【正文】 in2v。從而gvv=1，guv= gvu=0，guu= 1/sin2v。由仿射聯(lián)絡(luò)公式，可有Gvuu=sinvcosv，Guuv=Guvu=cotv。其余為0。于是，約束在 “單位球面”上的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程為，“單位球面”上的契約曲線將方程組的第二式，兩端同除以ds/du，則有即則其中，lnC為積分常數(shù)。并由此得將其代入ds2=dv2+sin2v du2.→1=(dv/ds)2+sin2v (du/ds)2，可導(dǎo)得將du/ds與dv/ds式相除，消去ds，則令a2=1/C21，則兩邊積分，并取積分常數(shù)為π/2，則有這正是u，v在邊長(zhǎng)為π的“Edgeworth盒”上的契約曲線。它是“曲面”上的u，v關(guān)系曲線，平鋪到“平面”上的結(jié)果。并且，該曲線有2個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)(0,0)，(π,π)和1個(gè)不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)(π/2, π/2)。00a=1450450效用分布密度圖6－2 球面條件下效用分布密度及契約曲線dudvuv契約曲線當(dāng)v206。[0,π/2)時(shí)，交換是保守的；而當(dāng)v206。(π/2,π]時(shí)，交換卻是冒險(xiǎn)的。這確實(shí)反映了交換的心理變化過(guò)程。 這從另外的意義上說(shuō)明，我們平常用心理實(shí)驗(yàn)獲的契約曲線，實(shí)際上是并不是它的真實(shí)情況，而是曲面上的關(guān)系在平面上的一個(gè)變形 比如平面地圖上的國(guó)境線，并不是真正地理上的國(guó)境線；平面地圖上的國(guó)境線形狀，也不是真正地理上的國(guó)境線形狀；真正地理上的國(guó)境線及國(guó)境線形狀，必須到真實(shí)的地球空間去觀察；平面地圖上的國(guó)境線及國(guó)境線形狀，只不過(guò)是球面地理在這個(gè)平面上的投影。167。7，求“Edgeworth盒”的無(wú)差異函數(shù)方法，無(wú)差異曲線性質(zhì)，無(wú)差異函數(shù)無(wú)差異函數(shù)，是等s的u,v關(guān)系方程。由167。6可知：契約曲線與“測(cè)地線” 方程的積分常數(shù)有關(guān)；契約曲線是“測(cè)地線”方程積分常數(shù)的函數(shù)；但這個(gè)積分常數(shù)卻與s有關(guān)。因此，由“測(cè)地線” 方程解出u,v并消掉積分常數(shù)，就可求出u,v的無(wú)差異函數(shù)。無(wú)差異函數(shù)，也與空間的度規(guī)有關(guān)。當(dāng)時(shí)，從典型黎曼面ds2=177。du2+ dv2 的“測(cè)地線”方程，有解得契約關(guān)系方程及聯(lián)立方程消去積分常數(shù)a，則得典型黎曼面的無(wú)差異曲線它是有條件凸向原點(diǎn)的變形雙曲線或者變形橢圓。00l=0850450圖7－1 有條件凸向原點(diǎn)的無(wú)差異曲線uvuvl185。0特別是積分常數(shù)l=0時(shí)，雙曲線繞軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)。有(sh)2 = 177。u2 + v2.如圖7－1右。，“單位球面”上的無(wú)差異函數(shù)由167。6有：式中C為積分常數(shù)。令a2=1/C21，從而有解得又因?yàn)樗杂衭，v契約關(guān)系曲線聯(lián)立方程組消去a，則得“單位球面”上的無(wú)差異函數(shù)cos2(hs)=sin2(v)cos2(lu).也就是它是“Edgeworth盒”上部分凸向原點(diǎn)的曲線。l185。π/2+2nl=π/2+2n圖7－2 部分凸向原點(diǎn)的無(wú)差異曲線v0300uv0300u“Edgeworth盒”的參數(shù)v206。[0, π] ，u206。[0, π]。如果考慮v, u的周期性，則無(wú)差異函數(shù)應(yīng)修正為值得注意的是：這個(gè)修正公式，我們可以用來(lái)解釋“Giffen產(chǎn)品”的成因，以及“Giffen產(chǎn)品”與“Keynes陷阱” 的關(guān)系 “Keynes陷阱”的寬度與|sh|有關(guān)。在周期內(nèi)，“Keynes陷阱”的寬度隨|sh|增加而逐漸減小。，無(wú)差異曲線的性質(zhì)由于典型黎曼面是黎曼面的一個(gè)特例。因此，典型黎曼面上的無(wú)差異曲線，應(yīng)該是無(wú)差異曲線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式。也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)曲面變換，將任何無(wú)差異曲線，變換成典型黎曼面上的無(wú)差異曲線形式。預(yù)了解無(wú)差異曲線的性質(zhì)，只要了解典型黎曼面上的無(wú)差異曲線性質(zhì)即可。典型黎曼面上的無(wú)差異曲線，其性質(zhì)應(yīng)該具有高度的普適性。(1)、典型黎曼面上的無(wú)差異曲線的標(biāo)準(zhǔn)變換通過(guò)坐標(biāo)變換，可將無(wú)差異曲線，壓縮到一個(gè)“Edgeworth盒”里去。這樣做的目的，是為便于對(duì)無(wú)差異曲線進(jìn)行觀察和標(biāo)準(zhǔn)分析。令u=(sh)u*，v=(sh)v*，d=l/(sh)，則典型黎曼面上的無(wú)差異曲線，將化為依然用u*→u，v*→v，則無(wú)差異曲線的特征方程為對(duì)u求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，有顯然，無(wú)差異曲線并不是絕對(duì)地向下偏斜和無(wú)條件凸向原點(diǎn)，而是有條件的。(2)、無(wú)差異曲線的偏斜條件與“Giffen產(chǎn)品”的成因當(dāng)無(wú)差異曲線為變形的雙曲線時(shí)，如果0u(d)1/3，則v’(u)0，無(wú)差異曲線是向下偏斜的；如果u(d)1/3，就有v’(u)0，無(wú)差異曲線是向上偏斜的，即此時(shí)出現(xiàn)了“Giffen產(chǎn)品”；如果u=(d)1/3，則v’(u)=0，無(wú)差異曲線有極值。當(dāng)無(wú)差異曲線為變形的橢圓線時(shí)，d0d0d000450650vuvud000d185。0450250圖7－3 無(wú)差異曲線的偏斜條件與“Giffen產(chǎn)品”的成因uvuvd185。0如果0u(d)1/3，則v’(u)0，無(wú)差異曲線是向下偏斜的；如果1179。u(d)1/3，就有v’(u)0，無(wú)差異曲線向上偏斜，“Giffen產(chǎn)品”出現(xiàn)；如果u=(d)1/3，則v’(u)=0，無(wú)差異曲線有極值。(3)、無(wú)差異曲線的性質(zhì)無(wú)差異曲線的偏斜程度與d有關(guān)。而d又l/(sh)與有關(guān)。當(dāng)l固定時(shí)，(sh)越大，d越小，無(wú)差異曲線的偏斜變化愈強(qiáng)烈，此時(shí)“Giffen產(chǎn)品”就比較容易觀察到；反之，(sh)越小，d越大，無(wú)差異曲線的偏斜變化愈小，此時(shí)“Giffen產(chǎn)品”就基本不會(huì)出現(xiàn)。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)認(rèn)為，“Giffen產(chǎn)品”的出現(xiàn)與產(chǎn)品的“奢侈”程度有關(guān)。我們認(rèn)為是缺乏邏輯依據(jù)的。167。8，小結(jié)本文討論了“阿羅不可能定理”的邏輯問(wèn)題。同時(shí)指出，如果將效用函數(shù)放在非歐空間里考察，則“投票悖論”可以解決。本文給出了效用函數(shù)在空間里的一個(gè)猜想模型，并證明了這種可能性。以及如何利用這個(gè)模型，求“Edgeworth 盒”的契約曲線及無(wú)差異函數(shù)。模型的結(jié)果表明：效用函數(shù)與系統(tǒng)的空間結(jié)構(gòu)有關(guān)；傳統(tǒng)的“阿羅定理”詮釋是不完備的。我們從模型上給出了“阿羅不可能定理”的新解。特別是對(duì)“獨(dú)裁性”的詮釋，以及 “Giffen產(chǎn)品”的成因，本文的觀點(diǎn)與傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)略有不同。參考文獻(xiàn)：[1] 阿羅，社會(huì)選 擇與個(gè)人價(jià)值(中譯本)，成都，四川人民出版社，1987年[2] Arrow,K, Choice and Individual Values (2nd.) . 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Keywords： Utility function, NonEuclidean space, Arrow Impossibility Theorem, Edgeworth contract curve, indifference function, conjectural model.24 / 24