【導讀】P(x,y)在直線y=kx+2上，記。則實數(shù)k的取值是.1或-1解析：直線y=kx+2恒過定點（0,2），，當且僅當xy=時取等號，可得：只有當1k=?時，使T取得最小值的點P. 注意到直線恒過定點（0,2），畫圖觀察斜率k取不同值的情況下，T取最小值的點P的個數(shù)，P為直線l上的點，R是線段PF與y軸的交點，且點Q滿足FPRQ?過點F的直線交拋物線E于BA,兩點，直線OBOA,分別與直線l交于NM,兩點??拋物線的定義和幾何性質(zhì)；直線的方程；圓的方程；直線與拋物線的位置關(guān)系.因為O點為FC得中點且OR∥PC，所以R為線段PF中點，又因為EQ⊥PF，所以RQ為PF得垂直平分線，可知PQ=QF.根據(jù)拋物線定義得Q點在拋物線E：24yx=上.如圖所示.yxE相切，則雙曲線C的離心率等。由點到這些的距離公式得關(guān)于a,b的方程，進而求得離心率.

　　

【正文】 || ||PQTF最小時，求點 T的坐標． 【知識點】橢圓的性質(zhì) 直線與橢圓 H5 H8 【答案】（Ⅰ） 126 22 ?? yx；（Ⅱ） 3?t ， ? ?3,1 或 ? ?3, 1? . 【解析】解析： （Ⅰ）由已知可得?????????,3,422 22babac 解得 226 ＝ ， ＝ 所以橢圓 C 的標準方程是 126 22 ?? yx. ????????????????（ 4 分） （Ⅱ）（?。┯桑á瘢┛傻茫?F 點的坐標是 (2， 0). 設直線 PQ 的方程為 2x my?＝ ， 將直線 PQ 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立，得 222162x myxy????? ???? 消去 x，得 223 4 0) 2( m y m y?＋ － ＝，其判別式 22(1 6 8 3 .) 0mm??＝ ＋ ＋ 設 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，則1 2 1 22242,33my y y ymm??? ? ??? 于是1 2 1 2 2( 124 3)x x m y y m? ?＋ ＝ ＋ ＝ 設 M 為 PQ 的中點，則 M 點的坐標為 )32,36(22 ??? m mm. 因為 PQTF? ，所以直線 FT 的斜率為 m? ，其方程為 )2( ??? xmy . 當 tx? 時， ? ?2??? tmy ，所以 點 T 的坐標為 ? ?? ?2, ?? tmt ， 此時直線 OT 的斜率為 ? ?ttm 2?? ，其方程為 xt tmy )2( ?? . 將 M 點的坐標為 )32,36(22 ??? m mm代入， 得 36)2(3222 ?????? mt tmm m. 解得 3?t . ??????????????? ???（ 8 分） （ⅱ）由（?。┲?T 為直線 3?x 上任意一點可得，點 T的坐標為 ),3( m? . 于是 1|| 2 ?? mTF ， 221221221221 )()]([)()(|| yyyymyyxxPQ ???????? ]4))[(1( 212212 yyyym ???? ]324)34)[(1( 2222 ??????? mm mm ]324)34)[(1( 2222 ??????? mm mm 3 )1(24 2 2? ?? m m . 所以1)3(241)1(24 31|| || 222222????????? mmmmmPQTF 1 4)1(4)1(2411 )3(241 2222222? ?????????? m mmmm 4141241 22 ?????? mm 33442241 ???? . 當且僅當 2241 1m m?? ?，即 1m ?＝ 時，等號成立，此時 || ||PQTF 取得最小值33． 故當 || ||PQTF 最小時， T 點的坐標是 ? ?3,1 或 ? ?3, 1? ??????????????（ 14 分） 【思路點撥】 ??Ⅰ 由已知可得?????????,3,422 22babac ，由此能求出橢圓 C 的標準方程． ? ???Ⅱ ⅰ 設直線 PQ 的方程為 2x my?＝ ，將直線 PQ 的 方 程 與 橢 圓 C 的方程聯(lián)立，得223 4 0) 2( m y m y?＋ － ＝，其判別式 22(1 6 8 3 .) 0mm??＝ ＋ ＋由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標公式，結(jié)合已知條件能求出 3?t ． ??ⅱ 點 T 的坐標為 ),3( m? ． 1|| 2 ?? mTF ，221221221221 )()]([)()(|| yyyymyyxxPQ ???????? 3 )1(24 2 2? ?? m m ．由此能求出 || ||PQTF 最小時，T 點的坐標是 ? ?3,1 或 ? ?3, 1? 【數(shù)學理卷178。 2020 屆福建省廈門市高三上學期質(zhì)檢檢測（ 202001） word 版 (自動保存的 )】 E：13222 ?? yax 的右焦點為 F,直線 mxy ?? 與橢圓 E交于 A,B兩點。若 △ FAB周長的最大值是 8，則 m的值等于 （ ） . B. 1 C. 3 D. 2 【知識點】橢圓的定義及性質(zhì) . H5 【答案】【解析】 B 解析 ：設橢圓的左焦點 F162。 ，則 △ FAB周長 48A F B F A B A F B F A F B F aⅱ= + + ? + + = =，所以 a=2，當直線 AB 過焦點 F162。 （ 1,0）時，△ FAB周長取得最大值，所以 0=1+m,所以 m= B. 【思路點撥】利用橢圓的定義和三角形的性質(zhì)求得結(jié)論 . 【數(shù)學理卷178。 2020 屆福 建省廈門市高三上學期質(zhì)檢檢測（ 202001） word 版 (自動保存的 )】 E：13222 ?? yax 的右焦點為 F,直線 mxy ?? 與橢圓 E交于 A,B兩點。若 △ FAB周長的最大值是 8，則 m的值等于 （ ） . B. 1 C. 3 D. 2 【知識點】橢圓的定義及性質(zhì) . H5 【答案】【解析】 B 解析 ：設橢圓的 左焦點 F162。 ，則 △ FAB周長 48A F B F A B A F B F A F B F aⅱ= + + ? + + = =，所以 a=2，當直線 AB 過焦點 F162。 （ 1,0）時，△ FAB周長取得最大值，所以 0=1+m,所以 m= B. 【思路點撥】利用橢圓的定義和三角形的性質(zhì)求得結(jié)論 . 【數(shù)學理卷178。2015屆湖南省長郡中學高三第五次月考（201501）word版】15．如圖，已知過橢圓)0(12222 ???? babyax的左頂點A（a，0）作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ=2QA，則橢圓的離心率為 。 【知識點】橢圓的幾何性質(zhì) H5 【答案】 255【解析】解析： ∵△ AOP 是等腰三角形， 00A a P a??（ ， ） （ ， ）． 設 000 0 0 0 0 02222 2x a xQ x y P Q Q A x y a a x y y a y???? ? ? ? ? ? ? ? ???＝（ ， ） ， ＝ ， （ ， ） （ ， ） ． ＝，解得00233xaay? ?????? ???代入方程化簡可得： 22 15ba ?，所以 22 251 5be a? ? ?，故答案為 255. 【思路點撥】利用等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運算即可得出點 Q 的坐標，再代入橢圓方程可得 22 15ba ?，進而求得離心率． 【數(shù)學理卷178。2015屆湖南省長郡中學高三第五次月考（201501）word版】15．如圖，已知過橢圓)0(12222 ???? babyax的左頂點A（a，0）作直線l交y軸于點P，交橢圓于點Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ=2QA，則橢圓的離心率為 。 【知識點】橢圓的幾何性質(zhì) H5 【答案】 255【解析】解析： ∵△ AOP 是等腰三角形， 00A a P a??（ ， ） （ ， ）． 設 000 0 0 0 0 02222 2x a xQ x y P Q Q A x y a a x y y a y???? ? ? ? ? ? ? ? ???＝（ ， ） ， ＝ ， （ ， ） （ ， ） ． ＝，解得00233xaay? ?????? ???代入方程化簡可得： 22 15ba ?，所以 22 251 5be a? ? ?，故答案為 255. 【思路點撥】利用等腰三角形的性質(zhì)和向量相等運算即可得出點 Q 的坐標，再代入橢圓方程可得 22 15ba ?，進而求得離心率． 【數(shù)學理卷178。 2020 屆湖北省襄陽市高三第一次調(diào)研考試（ 202001） word 版】 21．（本大題滿分 13 分） 已知曲線 x2=y+8與 x軸交于 A、 B兩點，動點 P與 A、 B連線的斜率之積為 21 ． （ 1）求動點 P的軌跡 C的方程； （ 2） MN 是動點 P的軌跡 C的一條弦，且直線 OM、 ON的斜率之積為 21． ①求 OM178。 ON的最大值； ②求△ OMN 的面積． 【知識點】 橢圓及其幾何性質(zhì) H5 【答案】 (1) 22184xy??（ 2） 22 【解析】 (1)解：在方程 2 8xy?? ? 中令 y = 0得： 22x?? ∴ A( 22? ， 0)， B(22， 0) 設 P(x， y)，則 122 2 2 2A P B P yykk xx? ? ? ??? 整理得： 22184xy?? ∴ 動點 P的軌跡 C的方程為 22184xy?? (2)解：設直線 MN的方程為： y = kx + m， M(x1， y1)， N(x2， y2) 由22184y kx mxy????????? 得： 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x k mx m? ? ? ? ? ∴21 2 1 2224 2 81 2 1 2k m mx x x xkk?? ? ? ???， 2 2 2221 2 1 22 2 22 8 4 8( ) ( ) 1 2 1 2 1 2m k m m ky y k x m k x m k k m mk k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ∵12OM ONkk?? ，∴1212yyxx? ?? 即 2 2 2 22228 1 2 8 421 2 2 1 2m k m mkkk??? ? ? ? ? ??? 2 2 21 2 1 22 2 22 9 8 421 2 1 2 1 2m m kO A O B x x y y k k k??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ∴ 22OM ON? ? ?≤ 當直線 MN的斜率不存在時，設 M(x1， y1)，則 N(x1，－ y1) 則2 2211121 1 22O M O N yk k x yx? ? ? ? ? ? 又2211184xy??，∴21 2y? 2 2 21 1 1 2O M O N x y y? ? ? ? ?OM ON?的最大值為 2 2 2 2 21 2 1 2 21 | |1 ( ) 4 2 4 4 2 22 1O M N mS k x x x x k mk? ? ? ? ? ? ? ? ?? 當直線 MN的斜率不存在時， 111 | || 2 | 2 22O M NS x y?? ∴ △ OMN 的面積為 22． 【思路點撥】利用 動點 P 與 A 、 B 連線的斜率之積為 21求出方程， 由22184y kx mxy????????? 得： 2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x k mx m? ? ? ? ?根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出面積。 【數(shù)學理卷178。2015屆河北省衡水市冀州中學高三上學期第四次月考（201501）】1若橢圓 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的離心率12e?，右焦點為 ( ,0)Fc，方程 2 20ax bx c? ? ? 的兩個實數(shù)根分別是 12,xx，則點 12( , )Px x到原點的距離