【正文】 y ( t ) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 當輸入過程)( tX為平穩(wěn) 各態(tài)歷經(jīng) 過程時，可得以下 IO 關(guān)系： 響應(yīng)()yt的均值為： /2/2/2/21l i m [ ( ) ( ) ]1( ) [ l i m ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )TTTTTTy h x t d dtTh x t dt d h d x H xT? ? ?? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? 即 (0 )y H x? (8. 124) 響應(yīng)()yt的 自 相關(guān)函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxR y t y t h u x t u h v x t v d u d vh u R u v h v d u d v? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?????(8. 125) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 響應(yīng)()yt的自譜密度為： 2( ) | ( ) | ( )yxS H S? ? ?? (8. 126) 響應(yīng)()yt的均方值為： 22( ) | ( ) | ( )yxy S d H S d? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? (8. 127) 激勵()xt和響應(yīng)()yt的互相關(guān)函數(shù)為： ?????????????????uduRuhudutxuhtxEtytxERxxy)()(})()()({)}()({)(???? (8. 128) 激勵()xt和響應(yīng)()yt的互譜密度為： )()()( ??? xxy SHS ? (8. 129) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 再來介紹一個重要的統(tǒng)計函數(shù) —— 譜相干函數(shù) （也稱為 凝聚函數(shù) ），定義為 22| ( ) |()( ) ( )xyxyxySSS?????? (8. 130) 對于任意微小頻率 區(qū)間( , )? ? ???，由方程 (8 .1 1 1) 和 (8 .96)可得 ( 0 ) ( ) / 2( 0 ) ( ) / 2 , ( 0 ) ( ) / 2x y x yx x y yRSR S R S? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? 將此代入 ( 30 ) ，并由 (8 .10 7) ，得 22| ( 0 ) |( ) 1( 0 ) ( 0 )xyxyxyRRR?? ?? (8. 131) 即 對于任意兩個平穩(wěn)過程)(),( tYtX，)(2 ?? xy的取值范圍為 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 2 ( ) 1xy?? ?；但是，如果平穩(wěn)過程)(),( tYtX為一個線性系統(tǒng)的輸入、輸出，則有 1)(|)(|)(|)()(|)()(|)(|)(2222?????????????xxxyxxyxySHSSHSSS (8. 132) 可見，譜相干函數(shù)的大小表征了兩個平穩(wěn)過程)(),( tYtX之間的線性依賴程度，當)(),( tYtX是完全線性關(guān)系時，)(2 ?? xy達到最大值 1 ，否則，)(),( tYtX就不是完全線性關(guān)系。因此，可以利用譜相干函數(shù)的大小來檢驗系統(tǒng)的線性程度。 8. M I M O 系統(tǒng)的響應(yīng) 考慮圖 8. 9 所示的線性 系統(tǒng)，它具有m個隨機輸入、n個隨機輸出?，F(xiàn)在圖中的()ht和()H ?分別為系統(tǒng)的nm? 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 脈沖響應(yīng)矩陣和頻響函數(shù)矩陣，滿足： ( ) ( ) , ( ) ( )( ) , ( )itn m n mH h t e d t H Hh t R H C?? ? ??????????? ? ???? ( 8. 133) 其中()H ??為()H ?的復(fù)共軛矩陣。令 : : : : : : 圖 M I M O 隨機系統(tǒng) X1( t ) Yn( t ) 輸入樣本 x1( t ) h ( t ) H ( ? ) 輸出樣本 ym( t ) Xm( t ) 輸入樣本 xm( t ) Y1( t ) 輸出樣本 y1( t ) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 11( ) { ( ) , , ( ) } , ( ) { ( ) , , ( ) }TTmnt x t x t t y t y t??xy (8. 134) 分別為輸入和輸出樣本的列向量，可得樣本函數(shù)的輸入輸出關(guān)系為 ( ) ( ) ( )t h t d? ? ????????yx (8. 135) 當輸入)( tX為平穩(wěn)過程，線性輸出)( tY也一定是平穩(wěn)過程。對輸入、輸出向量定義自相關(guān)矩陣如下： ( ) ( ) ( )T m mxR t t R?? ?? ? ?xx (8. 136) ( ) ( ) ( )T n nyR t t R?? ?? ? ?yy (8. 137) 由此可定義自功率譜矩陣： mmixxCdeRS???????? ? ?????)()( (8. 138) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) nniyyCdeRS???????? ? ?????)()( (8. 139) 不難推出， MIM O 系統(tǒng)的隨機 IO 關(guān)系為： ( ) ( ) ( ) ( )TyxS H S H? ? ? ??? (8. 140) 對輸入、輸出向量可以定義互相關(guān)矩陣如下： ( ) ( ) ( )T m nxyR t t R?? ?? ? ?xy (8. 141) 由此可定義互功率譜矩陣： nmixyxyCdeRS???????? ? ?????)()( (8. 142) 不難推出如 下關(guān)： )()()( ??? Txxy HSS ? (8. 143) 如果已知)(),( ?? xxy SS，應(yīng)用該關(guān)系，可以確定系統(tǒng)的頻 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 響函數(shù)矩陣)(?H，即 )()()( 1 ??? xyxT SSH ?? (8. 144) 8. 5 離散 系統(tǒng)的隨機振動 線性振動系統(tǒng)，在平穩(wěn)隨機激勵下的振動分析是很重要的一個實際課題，本節(jié)用幾個具體問題來展示和介紹相應(yīng)的分析方法。 圖 受到基礎(chǔ)激勵的單自由度系統(tǒng) m k c ()zt ()ut 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 8. 基礎(chǔ)激勵的 單自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng) 考慮如圖 8. 10 所示 的 單自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng) ，受到基礎(chǔ)位移激勵()xt的作用，假設(shè)激勵為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過程。系統(tǒng)的振動方程為 ( ) ( )m z k z u c z u? ? ? ? ? 即 ( ) ( ) ( )m z u c z u k z u m u? ? ? ? ? ? ? 上式 可以寫為： 220 0 02y y y x? ? ? ?? ? ? (8. 145) 其中0 / , / 2k m c k m?? ??，而 20,/y z u x u ?? ? ? ? (8. 146) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) y為彈簧的相對位移，x為基礎(chǔ)的加速度激勵。 對方程 (8 . 14 5) 進行 Fo ur ier 變換， 得 ( ) ( ) ( )y H x? ? ?? (8. 147) 其中()H ?為系統(tǒng)的頻響函數(shù)： 2200( ) 1()( ) 1 / 2 /yHxi??? ? ? ? ? ????? (8. 148) 根據(jù)方程 ( 26 ) ，可得響應(yīng)y的功率譜密度為 22 2 2 200()( ) | ( ) | ( )( 1 / ) ( 2 / )xyxSS H S?? ? ?? ? ?? ????? (8. 1 49) 響應(yīng)y的均方值為 22 2 2 200()()( 1 / ) ( 2 / )xySy S d d?? ? ?? ? ?? ???? ? ? ??????? (8. 150) 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 如果激勵x為白噪聲，其功率譜密度為0()xSS ? ?，響應(yīng)y的均方值為 2 0 0 02 2 2 200()( 1 / ) ( 2 / ) 2ySSy S d d??? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ????? ( 8. 151) 8 .5. 2 單自由度系統(tǒng)的隔振問題 上面圖 8 .1 0 所示系統(tǒng)實際上就是一種隔振系統(tǒng)，由方程 (8 . 1 4 6 ) ，得 2 2 2 200220( / ) ( ) ( / ) ( )( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( / ) ( ) ( )yyzyu u u x? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 將 (8 . 1 4 8 ) 代入上式，得圖 8 . 1 0 所示系統(tǒng)的加速度響應(yīng)y與地面激勵加速度u之間的頻響函數(shù)為 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 022001 2 /()()( ) 1 / 2 /izHui? ? ???? ? ? ? ? ?????? (8. 152) 當0/2?? ?時，無論阻尼比?等于何值，| ( ) | 1H ? ?；當0/2?? ?，時，?越大、| ( ) |H ?也越大。因此， 在0/2?? ?的寬廣頻域內(nèi)，圖 8. 10 所示的隔振系統(tǒng)對于隔離加速度振動而言，靠增加阻尼不但沒有效果，還會起反作用 。 圖 1 單自由度隔振系統(tǒng) ()ut ()zt k 1k c m 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 為了消除阻尼的不良影響，通常的做法是在阻尼器上串聯(lián)一個輔助彈簧1k，如圖 8. 11 所示。此時，系統(tǒng)的振動方程為 11 1 1( ) ( ) 0( ) ( )m z c z z k z uc z z k z u? ? ? ? ???? ? ?? (8. 153) 其中1z為阻尼器與輔助彈簧連接點的位移。由此可得系統(tǒng)輸入與輸出加速度之間的頻響函數(shù)為 02 2 3 30 0 0( 1 ) 2 /()()( ) ( 1 / ) ( 1 ) 2 / 2 /N i NzHu N i N i? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? (8. 154) 其中01 / , / 2 , /k m c k m N k k?? ? ? ?。顯然，當N ??時，圖 8. 1 1 的系統(tǒng)與 圖 8. 10 的相同，易知方程 (8 .15 4) 退化為(8 .15 2) 。 《 振動力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機振動基礎(chǔ) 當u