【正文】 n tnAAtf ??其中各分振動(dòng)的振幅 An與初相位 φn都可由函數(shù) f(t)的積分求出。 x（ t） = A0 + A1cosωt + A2cos2ωt +… + B1sinωt + B2sin2ωt +… 這些分振動(dòng)中頻率最低的振動(dòng)叫 基頻振動(dòng) ，它的頻率就是原周期函數(shù) f(t)的頻率，稱(chēng)為 基頻 。 諧振分析 －－這種把一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)分解為一系列的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法。 其它分振動(dòng)的頻率都是基頻的整數(shù)倍，依次分別稱(chēng)為２次、３次、 …ｎ次諧頻（倍頻） 。 這種將一個(gè)復(fù)雜的周期性振動(dòng)分解為一系列簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法，也稱(chēng)為 頻譜分析 。頻譜分析可借助于頻譜分析儀來(lái)完成。 在進(jìn)行諧振分析時(shí)，所取級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，其合成情況與實(shí)際情況越接近。 某電壓 u(t)隨時(shí)間作周期為Ｔ、振幅為Ｕ的矩形振動(dòng)（方波），如下圖所示： 按付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為： ）...5s i n513s i n31( s i n4)( ???? tttUtu ????上式表明：方波是由一系列不同頻率 的正弦波疊加而成的，這些正弦波的頻率依次為基頻的奇數(shù)倍。 將一周期性振動(dòng)展開(kāi)為付里葉級(jí)數(shù)的結(jié)果 ， 可以直觀地表示為：以角頻率ω為橫坐標(biāo) ， 相應(yīng)的振幅為縱坐標(biāo)作出的頻譜圖 ， 如下 ： )(s i n)c os (2 1221221222212???? ?????AAxyAyAx一般來(lái)講，這是個(gè)橢圓方程。 利用三角函數(shù)關(guān)系 ， 合并兩式 ， 并消去 t 得合成振動(dòng)的軌跡方程 x = A1cos（ ωt + φ1） y = A2cos（ ωt + φ 2） 設(shè)兩個(gè)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在相互垂直的 x、 y軸上進(jìn)行 ， 其振動(dòng)方程為 兩個(gè)同頻率 、 互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 （ 1）如果兩分振動(dòng)同相位，即（ φ2 φ 1）=0、 2π、 4π、 … ，則上式變?yōu)?: （ cosΔφ= 1 、 sin2Δφ = 0 ）： 合振動(dòng)的軌跡是一條通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，斜率為Ａ 2/Ａ 1的直線。 合振動(dòng)的軌跡的形狀和運(yùn)動(dòng)方向均由分振動(dòng)振幅的大小和相位差決定。 斜率 12AAxy ?021??AyAx 合成振動(dòng)的軌跡是另一條通過(guò)原點(diǎn)、斜率為 A2/A1的直線。 （ 2） 當(dāng)兩分振動(dòng)反相時(shí) ， 即 （ φ 2 φ1）=π 時(shí) ， 由 上 式 得 （ cosΔφ=1 、sin2Δφ=0） ： 斜率????? 12AAxy021??AyAx斜率 1)( 222212??AyAx（ 3） （ φ2 φ1） =177。 π/2或 3π∕2時(shí) ， 上式變?yōu)? 這表示合振動(dòng)的軌跡是以坐標(biāo)軸為主軸的橢圓。當(dāng)（ φ2 φ1） =+π/2時(shí)，振動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行； 當(dāng)（ φ2 φ1） =π/2時(shí)，振動(dòng)沿逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行。若 A2=A1，則橢圓變?yōu)閳A。 注：合振動(dòng)的軌跡 ， 其形狀和運(yùn)動(dòng)方向可由分振動(dòng)的振幅的大小和相位差決定 。 用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法可直接繪出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡 ， 并且能確定質(zhì)點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)的方向 。 結(jié)論：任何一個(gè)直線簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 、 勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及橢圓運(yùn)動(dòng)都可以被分解為兩個(gè)互相垂直的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 。 99 突加荷載 ： 荷載為常數(shù)，特解就是它引起的靜位移： 因此位移由靜位移疊加靜平衡位置附近的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 kFy 02 ?通解為自由振動(dòng)的衰減簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因此全解為： 當(dāng)初始條件為靜止，且忽略阻尼時(shí)： kFtbtaetyddt 0)c o ss i n()( ??? ? ????)c o s1()( tyty st ???無(wú)阻尼 ty sty st靜平衡線T= ???有阻尼 ty sty st 靜平衡線T= ???d矩形脈沖荷載 ： 與突加荷載類(lèi)似，若不考慮阻尼的影響。分兩階段： 荷載作用階段，動(dòng)力響應(yīng)情況與突加荷載類(lèi)似； 荷載結(jié)束后以當(dāng)時(shí)的位移和速度為初始條件作自由振動(dòng)。 總動(dòng)力響應(yīng)為： )2(s i n2s i n2)c o s1({)( 11 tttytytystst??? ???討論： 若 t1大于等于體系周期的一半，最大動(dòng)位移出現(xiàn)在第一階段，動(dòng)力放大系數(shù)為 2。 若 t1小于體系周期的一半，在第二階段，動(dòng)力放大系數(shù)為 2sin(ωt1/2). 爆炸沖擊荷載可以簡(jiǎn)化為三角形脈沖荷載，求解方法： 荷載作用階段：杜哈梅積分求響應(yīng)； 荷載作用結(jié)束后：由初始條件做自由振動(dòng)。 對(duì)于各種沖擊荷載形式，很容易畫(huà)出動(dòng)力放大系數(shù)與作用時(shí)間周期比（脈沖長(zhǎng)度比）的函數(shù)曲線，這些曲線稱(chēng)為沖擊荷載的位移反應(yīng)譜或簡(jiǎn)稱(chēng) 反應(yīng)譜 。 矩形、三角形和半弦脈沖的位移反應(yīng)譜大致如下： 0 t1/T μ 橫坐標(biāo)為不同脈沖長(zhǎng)度比的脈沖作用； 縱坐標(biāo)為相對(duì)于不同脈沖的動(dòng)力放大系數(shù)的最大值。 注意：它不是時(shí)程響應(yīng)。 推廣到有阻尼的單自由度體系： 在給定動(dòng)荷載下，其最大響應(yīng)只和周期、阻尼比有關(guān)； 對(duì)不同的阻尼比做出最大響應(yīng)隨周期比的變化曲線； 這條曲線稱(chēng)為體系在給定動(dòng)荷載作用下的“反應(yīng)譜”。 反應(yīng)譜不是同一個(gè)體系的“反應(yīng)”時(shí)程； 而是不同體系在同一動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)“最大值” El Centro 地震 S a 反應(yīng)譜曲線01230 1 2 3 4T ( s )Sa( g )? =0 反應(yīng)譜 的概念將應(yīng)用于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)，并在后面章節(jié)中詳細(xì)介紹。 2 0 00200400t ( s e c )0 10 20 30 40 505 15 25 35 45A c c e l e r a t i o n ( c m/ s )2小 結(jié) ? 重點(diǎn) 要深刻理解 、 熟練掌握基本概念 （ 頻率 、 周期的計(jì)算 ， 振幅 、 相位的算式 、 簡(jiǎn)諧荷載作用下動(dòng)力放大系數(shù)與頻率比 、 阻尼比的關(guān)系 ） 共振區(qū)阻尼的作用是不可忽略的 ， 可利用阻尼控振 線性結(jié)構(gòu)體系利用沖量疊加可以導(dǎo)出杜哈梅積分 ? 討論 單自由度體系在給定動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)只與周期和阻尼比有關(guān)，利用這一性質(zhì)可以建立不同阻尼比結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨周期變化的曲線，這就是抗震計(jì)算中的反應(yīng)譜的概念。 作業(yè)： 58題 26（ b）： 兩個(gè)自由度 不是層間剪切模型 直接應(yīng)用剛度系數(shù)的定義 由于兩個(gè)自由度有相互影響，阻尼為矩陣。 27： 單位的統(tǒng)一 習(xí)題課 再選擇方法； 柔度系數(shù)可參照下圖，用圖乘法得到： 1llEIl3311 ?? EIl232112 ?? ??通過(guò)以上分別在荷載作用處、第 2個(gè)自由度上作用單位力后的彎矩圖自乘和互乘可以得到： EIl34 322 ??習(xí)題 28 1y2yll)(tp m首先分析自由度數(shù)； 在圖中標(biāo)明 112/lEIlp 431 ?? EIlp 482932 ??yδΔy ??M?? p支座擾動(dòng)的情況 mcktvtv gg ?s in)( 0???? ?如圖所示結(jié)構(gòu)，受豎向支座擾動(dòng)。 其運(yùn)動(dòng)方程為： )( tvmkyycym g????? ????如果基底擾動(dòng)為簡(jiǎn)諧荷載 則體系動(dòng)力穩(wěn)態(tài)反應(yīng)幅值可寫(xiě)為： kvm g 0???? ? μ 為動(dòng)位移放大系數(shù) 放大系數(shù)與阻尼比和頻率比有關(guān)。 畫(huà)出不同阻尼比的放大系數(shù)曲線。 當(dāng)阻尼比為 ，頻率比在 0到 ，動(dòng)力放大系數(shù)接近常量。 因此，系統(tǒng)加速度反應(yīng)幅值與基底加速度幅值成正比。 這就是地震加速度計(jì)的原理。 μ β 1 2 1 0 2 0202gg vkvm ????? ??設(shè)簡(jiǎn)諧基底位移： tvtvgg ?s in)( 0?討論：位移計(jì)的原理 體系反應(yīng)加速度： tvtvgg ?? si n)( 02????有效荷載： tvmtvm gg ?? si n)( 02????則位移反應(yīng)幅值： β μβ2 1 2 1 0 2 阻尼比 ξ= ,系統(tǒng)位移反應(yīng)幅值與基底位移幅值成正比。 隔振的原理 上部結(jié)構(gòu)發(fā)生振動(dòng)， 由彈簧和阻尼與基底連接。 由上部結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的方程可以求解出通過(guò)彈簧和阻尼傳給基底的力的幅值為： )si n (0 ??? ??? tFkyf s)c o s (2)c o s ( 00 ????????? ????? tFtkFcycf c ?因相位不同，二力合力的最大值可寫(xiě)為： 2/12022m a x ))2(1( ??? ???? Ffff cs則作用于基底上力的最大值與作用力幅值之比 —— 傳導(dǎo)比： 2/12 ))2(1( ??? ??TR基底激勵(lì)向上傳導(dǎo)也可以得出相同結(jié)論。 TR β 1 2 1 0 2 2在有效隔振區(qū)，隨著阻尼比增大，隔振效果變差。 2?? 時(shí)有效隔振 由圖可看出： 但并不能忽略阻尼的作用。 請(qǐng)自己分析。