【正文】 盾。所以必然為真，的任意性使得成立。證畢 圖 6II. ：我們首先證明一個在后面的證明中要用到的引理。：令為由導出的需求函數(shù)。則對于任意的和，的值域不包含E的上邊界，即。證明：假定()并且，這意味著是下列數(shù)學規(guī)劃問題的一個解:, subject to ?？紤]當趨于0時的極限，我們有：，然而，所以有必然成立，由于，我們有：。這與上不存在臨界點的要求相矛盾，所以。由于是上任意一點，：，因此我們必然有：。證畢為了證明是一個EUF，我們要證明：（1）E是的有效區(qū)域，導出一個需求函數(shù)（2）滿足瓦爾拉斯定律并且（3）是單值的。令“?”為一偏好次序滿足：。（1） E是的有效區(qū)域：證明：由于是在E上嚴格遞增并且,必然是屬于的相對飽和需求，即。，必然是的有效區(qū)域。（2） （瓦爾拉斯定律）：證明：，對于、在預算集約束下，以“?”為其偏好次序的消費者的需求集合將位于的范圍內(nèi)，即。我們首先要證明非空，即對于每一對，至少存在一個，使得成立。令為E的閉包，顯然是一個緊致集合，由于在X上處處連續(xù)，則必然存在一點使得取極大值（）。如果，（1），處處連續(xù)，因而，這意味著必然成立，于是我們有。如果則同樣根據(jù)條件1，E可能不包含下邊界中象這樣使得并且的點，即。如果，則非空，這正是我們要求證的。如果，那么，我們至少可以找到另一個點使得，即。這樣我們就證明了在任何情形下都非空。假定，則，由于在上不存在臨界點，我們有。所以我們總可以在以為球心的一個足夠小的開球內(nèi)找到另外一點，即，使得并且。由于在E上嚴格遞增，則必然成立，而這與我們的假定相矛盾。所以我們有。由于是中任意一點，我們有。證畢（3） 單值：證明：假定包含一個以上的元素，比如，則并且（）。如果連接x和y的線段（）完全位于E內(nèi)，則由條件1（在E內(nèi)嚴格準凹）可知，對任意，有成立。所以x和y都不可能是的元素，從而證明了是單值的。圖 7剩下的工作是要證明：即使的某些點不在有效區(qū)域E內(nèi)，x和y也同樣不可能是中的元素。為了簡單起見，我們考慮一個只包含兩個變量的EUF：。在圖7中，我們可以看到（即）與相交于，兩點，圖中箭頭表示沿某一特定路徑遞增的方向。令為的第2條邊界函數(shù)，則沿的效用函數(shù)可以寫成。由于上沒有臨界點，而且，因而對于任意的，這意味著在內(nèi)的極值點（最大值和最小值）一定是或（）。不失一般性，我們假定為最小值，從而一定有。 這樣就必然嚴格優(yōu)于上的飽和點，從而有，即。因而x和y都不可能是內(nèi)的元素。同理可證：對于包含任意多變量的EUF，x和y都不可能是內(nèi)的元素，就是說 單值。證畢參考文獻Allen, R. G. D. (1934), “The Nature of Indifference Curves”, Review of Economic Studies I: 110121.Arrow, K., and A. Enthoven (1961). “QuasiConcave Programming,” Econometrica, 29:779800Amman, H. M. (1997), “What is Computational Economics?” Computational Economics 10(2), May: 103105.Barten A. P. and V. B?hm (1982), “Consumer Theory”, in Handbook of Mathematical Economics, Vol. II, , ed. by K. J. Arrow and M. D. Intriligator, NorthHolland Publishing Company.Debreu, G. (1954), “Representation of Preference Ordering by a Numerical Function,” in Decision Processes, ed. By Thrall, Coombs, and Davis, New York, Wiley, pp. 159—165. —— (1959), Theory of Value, New York, Wiley.Hicks, J. R. (1946), Value and Capital, 2nd ed., Oxford, Clarendon Press.Jehle, G. A. and Philip J. R. (2001), Advanced Microeconomic Theory, Addison Wesley.李子江（1995），“數(shù)理經(jīng)濟——一般經(jīng)濟均衡理論與方法”，中國社會科學出版社出版。MasColell (1985), A. The Theory of General Economic Equilibrium: A differentiable approach, Cambridge University Press.McKenzie, L. W. (1957), “Demand Theory without a Utility Index,” Review of Economic Studies, XXIV, June.Mendelson, B. (1962), Introduction to Topology, Blackie amp。 Son Limited.祁曉冬（1996），“從其數(shù)效用函數(shù)導出的個人需求函數(shù)”，《經(jīng)濟研究》第12期—— (1997)，“可計算效用函數(shù)模型及其應用”中國數(shù)量經(jīng)濟學會第六界年會論文，發(fā)表于《數(shù)量經(jīng)濟學導論》：張守一、張屹山主編，社會科學文獻出版社1998年出版?！?(1998)，“有效區(qū)域和擴展CES效用函數(shù)”，《數(shù)量經(jīng)濟與技術經(jīng)濟》第15卷，第11期?！?(2001), “Utility Function with an Effective Region—Expanded CES Utility Function etc.” 待發(fā)表。Rader, T. (1963), “Existence of a Utility Function to Represent Preferences,” Review of Economic Studies, 30, October.Takayama, A (1976), Mathematical Economics, 2nd Edition, Cambridge University Press, Reprinted 1986.21 /