ln1+z2+iarg1+z2+2πi 注意，此處的argz取主值，則F2=ln5+2πi。參考文獻(xiàn)：[1] 金庭枝. 多值函數(shù)的單值解析分支[J]. 遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2000, 23(2).[2] 韓惠麗. 多值函數(shù)在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2007, 23(4).[3] 王健濤. 復(fù)變函數(shù)的多值性與單葉分支[J]. 哈爾濱學(xué)院學(xué)報(bào), 2003, 24(10
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