旋轉(zhuǎn)幾何證明-資料下載頁
2025-05-16 05:13本頁面
【正文】 。 例7. 已知，點P是正方形ABCD內(nèi)的一點，連接PA、PB、PC。（1）將△PAB繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90176。到△的位置（如圖14）①設(shè)AB的長為a，PB的長為b（ba）。求△PAB旋轉(zhuǎn)到△的過程中邊PA所掃過區(qū)域（圖14中陰影部分）的面積。②若PA=2，PB=4，∠APB=135176。，求PC的長。圖14（2）如圖15，若，請說明點P必在對角線AC上。解析：要說明點P必在對角線AC上（即點A、點P、點C三點成一直線）關(guān)鍵是弄懂第（1）小題的問題，實質(zhì)第（1）小題的解答過程為第（2）問埋下伏筆，讓學(xué)生從中受到啟發(fā)，運用類比方法就易解答該題，簡答如下：（1）①圖15②如圖16，連接，將△PAB繞B點順時針旋轉(zhuǎn)90176。到△的位置，則。AP=，∠APB=∠，∴△為等腰直角三角形，∴，∠?！郟C=6圖16（2）將△PAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90176。到△的位置（如圖17）則，∠APB=，連接，則。即點P必在對角線AC上。圖17六. 通過旋轉(zhuǎn)探求線段之間的關(guān)系 例8. 如圖18，E是正方形ABCD的邊BC上的一點，AF平分∠EAD交CD于點F。求證：AE=BE+DF。圖18解析：解此題的關(guān)鍵是如何把分散的三條線段集中到一個三角形中，經(jīng)觀察可通過旋轉(zhuǎn)三角形達到目的。將△ADF繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90176。到△ABG（如圖19），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：△ADF≌△ABG。則DF=BG，∴BE+DF=BE+GB=GE∴在△AGE中，AE=GE∴AE=BE+DF圖19 例9. 操作：如圖20，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120176。的等腰三角形，以D為頂點作一個60176。角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN。圖20探究：線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，并加以證明。說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的思路，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少三步）；（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程中，可以從下列①②中選出一個補充或更換已知條件，完成你的證明：①AN=NC（如圖21）；②DM//AC（如圖22）圖21圖22附加題：若點M、N分別是射線AB、CA上的點，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關(guān)系，在圖22中畫出圖形，并說明理由。圖23解析：解此題的關(guān)鍵是如何將MN、BN、CN三條線段集中起來，根據(jù)題設(shè)條件，通過旋轉(zhuǎn)，再借助三角形全等進行證明。把△BDM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120176。得到△。（如圖24），由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△DBM≌，則BM=，DM=，∠BDC=∠?！摺螹DN=60176?！唷?。DN=DN∴△MDN≌（SAS）圖24附加題：把△DMB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120176。得到。（如圖25），證明思路可仿照上述小題，具體過程同學(xué)們自己補充完整。圖25
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