【正文】 C??)(tuL)(ti??)(t?零狀態(tài)響應(yīng)與一階電路的沖激響應(yīng)相似，可按 電路的物理過(guò)程分兩步求解。 LLdttLiiuutCC110)(1)0()0(0)0()0()(0000??????????????????值分別為：電容電壓和電流的初始，等于電感開(kāi)路，故電感電壓時(shí)間內(nèi)，電容短路，到第一步：在式求解即可。初始值按零輸入響應(yīng)模一步求得的，即輸入為零，根據(jù)第時(shí)，第二步： 0)(0 ?? ? tt ?LCdtduLdtduCi CC 11)0(00 ???? ???022??? CCC udtduRCdtudLC微分方程：LCdtduu CC1,0)0(0 ?? ??初始條件為：此微分方程是齊次方程，其求解的方法與零輸入響應(yīng)相同，不再重復(fù)。 例 815. 圖示電路，已知 R=1Ω， L=1H，C=1F， uC(0)=0， iL(0)=0，試求沖激響應(yīng)iL(t)及 uC(t)。 )0(),0( ?? CL ui解：第一步求)(1,0 tRiu CL ???A / s11)0(1)0(10 ???? ??? LuLuLdtdi CLL01)0()0( 00 ??? ? ????dtuLii LLLV111)0()0( 00???? ? ???? RCdtiCuu CCCRL C?? )(tuR?? )(tuC?? )(tuL???)(t)(tiLi Ci，求零輸入響應(yīng)為變量的齊次微分方程第二步列出以 Li002222????????????????????????LLLLCRLCCLLCLCRidtdidtiddtdiRLRuidtidLCdtduCidtdiLuuiii012 ??? pp232124112,1 jjp ??????????)8 6 i n ( ??? ? tAei tL)] o s () i n ([ ?? ????? ?? teteAdtdi ttL???????????????????????1 5 01co s8 6 i 0s i n10)0(0 AAAAdtdiiLL ????A)8 6 i n (1 5 tei tL ??V) i n () o i (??????????tettedtdiLuuttLLC五、二階電路的全響應(yīng) （ 1）疊加法：分別按前述方法求出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，合成。 （ 2）直接列寫(xiě)方程法：照求解零狀態(tài)響應(yīng)方法，只是確定系數(shù)稍有不同。即 ?，及，的值代入確定常數(shù)和將KKKCidttduutu LtCctc2100 )0()()0()( ???? ????對(duì)任意電路 ?，及，的值代入確定常數(shù)和將 KKKdt tdff t 210)()0(???RLC?? )(tuR?? )(tuC?? )(tuL? ?? )()( ttuS)(ti第七節(jié) 狀態(tài)方程 在二階電路的分析中，若已解得電容電壓和電感電流，則將電容用電壓源替代，電感用電流源替代后，電路就變成了電阻電路，此時(shí)再列寫(xiě)其它響應(yīng)的方程則為代數(shù)方程，求解就很容易了。因此，對(duì)動(dòng)態(tài)電路的分析關(guān)鍵是對(duì) 狀態(tài)變量的分析 。 ② ① Ci??Su ??CuLiSi1R2R??Su ??CuLiSi狀態(tài)：指網(wǎng)絡(luò)在某給定時(shí)刻 t0所必須具備的一組最少量信息。 狀態(tài)變量：描述網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)的一組為數(shù)最少的變量。例如電容電壓 uC和電感電流 iL就可以是一組狀態(tài)變量，亦可取電容電荷 q及電感磁鏈 ψ 作為狀態(tài)變量。 一、狀態(tài)方程和輸出方程 圖示二階電路若以一個(gè)狀態(tài)量為變量則列寫(xiě)的是一個(gè)二階微分方程，若以?xún)蓚€(gè)狀態(tài)量 (uc,iL)為變量則可列寫(xiě)兩個(gè)一階微分方程，即一階微分方程組： 節(jié)點(diǎn)① LCSC iRuui ???1回路： )(2 SLCL iiRuu ???dtduCi CC ? dtdiLu LL ?又有： ?SLCC uCRiCuCRdtdu11111 ????SLCL iLRiLRuLdtdi 221 ?????Su ??CuLiSi此式是狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量及外施激勵(lì)源之間的關(guān)系方程，稱(chēng)為 狀態(tài)方程（ state equation）。 ② ① Ci??Su ??CuLiSi1R2R一階線性微分方程組： 矩陣形式 ???????????????????????????????????????????????????????????SS212100111iuLRCRiuLRLCCRiudtdidtduLCLCLC1??推廣： 對(duì)于具有 n個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件， m個(gè)輸入的線性網(wǎng)絡(luò) ，其狀態(tài)方程可寫(xiě)成以下形式（標(biāo)準(zhǔn)形式） ΒuΑxx ???? ?? ?階矩陣是階方陣和是系數(shù)矩陣，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)及結(jié)構(gòu)有關(guān)的是與和；稱(chēng)為輸入（激勵(lì)）向量；是狀態(tài)向量的一階導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為狀態(tài)向量；mnnnuuuxxxTmTn????ΒΑΒΑuxx???2121DuCxy ??若狀態(tài)變量已知， 其它的響應(yīng) （輸出量）則 為狀態(tài)變量與輸入量的線性組合 （輸出方程）。 二、狀態(tài)變量的選取 ??Su1C2C3C1L2L1R 2R ① 網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)就是電路的 獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù) 。也就是一階微分方程組中方程的個(gè)數(shù)。通常稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性的階或網(wǎng)絡(luò)的階。 ③ 對(duì)于不含受控源的網(wǎng)絡(luò)，若其儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)為 nCL，純電容回路數(shù) (與電壓源并聯(lián)的電容數(shù) )為 nC，純電感割集數(shù)（與電流源串聯(lián)的電感數(shù)）為 nL，則獨(dú)立變量數(shù)為： LCCL nnnn ???② 電路中含有純電容回路時(shí)，據(jù) KVL：回路中必然有一個(gè)電容電壓能被其它電容電壓表示（不獨(dú)立）；含有純電感割集時(shí)，據(jù)KCL：割集中必然有一個(gè)電感電流能被被其它電感電流表示（不獨(dú)立）。 不獨(dú)立的電容電壓電感電流不能作為網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)變量 。 3115 ????n如圖：④ 不含有純電容回路和純電感割集的網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為 常態(tài)網(wǎng)絡(luò) (proper work)，常態(tài)網(wǎng)絡(luò)中所有的電容電壓和電感電流都是獨(dú)立的，一般選取所有的狀態(tài)量為變量。 三、狀態(tài)方程的列寫(xiě) （ 1）直觀列寫(xiě)法（狀態(tài)變量數(shù)少）： ① 對(duì)只含一個(gè)電容的節(jié)點(diǎn)（割集）列寫(xiě) KCL方程； ② 對(duì)只含一個(gè)電感的回路列寫(xiě) KVL方程； ③ 通過(guò)其它的 KVL和 KCL方程消去非狀態(tài)變量 例 . 列寫(xiě)圖示電路的狀態(tài)方程 . ① ③ ② 解 （ 1） 選擇②③節(jié)點(diǎn)列 KCL方程 SLC iidtduC ??433SLC iiidtduC ???4122（ 2）選擇回路 1列寫(xiě) KVL方程 3114444 CSLL uiRuiRdtdiL ????1l2l（ 3）選擇回路 2列寫(xiě) KVL方程消去非狀態(tài)變量 dtduRCRRuRuiudtduCRuiRCCSSCC21221211222211??????? 代入（ 1）（ 2）兩步整理后得： ??Su2C3C4L1R2RSi1i4Li??2Cu?? 3Cu4R直觀列寫(xiě)法 SSLCC iRRCRuRRCRiRRCRuRRCdtdu)()()()(1212121214212122122?????????SLC iCiCdtdu3433 11 ??SSLCCLiRRLRRuRRLRiRRRRRLuLuRRLRdtdi)()())((11)(214212142442121434221414???????????寫(xiě)成 標(biāo)準(zhǔn)形式 ： ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????SSLCCLCCiuRRLRRCRRCRRRLRRRCRiuuRRRRRLLRRLRCRRCRRRCiuu)(1)()(0)()(11)(100)(0)(12142132121214221214324212144214132121212432???例 . 寫(xiě)出圖示電路的狀態(tài)方程 ??????????????????????????????????????????????????sCCLLCCLCCCLCCCCsCCLLLCLCuuuiRdtdiLuRRRuidtduCuRaRRuidtduCRuiRuuiuuuiRdtdiLiiidtduCaiiidtduC21123221222322111323221221132222211)11()1(? ?sLCCLCCuLiuuLRLLCCRCRCRCCRaCRCRiuu???????????????????????????????????????????????????????????100111)11(11)1(12112232222113121221???解： （ 2）系統(tǒng)列寫(xiě)法： ① 將電路中 每一個(gè)元件作為一個(gè)支路 畫(huà)有向圖； ② 選擇特有樹(shù)（ proper tree）：包含所有的電容和電壓源支路及必要的電阻，不包含任何電感和電流源支路；也就是 電容和電壓源放在樹(shù)支上，電感和電流源放在連支 上 。 ③ 對(duì)電容樹(shù)支確定的基本割集列寫(xiě) KCL方程； ④ 對(duì)電感連支確定的基本回路列寫(xiě) KVL方程； ⑤ 通過(guò)其它樹(shù)支（除電壓源）割集的 KCL和連支（除電流源）回路的 KVL方程消去非狀態(tài)變量。 ① ② ③ ④ ⑤ 0 ??Su2C3C4L1R2RSi1i4Li?? 3Cu4R??2Cu① ② ③ ④ ⑤ 0 1 2