【正文】 f dmp p uL x b ??? ? ? ?23dddmp uxb ???213dddmp Cuxb? ? ? ?解得： 由上式可知，當流體作穩(wěn)態(tài)流動且流體粘度不變時，動壓力梯度為一常數(shù)，即動壓力沿流動方向呈線性變化，因此有 速度分布方程的應用 —— 求流動阻力及阻力系數(shù) 22 6wmmf u u b? ?????3 mwub?? ?ddxwybuy?? ???由牛頓粘性定律可得，平板壁面處的剪應力為 將速度分布方程代入得： 根據(jù)摩擦阻力系數(shù)定義有 需要注意的是，上述關(guān)于平壁間一維流動的運動公式僅適用于流體在流道中作層流流動，當流體在流道中作湍流流動時，上述關(guān)系式不成立 62 mwuF A B Lb????流動阻力為 BL— — 流 道 的 寬 度— — 流 道 的 長 度Re 2022，層流； Re 4000，湍流。 另外注意在計算 Re時， d 應該用當量直徑。 什么是當量直徑？ 當流道的寬度 B遠遠大于流道的高度 2b時，平壁間的當量直徑為 42 424()eBbdbBb????將當量直徑 de與 b的關(guān)系代入平板間流動阻力系數(shù)的計算式有： 6 2 4 2 4Rem m ef u b u d????? ? ?例 10℃ 的水以 4m3/h的流率流過一寬 1m、高 。假定流動為已經(jīng)充分發(fā)展的一維流動，試求截面上的速度分布及通過單位長度管道的壓力降。已知時，水的粘度為 103Pas 解：（ 1）題意分析 首先，由于該水平管道的寬度（ 1m）比管道的高度（ ）大的多，所以可以視為流體在無限大的兩平壁之間流動。 其次需要判斷一下流型，是屬于層流還是屬于湍流。這時就需要計算當量直徑和平均流速。 4 1 822 ( 1 )edm??????當量直徑 平均流速 4 / 3 6 0 00 . 0 1 1 1 /1 0 . 1mu m s???雷諾數(shù) 30 .1 8 2 0 .0 1 1 1 1 0 0 0 1 5 4 6 2 0 0 01 .3 0 7 1 0emduRe ?????? ? ? ??22ma x3112xmyyu u ubb? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?所以速度分布可以用下面的公式來計算 2223 0 . 0 1 1 1 1 6 . 6 6 ( 0 . 0 0 2 5 )2 ( 0 . 0 5 )y y??? ? ? ? ? ?????單位長度管道的壓力降可以用式（ 3－ 17）來計算 3 222d3 3 1 . 3 0 7 1 0 0 . 0 1 1 1/ 0 . 0 1 7 4 / ( )d ( 0 . 0 5 )dmpup L N m mxb? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?作業(yè)： P72: 31 第 3節(jié) 圓管內(nèi)的穩(wěn)態(tài)層流 流體在圓管內(nèi)的流動是工業(yè)過程中最為常見的一種流動形式。本節(jié)主要研究流體在圓管內(nèi)流動時的速度分布和流動阻力?，F(xiàn)考察粘性不可壓縮流體在水平圓管內(nèi)的穩(wěn)態(tài)層流，并設(shè)所考察的部位遠離管路進出口。流動方向為軸向一維流動。 數(shù)學模型的建立 由于管內(nèi)流動屬于軸對稱流動，故采用柱坐標系下的運動方程較為方便。 如圖所示，已知流體在直徑為d(半徑為 ri)的圓管中流動， 流動方向為 z方向，圓周方向為 θ。 對于封閉管道內(nèi)的流動，屬于無自由表面的情況，所以采用以動壓力表示的運動方程較為方便。 在柱坐標系中，不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)流動的連續(xù)性方程為 1 ( ) 1 0zr uurur r r z????? ? ? ?? ? ?在柱坐標系中，以動壓力表示的運動方程為 r方向 2222 2 2 2()1 1 2[ ( ( ) ]r r r rrzd r rru u u u u uuut r r r zp u u urur r r r r r z????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?θ方向 z方向 222 2 2 2()1 1 1 2[ ( ( ) ]rrzdru u u u u u uuut r r r zp u u urur r r r r r z? ? ? ? ? ???????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?222 2 2()11[ ( ) ]z z z zrzd z z zu u u u uuut r r zp u u urz r r r r z?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 微分方程的化簡 (1) 連續(xù)性方程的化簡 連續(xù)性方程 1 ( ) 10zr uurur r r z?? ??? ? ? ?? ? ?可得 0zuz? ??(2) r方向運動方程的化簡 將簡化條件 ur=uθ=0代入 r方向上的運動方程 2222 2 2 2()1 1 2[ ( ( ) ]r r r rrzd r rru u u u u uuut r r r zp u u urur r r r r r z????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0dpr? ??得： 由于管內(nèi)流動為沿方向的一維流動，所以 ur=uθ=0 (3) θ方向運動方程的化簡 同理，將 ur=uθ=0代入 θ方向上的運動方程 由此可見，動壓力 pd與 r和 θ無關(guān) 222 2 2 2()1 1 1 2[ ( ( ) ]rrzdru u u u u u uuut r r r zp u u urur r r r r r z? ? ? ? ? ???????? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?0dp?? ??得： (4) z方向運動方程的化簡 ( 1 ) 0 ( )zut? ?? 穩(wěn) 態(tài) 流 動22( 2) : 0 。 ( 3) : 0 ( )zzuu?????? 軸 對 稱 流 動22( 4 ) : 0 。 ( 5 ) : 0 ( )zzuu zzz???? 方 向 為 無 限 寬222 2 2()11[ ( ) ]z z z zrzd z z zu u u u uuut r r zp u u urz r r r r z?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?(5):ur=uθ =0(一維流動 ) z方向運動方程 將簡化條件代入 z方向上的運動方程后可得： 1 zd up rz r r r? ???? ? ??? ????? ? ?????簡化條件 由于動壓力 pd與 r和 θ無關(guān)，只是 z的函數(shù)，因此 ddddppzz? ??0zu?? ?? 0zuz? ??同時由于 ， 所以 uz也僅僅是 r的函數(shù) ddzzuurr? ??1 zd up rz r r r????? ? ??? ????? ? ?????因此，偏微分方程 可化為常微分方程 1 dd dd d dzd up rz r r r?????? ????????（ 321） 簡化后的微分方程的分析 方程（ 321）為二階線性偏微分方程，方程左側(cè)為 pd對 z求導 ,由于 pd僅僅為 z的函數(shù)，因此 pd對 z求導只能是一個關(guān)于 z的函數(shù)，或者是一個常數(shù)；同理，方程右側(cè) uz對 r求導結(jié)果只能是一個關(guān)于 r的函數(shù)，或者是一個常數(shù)；而 z和 r又是兩個相互獨立的自變量，故該式兩側(cè)只有同等于某一常數(shù) C時方程才能成立。所以可將上式進一步寫為 dd 1dd d dzd up rCz r r r???????????????該方程的邊界條件為 d0 0 ( )durr??， 中 心 對 稱0ir r u??， （ 壁 面 不 滑 脫 ）（ 324） （ 324a） （ 324b） 微分方程的求解 212ln4Cu r C r C?? ? ?212=0 4 iCC C r???，22()4 iCu r r???對式 (324)兩側(cè)積分可得方程的通解 : 由邊界條件式 (324a)和 (324b)求得積分常數(shù) 由此可得速度分布式為 式中的常數(shù) C可以管內(nèi)平均流速 um求得。 (326) 1 dsmAVu u AAA?? ??022dirmu r ru r????222022 ( ) d48iriimC r r r rruCr?????? ?????? ? ??28 miuCr???根據(jù)平均流速的定義式 可得： 將速度分布方程 (326)式代入并積分得 由此解得 于是，用管內(nèi)平均流速 um表示的速度分布方程為 m a x m2uu?2m ax 1iruur???????? ??????當 r=0時 (管中心處 )，流速取得最大值，最大流速為 如果用最大流速來表示管內(nèi)的速度分布，則有 此式稱為哈根 泊肅葉 (Hagenpoiseuille)公式 2m21iruur???????? ??????(329) 2d8dfdmippu Cz L r??? ? ? ? ? ?流動方向上單位管長的壓力損失： 速度分布方程的應用 —— 求流動阻力和阻力系數(shù) 流體在圓管中作穩(wěn)態(tài)層流時，壁面處的摩擦剪應力可由牛頓粘性定律求得： m4ddiwrr iuurr????? ? ?流體在圓管中的流動阻力： mm4 28wiiuF A r L u Lr?? ? ? ?? ? ?流動阻力： 644 fRe? ??22 8 1 6 1 6wm i m mf u r u d u R e? ??? ? ?? ? ? ?由范寧摩擦系數(shù)的定義式得： 摩擦阻力系數(shù) λ為 阻力系數(shù)： 作業(yè)： P73: 2 第 4節(jié) 套管內(nèi)的穩(wěn)態(tài)層流 套管環(huán)隙間的軸向穩(wěn)態(tài)層流 在熱交換器中經(jīng)常遇到流體在套管環(huán)隙中的軸向穩(wěn)態(tài)流動。 1r2rzum a xru由于流動是軸對稱的，故采用柱坐標系求解運動方程比較方便。 在這種情況下，方程的形式和簡化條件與流體在圓管內(nèi)穩(wěn)態(tài)層流的情況是完全一致的，因此化簡的后形式也是一樣的。即仍滿足 數(shù)學模型的建立與求解