【正文】 連桿長(zhǎng)PQ=l, h如圖，且rhl+r．根據(jù)這個(gè)桿擺動(dòng)機(jī)構(gòu)使用的一般要求，做出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，解決以下問(wèn)題：(1)Ｐ的位移x與擺角β的函數(shù)關(guān)系；(2)擺角β的變化范圍；(3)滑塊P的行程（即滑塊P的最大距離）；(4)討論滑塊P運(yùn)動(dòng)速度的均勻性． xx二、模型假設(shè)與符號(hào)的約定 模型假設(shè)：假設(shè)滑塊P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與水平橫桿不受摩擦力影響；整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿與連桿之間、擺桿與轉(zhuǎn)軸點(diǎn)均不受摩擦力影響；所有擺桿、連桿都視為輕桿，不受重力作用；整個(gè)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持流暢狀態(tài)（不會(huì)互相阻礙）；三、問(wèn)題的分析 本題是典型的平面連桿擺動(dòng)機(jī)構(gòu)模型，由擺桿OQ繞O點(diǎn)擺動(dòng)，通過(guò)連桿PQ帶動(dòng)滑塊P水平往復(fù)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)從不同角度做出適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下，建立起平面連桿擺動(dòng)機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)該模型做出研究探討。四、模型的建立及求解(1)Ｐ的位移x與擺角β的函數(shù)關(guān)系；I、當(dāng)θ時(shí)①xx θ圖1如圖1所示，規(guī)定滑塊的位移向左為正，并設(shè)點(diǎn)處的位移，機(jī)構(gòu)的約束方程為：且x0即 消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：② θ x圖2如圖2 所示：0且x0即 消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：③x θ圖3如圖3所示： 且x0 即消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：II、當(dāng)θ時(shí)①x θ 圖4如圖4所示： 且x0 即消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：②x θ 圖5如圖5所示： 且x0 即消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：③xθ圖6如圖6所示： 0且x0 即消去參數(shù)可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為：III、當(dāng)θ＝時(shí) 綜上所述，當(dāng)θ時(shí)，當(dāng)θ時(shí)，當(dāng)θ＝時(shí)，(2)擺角β的變化范圍；(3)滑塊P的行程（即滑塊P的最大距離）；①當(dāng)時(shí)如圖7所示，當(dāng)垂直于負(fù)半軸時(shí)，即當(dāng)θ＝時(shí)，此時(shí)的擺角應(yīng)為最小值θx 圖7由幾何關(guān)系可得：當(dāng)滑塊P運(yùn)動(dòng)至最右端時(shí)，即與在一條直線上，滑塊P到達(dá)最小位移,根據(jù)三角形的勾股定理有： 如圖8所示，當(dāng)垂直于正半軸時(shí)，即當(dāng)θ＝時(shí)，此時(shí)的擺角應(yīng)為最大值θx圖8由幾何關(guān)系可得：當(dāng)滑塊P運(yùn)動(dòng)至最左端時(shí)，即與在一條直線上，滑塊P到達(dá)最大位移,根據(jù)三角形的勾股定理有：綜上所述，擺角的變化范圍為：滑塊P的行程區(qū)間為：所以滑塊的行程為：②當(dāng)時(shí)桿OQ與OP會(huì)運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)，此時(shí)兩桿重合，滑塊在慣性的作用下會(huì)向右運(yùn)動(dòng)，從而OQ會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)弧度。這時(shí)擺角可以取任意值與的情況相似，當(dāng)滑塊P運(yùn)動(dòng)至最右端時(shí)，即與在一條直線上，滑塊P到達(dá)最小位移,根據(jù)三角形的勾股定理有： 當(dāng)滑塊P運(yùn)動(dòng)至最左端時(shí)，即與在一條直線上，滑塊P到達(dá)最大位移,根據(jù)三角形的勾股定理有：即P的行程區(qū)間為所以滑塊的行程為：備注：如轉(zhuǎn)動(dòng)至最低點(diǎn)后又沿原路返回，或者在最低點(diǎn)靜止不動(dòng)了，則滑塊P只會(huì)在坐標(biāo)軸OO’的左平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。但這兩種情況在理想化模型應(yīng)該不會(huì)出現(xiàn)，因?yàn)槲覀兗僭O(shè)在沒(méi)有摩擦力的情況下，慣性會(huì)使滑塊向右運(yùn)動(dòng)。③當(dāng)時(shí)此時(shí)滑塊只能在負(fù)半軸或正半軸部分做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。下面我們以正半軸為例討論（負(fù)半軸情況同理）桿OQ與QP在向右轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)到圖示位置（見(jiàn)下圖9）時(shí)，滑塊在A處達(dá)到最小位移為然后在桿的作用下，滑塊會(huì)反向運(yùn)動(dòng)，從而到達(dá)B點(diǎn)，即桿OQ與QP成一條直線處，此處對(duì)應(yīng)于滑塊的最大位移 即P的行程區(qū)間為所以滑塊的行程為：x圖9討論滑塊P運(yùn)動(dòng)速度的均勻性．在前面第1問(wèn)中，我們已經(jīng)討論得出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此，我們對(duì)關(guān)于求導(dǎo)，可得（這里，為了便于后面的討論，我們?cè)O(shè)此結(jié)果為k,顯然k不是常數(shù)）假設(shè)位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，從而有速度與位移的關(guān)系為現(xiàn)在我們開(kāi)始討論的情況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性（的情況下運(yùn)動(dòng)學(xué)特性討論方式相同，這里不作詳細(xì)闡述）。即 〈一〉首先，我們從最簡(jiǎn)單的情況考慮：假設(shè)桿OQ勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則有（即角速度） ,其中c為常數(shù)，此時(shí)，與t是線性函數(shù)關(guān)系，我們假設(shè)從上述解析式可以看出，v的變化完全依賴于的變化而變化，我們利用MATLAB進(jìn)行編程，可以模擬出以下圖像當(dāng)時(shí)，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,c=1)當(dāng)時(shí)，可取任意值 (假設(shè)h=4,l=5,r=2,c=1)二〉假設(shè)桿OQ非勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，即轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為變量。我們給出下面幾種關(guān)于t的特殊函數(shù)關(guān)系：①如果則這樣利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像：當(dāng)時(shí)，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,a=2) 當(dāng)時(shí)，可取任意值 (假設(shè)h=4,l=5,r=2,a=2)②如果,則通過(guò)求導(dǎo)得到利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像：當(dāng)時(shí)，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,a=2)當(dāng)時(shí)，可取任意值(假設(shè)h=4,l=5,r=2,a=2)③如果,則通過(guò)求導(dǎo)得到那么利用上述函數(shù)關(guān)系式，我們可以模擬出下面的圖像：當(dāng)時(shí)，(假設(shè)h=4,l=3,r=2,a=2)當(dāng)時(shí)，可取任意值 (假設(shè)h=4,l=5,r=2,a=2)備注：⑴關(guān)于t可以有各種函數(shù)關(guān)系，以上我們只給出幾種較為常見(jiàn)的情況。⑵上述函數(shù)圖像我們運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件MATLAB進(jìn)行模擬，我們?cè)诟戒浿薪o出了源程序。五、 模型的評(píng)價(jià)和改進(jìn) 由于在以上探討研究中過(guò)程中，假設(shè)了滑塊P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中與水平橫桿不受摩擦力影響。桿與桿之間沒(méi)有摩擦，且不計(jì)兩桿的重力。而在現(xiàn)實(shí)生活中這些假設(shè)可能不會(huì)成立，這時(shí)我們得到的結(jié)果就會(huì)與實(shí)際生活情況完全不同，這個(gè)是需要改進(jìn)的，需要提高精確度。參考文獻(xiàn)【1】（美）William III 《Matlab 7基礎(chǔ)教程 ——面向工程應(yīng)用》 清華大學(xué)出版 【2】姜啟源、謝金星等，《數(shù)學(xué)模型》第三版，北京：高等教育出版社，2003附件：模型Matlab程序：%%該程序主要實(shí)現(xiàn)計(jì)算擺角的變化范圍和滑塊P的行程%%輸入?yún)?shù)：連桿PQ長(zhǎng)度l ，擺桿OQ長(zhǎng)度r ，擺動(dòng)機(jī)構(gòu)高度h%%輸出參數(shù)：滑塊P的行程X，擺角的變化范圍[Betamin,Betamax]%l=input(39。請(qǐng)輸入連桿PQ的長(zhǎng)度l：39。)。r=input(39。請(qǐng)輸入擺桿OQ的長(zhǎng)度r：39。)。h=input(39。請(qǐng)輸入擺動(dòng)機(jī)構(gòu)的高度h：39。)。X=2*sqrt((l+r)^2h^2)。 %計(jì)算滑塊P的行程Betamin=asin((hl)/r)。 %計(jì)算擺角Beta的最小值Beta(1)=round(Betamin*180/pi)。 %轉(zhuǎn)換成角的度量單位Betamax=piasin((hl)/r)。 %計(jì)算擺角Beta的最大值Beta(2)=round(Betamax*180/pi)。 %轉(zhuǎn)換成角的度量單位disp(39。滑塊P的最大行程為：39。),disp(X) %輸出滑塊P的行程disp(39。擺角的變化范圍為：39。),disp(Beta) %輸出擺角的變化范圍%%利用圖像分析滑塊P的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性%B=[Betamin::Betamax]。k=r*sin(B)r*cos(B).*(r*sin(B)h)./sqrt(l^2(hr*sin(B)).^2)。%（1）假設(shè)桿OQ勻速轉(zhuǎn)動(dòng)c=1。v=k*c。plot(B,v)%（2）假設(shè)桿OQ非勻速運(yùn)動(dòng)% ①Beta與時(shí)間t滿足冪函數(shù)關(guān)系a=2。v=a*k.*(B.^((a1)/1))。plot(B,v)% ②Beta與時(shí)間t滿足指數(shù)關(guān)系a=2。v=log(a)*k.*B。plot(B,v)%③ Beta與時(shí)間t滿足對(duì)數(shù)關(guān)系a=2。v=k./(log(a)*a.^B)。plot(B,v)36