20xx年浙江嘉興高考數學一模試卷-資料下載頁
2025-06-07 13:26本頁面
【正文】 的應用；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）根據導數的幾何意義可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程組解出a，b即可；（II）分離參數得出x﹣＜a＜x+，分別求出左側函數的最大值和右側函數的最小值即可得出a的范圍．【解答】解：（I）f′（x）=1﹣，∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+3，∴f′（1）=2，f（1）=5，∴，解得a=﹣1，b=4．（II）∵|f′（x）|＜對x∈[2，3]恒成立，即|1﹣|＜對x∈[2，3]恒成立，∴|x﹣a|＜對x∈[2，3]恒成立，∴x﹣＜a＜x+對x∈[2，3]恒成立，設g（x）=x﹣，h（x）=x+，x∈[2，3]，則g′（x）=1+＞0，h′（x）=1﹣＞0，∴g（x）在[2，3]上是增函數，h（x）在[2，3]上是增函數，∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）=．∴a的取值范圍是[2，]． 21．如圖，設斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C： +=1交于A、B兩點，且OA⊥OB．（Ⅰ）求直線l在y軸上的截距（用k表示）；（Ⅱ）求△AOB面積取最大值時直線l的方程．【考點】直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）設l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），由OA⊥OB，得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，聯立，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，由此利用韋達定理、根的判別式，結合已知條件能求出直線l在y軸上的截距．（Ⅱ）設△AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S=|AB|?d，由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出△AOB面積取最大值時直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）設l：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），∵斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C： +=1交于A、B兩點，且OA⊥OB，∴∠AOB=90176。，∴，∴x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，∴（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0，（*）聯立，消去y，得x2+3（kx+t）2=9，即（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣9=0，則，x1x2=，且△＞0，代入（*）從而得（1+k2）（3t2﹣9）﹣6k2t2+t2（1+3k2）=0，∴3t2﹣9﹣9k2+t2=0，∴，∴t=177。，∴直線l在y軸上的截距為或﹣．（Ⅱ）設△AOB的面積為S，O到直線l的距離為d，則S=|AB|?d，而由（1）知d=，且|AB|====，∴≤，當時，解得k=，∴t=，∴所求直線方程為y=或y=． 22．已知數列{an}滿足：a1=，an=an﹣12+an﹣1（n≥2且n∈N）．（Ⅰ）求a2，a3；并證明：2﹣≤an≤?3；（Ⅱ）設數列{an2}的前n項和為An，數列{}的前n項和為Bn，證明： =an+1．【考點】數列遞推式；數列的求和．【分析】（I）分別令n=2，3即可計算a2，a3，配方得an+＞（an﹣1+）2，利用{an+}的增減性得出不等式2﹣≤an，利用{an}增減性得出an≤?3；（II）分別使用因式分解和裂項法計算An，Bn，即可得出結論．【解答】解：（I）a2=a12+a1==，a3=a22+a2==．證明：∵an=an﹣12+an﹣1，∴an+=an﹣12+an﹣1+=（an﹣1+）2+＞（an﹣1+）2，∴an+＞（an﹣1+）2＞（an﹣2+）4＞＞（an﹣3+）8＞…＞（a1+）=2，∴an＞2﹣，又∵an﹣an﹣1=an﹣12＞0，∴an＞an﹣1＞an﹣2＞…＞a1＞1，∴an2＞an，∴an=an﹣12+an﹣1＜2a，∴an＜2a＜2?22＜2?22?24＜…＜2?22?24?…?2a1=2?（）=?3．綜上，2﹣≤an≤?3．（II）證明：∵an=an﹣12+an﹣1，∴an﹣12=an﹣an﹣1，∴An=a12+a22+a32+…an2=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an+1﹣an）=an+1﹣，∵an=an﹣12+an﹣1=an﹣1（an﹣1+1），∴==，∴=，∴Bn=…+=（）+（）+（﹣）+…+（）=﹣．∴==． 2017年3月30日第24頁（共24頁）
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