【正文】 我們可以很容易地以 i 來表達(dá) )( mi 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 考慮 1 元資金在一個單位時間里的利息總額。若單位時間計息 m 次，則每次利息為mim )( ，于是 iimimtmmtm?????/)(1)()1( ( 1 . 6 0) 如果 i ≠ 0 ， mim )(1)1(/1??mii＝ i 因此 )( mi＝ ? ?1)1( /1 ?? mim （ 1 . 6 1 ） 與 mmmi)1()(?＝i?1 （ 1 . 6 2 ） 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 事實(shí)上，考慮 1 元資金在一個單位時間后的終值，若計息 m 次， 每個時間間隔的長度為 1/ m 且利率為mim )( ，則一個單位時間后的終值為mmmi)1()(?，于是，即有mmmi)1()(?＝i?1 類似地， 考慮這樣的情況：債權(quán)人借出 1 元，在一年中按月息 2. 5% 于每月初收取利息，并于最后一個月末收回 1 元。這里的利息是先支付的。 12 個月的利息總額為 2. 5% 12 ＝ 25% ， 25% 即一年計息 12 次的名義貼現(xiàn)率，記為)12(d。我們把名義貼現(xiàn)率)( pd定義為在單位時間里支付的利息總額，這里的支付是在 0到 1 的這個期間分成的 p 個相等間隔的間隔初 ( 如，在 0 ， 1/p ， 2/p ，? (p － 1 ) /p這些時刻 ) 按相同的數(shù)額進(jìn)行的，即每次支付的金額為pdp )( 。 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 同 樣，可以得出 )( pd ＝ ? ?pdp /1)1(1 ?? （ 1 . 6 3 ） 與pppd ）（ )(1 ? ＝ 1 － d （ 1 . 6 4 ） 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 相同價值的支付 時間 ? 圖 1 － 3 所顯示的五種支付方式，在每個單位時間內(nèi)利息力為 δ 的情況下，它們的支付全部具有相同的價值。這一點(diǎn)是十分重要的。 0 p1 p2 p3 ? pp 1? 1 ⑴d ⑵pdp )( pdp )( pdp )( pdp )( ? pdp )( ⑶ pip )( pip )( pip )( ? pip )( pip )( ⑷ i ⑸ 圖 1 － 3 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 涉及到名義利率 ( 名義貼現(xiàn)率 ) 問題的處理往往可以通過時間單元的適當(dāng)選擇而簡化。例如， )4(i ＝ 12% ，即名義利率為 12% 每年分 4 次支付（計息）的情況下， t 年后到期的 1 元現(xiàn)金的現(xiàn)值為 ti ?? )1( ＝ ? ? ti 4)4( 4/1 ?? ＝ ? ?t44/ ?? 因?yàn)?( )4(i ＝ 0. 12) ＝ ? 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 ? 因此，如果采用一個四分之一年作為基礎(chǔ)時間單位，并且使用 3%作為實(shí)際利率，則我們可以簡單地估計未來的支付。 也就是說，選擇與名義利率計息 (轉(zhuǎn)換 )頻率相符的期間為基本的時間單元，使用作為每單元時間的實(shí)際利率。例如，對于按月計息的年名義利率 18%，我們便可以將一個月作為時間單位且 %作為每個時間單位的利率。 第八節(jié) 名義利率與名義貼現(xiàn)率 很容易地，可以建立 ???? )3()2( iii （ 1 . 6 8 ） 以及 ???? )3()2( ddd （ 1 . 6 9 ） 因此， { )( pi } 與 { )( pd } 分別從上和從下單調(diào)地趨向于共同的極限 δ 。 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 考察這樣一筆交易：投資者在時間1t，2t，?nt分別支出1ta，2ta，?，nta，收入1tb，2tb ，?ntb。 ( 在大多數(shù)情況下，ita和itb中只有一個不為 0) 。當(dāng)利息力或利率為何值時，支出額恰好等于收入額呢 ? 設(shè)利息力 δ 時，收入支出相等 ，即 ???nrttrrea1?＝???nrttrreb1? ( 1 . 7 0) 將此 方程寫成???nrttrrec1? ＝ 0 ( 1 . 7 1) 其中rrr tttabc ??是時間rt的凈現(xiàn)金流量。 此處， 我們采用如下慣例：數(shù)額為負(fù)的現(xiàn)金流量對應(yīng)于投資者的支出，數(shù)額為正的現(xiàn)金流量則代表投資者的收入 。 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 方程（ 1 . 7 1 ）用代數(shù)方法表示了利息力為 δ 時，凈現(xiàn)金流量總額為 0 的條件。該方程被稱為關(guān)于此交易的利息力的價值方程。 由 ?e ＝ 1 ＋ i 該方程可以寫成 ????nrttrric1)1( ＝ 0 ( 1 . 7 2) 此 形式被稱為關(guān)于利率的價值方程或收益率方程。方程 ( 3. 22) 的左端 還可以被寫成 ??nrttrrvc1 注意在上述方程中， n 可能是無窮大。 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 對于連續(xù)支付流，令)(1 t?和)(2 t?分別表示 t 時刻支付和接受貨幣的速度，我們稱 )( t?＝)(2 t?－)(1 t? 為 t 時刻的凈現(xiàn)金流率。 則對應(yīng)于方程 ( 1 . 7 1) ， 關(guān)于利息力的價值方程為 ???0)( dtett??＝ 0 ( 1 . 7 3) 當(dāng)間斷和連續(xù)現(xiàn)金流量都存在時，價值方程為 ???nrttrrec1? ＋???0)( dtett?? ＝ 0 ( 1 . 7 4) 與其等價的收益率方程為： ????nrttrric1)1(＋ ????0)1)(( dtit rt? ＝ 0 ( 1 . 7 5) 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 對于某一交易，方程（ 1 . 7 4 ）可能無解，或有一解或有幾個解。如果只存在一解，比如0?，那么該解就被稱為該交易的利息力，與其對應(yīng)的利率0i＝10 ??e則被稱為單位時間收益率 ( 該收益率也被稱為該交易的內(nèi)在收益率或資金加權(quán)收益率 ) 。當(dāng)且僅當(dāng)方程（ 1 . 7 5 ）只有一個大于 － 1 的根時（如果這樣一個根存在的話），那么它就被定義為收益率。 關(guān)于給定交易，價值方程的分析可能有一點(diǎn)復(fù)雜。但當(dāng) f 為單調(diào)函數(shù)時，對方程 f ( i ) ＝ 0 的分析就變得相當(dāng)簡單。 此時， 只要我們能夠找到1i和2i，使 f ( i1) 與 f (2i)符號相反，那么該方程就有一個根。在這種情況下，該根是唯一的并且介于1i和2i之間。選擇足夠接近的1i和2i，我們就可以求得滿足想要精確程度的收益率。 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 應(yīng)當(dāng)注意的是，在兩邊同乘以0)1( ti?后，方程（ 1 . 7 2 ） 的左端 變成如下等價形式 ??? ??nrtttrric10)1( 0 ( 1 . 7 6) 這個更為普遍的形式被稱為0t時刻的價值方程，它與原來的方程 ( 現(xiàn)在看來是 0 時刻的價值方程 ) 完全等價。在某些問題中選擇一個合適的0t可以使計算簡化。 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 例：為得到 10, 000 元的貸款借款人 同意在 7 個月后償還 1 1, 000 元，求： ( a ) 年利率 ( b ) 年貼現(xiàn)率 ( c ) 該交易的年利息力 借款人在取得貸款后請求在原定清償日償還 5, 000 元，而余額則在原定清償日后六個月償還。假定貸款人同意該請求，請在原利率基礎(chǔ)上求得變動后交易的第二次償還金額。 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 解： 為了說明方便，我們用基本原理求 i , d 和 δ ( a ) 根據(jù)方程 10, 00012/7)1( i?＝ 1 1, 000 求得年利率 i ＝ 0. 1774 9 或 17. 749% 。 ( b ) 1 0 , 0 0 0 ＝ 1 1, 00012/7)1( d? 求得年貼現(xiàn)率 d ＝ 0. 1507 4 或 15. 7 49% 。 ( c ) 根據(jù)方程 10, 000 ?)12/7(e－ 1 1, 000 ＝ 0 求得年利息力 δ ＝ 0. 1633 9 或 16. 339% 第九節(jié) 價值方程和交易收益率 設(shè)變動后交易的第二次支付額為 X 元，然后，運(yùn)用最后清償日 ( 借款后 13 個月 ) 10, 000?)12/13(e－ 5, 000?)2/1(e－ X ＝ 0 因此 X ＝ 10, 000?)12/13(e－ 5, 000?)2/1(e 因?yàn)榧俣ㄊ褂迷瓉淼睦⒘λ剑?δ ＝ 0. 16339( 上面求得 ) ，求得上面方程的解X ＝ 6, 510. 7566 。 還可以用另一種方法求得 X 值。借款人愿意在原清償日僅僅還 5, 000 元，希望將到期的另外 6, 000 再推遲六個月償還。推 遲償還 ( 金額 X 元 ) 必須與它所取代的6, 000 等值。在最終清償日將這些值列入方程，得到 6, 000?)2/1(e＝ X 求得 X ＝ 66 ，與前面所求相等。