【正文】 u r u? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?由此可以看出，小球在流體中作爬流流動時，流動阻力 1/3來自于形體曳力， 2/3來自于摩擦曳力。 根據(jù)繞流流動阻力系數(shù)的定義，可得爬流時的阻力系數(shù)為 002 2 20 0 0 0 0 02 2 6 1 2 2 4 2 4dDF r uCu A u r r u d u R e?? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? 斯托克斯方程是忽略全部慣性力后的求解結(jié)果，當(dāng) Re1時，流體流動的慣性力不可忽略，這時采用斯托克斯方程求解得到的結(jié)果誤差較大。奧森（ Oseen）在 1910年將運動方程作一級近似，保留部分慣性力后求解，得到的結(jié)果為： 2 4 3 2 41 4 . 516DC R eR e R e??? ? ? ?????Stocks公式和 Ossen公式計算得到的爬流阻力系數(shù)結(jié)果的比較 Re experiment stokes error ossen error % % % % % % % % 與 Stokes公式相比， Ossen公式計算 結(jié)果更準(zhǔn)確，其適用范圍 Re5 例： 直徑為 80μm ，密度為 3000 kg/m3的固體粒子在 25℃ 的水中自由沉降，求其沉降速度。水的粘度為 103Pas。 解：固體粒子在流體中的沉降過程中，開始時處于加速狀態(tài)，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定后，粒子的速度將趨近于一恒定值，這時的速度稱為沉降速度。 當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時，作用于粒子上的合外力 —— 重力、浮力和阻力 —— 的代數(shù)和應(yīng)該等于零，即 330 0 0 044 633 sr g r g u r? ? ? ? ? ???其中， r0為小球的半徑， ρs為小球的密度， ρ為流體的密度 從上式可以解出 22 6 300 32 ( ) ( ) ( 8 0 1 0 ) ( 3 0 0 0 9 9 6 . 9 ) 9 . 8 1 7 . 7 8 6 1 0 /9 1 8 1 8 0 . 8 9 7 1 0ssr g d gu m s? ? ? ???? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ???最后要驗證一下流動是否為爬流 63038 0 1 0 7 . 7 8 6 1 0 9 9 6 . 9R e 0 . 6 9 2 10 . 8 9 7 1 0du ?????? ? ? ?? ? ? ??二、勢流運動方程 —— 歐拉方程 因為作勢流流動的流體可以不可慮粘性力的作用，因此重力場中的運動方程 2Du uD Bfpt? ? ?? ? ? ? ?可以簡化為 DuD Bpft ????該方程又被稱為的歐拉方程 第 7節(jié) 勢流與勢函數(shù) 一、勢流的定義 不考慮粘性力影響的流動就是勢流流動，理想流體的流動就是一種勢流流動。 （二）流體的旋度與速度勢函數(shù) 流體的旋度 流體流動時，流體質(zhì)點除了在流動方向有運動以外，在粘性力的作用下還可能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)運動，用于描述流體質(zhì)點旋轉(zhuǎn)程度的物理量稱為流體的旋度，其定義為 u2 ω i j kyyzz xxuuuu uurot y z z x x y??? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ?式中 rotu為流體的旋度， ω為流體旋轉(zhuǎn)的角速度。 當(dāng)流體作無旋運動時，流體的旋度 rotu=0，這時有 yzzxyxuuyzuuzxuuyx????????? ????????? ????????速度勢函數(shù) 當(dāng)流體作無旋運動時，存在著一個與流體流動在三個方向分速度（ ux， uy， uz）都有關(guān)的流動函數(shù) φ (x,y,z)， 使得 。 。 x y zu u ux y z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?該函數(shù)就被稱為速度勢函數(shù)，簡稱勢函數(shù)。 為什么存在勢函數(shù)？ 證明如下： xuy x y?? ??? ? ?由于 而 yux y x?? ??? ? ?即 0yx uuyx?? ????同理 xuz x z?? ??? ? ?而 zux z x?? ??? ? ?即 0zx uuzx?? ????yuz y z?? ??? ? ?而 zuy z y?? ??? ? ?即 0yz uuyz?? ????由此可見，上述定義的勢函數(shù)滿足流體的旋度 rotu=0，所以對于作無旋流動的流體必然存在著這樣的一個勢函數(shù) φ 。 引入速度勢函數(shù)的目的在于將三個速度分量 ux， uy， uz統(tǒng)一用一個變量 φ來 表示，從而可以采用變量代換法對方程進行簡化。 （三）勢流方程的求解 理想流體因粘度為零，因此其流動是一種勢流流動，也是一種無旋運動，故理想流體的流動滿足 ,yyzzxxuuuuuuy x z x y z??????? ? ?? ? ? ? ? ?DD Bupft ????不可壓縮流體的勢流運動方程的向量形式為： x方向 1DD x x x x xx y zu u u u u pu u u Xt t x y z x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?穩(wěn)態(tài)流動 0xut? ??所以，有 DD x x x xx y zu u u uu u ut x y z? ? ?? ? ?? ? ?zzzzx x xyxyy yzyuu u uu u uuuuxxuuuuxxx y z????? ? ?? ?????????? ? ??2 22 2 22 ( / ) ( / )( / )yy zzx x xyzuu uuu u uuux x y x x z x?? ?? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?????2 2 22x y z y zxxyzu u u u uuuuux y x z x??? ? ??? ??? ???? ? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ???????2 2( / ) y zxxyzu uuuu uux y x z x??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ?????式中 2 2 2 2x y zu u u u? ? ?由于勢流是一種無旋運動，因此 0 , 0y zxxu uuuy x z x? ???? ? ? ?? ? ? ?所以 2( / 2 )x x xx y zu u u uu u ux y z x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?2D / 2 ) 1D xu upXt x x???? ? ???即 x x xx y zu u uu u ux y z? ? ???? ? ?可以變形為 等式右邊 這樣，不可壓縮流體的歐拉方程就可以簡化為 2( / 2 ) 1upXxx???????2( / 2) 1upYyy???????2( / 2 ) 1upZzz???????x方向 y方向 z方向 寫成向量的形式 2 12 Bu fp???? ? ? ?????如果僅考慮在重力場中的流動， fB = g。坐標(biāo)系選擇直角坐標(biāo)，并取 x， y 的坐標(biāo)方向為水平方向， z 的坐標(biāo)方向為垂直向上。則 0 , 0 ,X Y Z g? ? ? ?下面先考慮 z 方向上的歐拉方程 2( / 2 ) 1upgzz???? ? ???22upgz????????? ???再來看一下 x 方向上的歐拉方程 2( / 2 ) 1upxx???????220upx????????? ??這說明 與 x無關(guān)。 22up??最后再看一下 y 方向上的歐拉方程 2( / 2 ) 1upyy???????220upy????????? ??這說明 與 y也無關(guān)。 22up??22upgz ????????????因此， 就可以寫作 2d 2dupgz ??????????上式兩邊對 z 積分得： 22up g z C?? ? ? ?22up g z C?? ? ?移項得： 上式即為著名的伯努力方程，方程的適用條件： 不可壓縮理想流體的穩(wěn)態(tài)流動。 上式表明，理想流體作勢流流動時， 流體的動能、壓力能和位能之和保持不變。 第五節(jié) 平面流與流函數(shù) 一、平面流 流體在一個二維平面上流動，在另外一個方向上不流動，這種流動就是平面流。 下面以直角坐標(biāo)系下不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)平面流動為例，考察平面流的連續(xù)性方程和運動方程。 設(shè)流動僅發(fā)生在 x， y方向上， z 方向上沒有流動，即 uz=0， 0uz? ??這時，連續(xù)性方程 0yx uuxy?? ????0y zx u uux y z ?? ?? ??? ? ?可簡化為 2222y y y yxyu u u upu u Yx y y x y? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?2222x x x xxyu u u upu u Xx y x x y? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ?這是一個 二階非線性偏微分方程組 ，直接求解是很復(fù)雜的。可以流動的具體情況，將上述方程簡化后，結(jié)合流函數(shù)的概念進行求解。本節(jié)只給出流函數(shù)的定義及性質(zhì)，而平面流的求解問題將在下一章加以討論。 運動方程 x方向 2222 2 2()x x x x x x xx y zu u u u u u upu u u Xt x y z x x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???可簡化為： 2222 2 2()y y y y y y yx y zu u u u u u upu u u Yt x y z y x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???y方向 可簡化為： 二、流函數(shù) 對于不可壓縮流體的平面流動，存在著一個與 ux， uy都有關(guān)的函數(shù) Ψ(x, y)，該函數(shù)滿足 ( , )xxy uy?? ??( , )yxy ux?? ???該函數(shù)被稱之為流函數(shù)。 為什么存在流函數(shù)？ 由于不可壓縮流體二維平面流動的連續(xù)性方程為： 0yx uuxy?? ????將流函數(shù)的定義式帶入得 0yx uux y y x x y?? ?? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?引入流函數(shù)的主要目的在于將兩個速度分量 ux， uy用一個變量 ψ來 表示，從而簡化了方程的求解。 流函數(shù)的物理意義： ,xyuuyx????? ? ?由 于 d d d 1 d 1x y x yu y u x u y u x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?因 此 ，由此可見，流函數(shù)的物理意義為流場中單位高度的某條流線對應(yīng)的體積流率。 由此可見，這樣定義的流函數(shù)自動滿足連續(xù)性方程的要求，因此只要是不可壓縮流體就存在這樣的一個流函數(shù)。 當(dāng) dx→0 ， dy→0 時， 流線 C D → CD 作業(yè)： p73: 5。