【文章內(nèi)容簡介】 只不過邊界條件發(fā)生了變化，這時的邊界條件變?yōu)? 1 0r r u??，2 0r r u??，2 2 2 2 11 2 121l n ( / )( ) ( )4 l n ( / )C r ru r r r rrr???? ? ? ?????(336a） (336b） 對 (324)式連續(xù)兩次積分，并將邊界條件代入得 21222111d 2 d()rm rAu u A u r rA r r ???? ??? ?式中的常數(shù) C可由平均流速求得，根據(jù)平均流速的定義式可得 將速度分布方程代入并積分，得 d 1 d dd d ddp urCz r r r???????????????（ 324） ? ?2222 2121218 lnmC r ru r rrr??? ?? ? ? ?????于是，不可壓縮流體在套管環(huán)隙間作軸向穩(wěn)態(tài)層流時的速度分布方程為： ? ?2222 2121218ddlnmdupCrr zrrrr?? ? ????由此解得： ? ?2 2 2 2 11 2 12222 21 2121212 l n ( / )( ) ( )l n ( / )lnmu rru r r r rrr rrrrrr??? ? ? ? ???? ???? 速度分布方程的應(yīng)用 ? ?2221m a x212 l nrrrrrr???（ 1）求套管環(huán)隙間的最大流速 套管環(huán)隙間的最大流速可以根據(jù)速度分布方程，以 u對 r求導得到： ? ?22212222 21 2121212 ()d120d ln ( / )lnmu rru rrrr r r rrrrr?? ?? ? ? ???? ????令解得： 將其代回速度分布方程得： 2 2 2 2 m a x 1m a x m a x 1 2 12 2 22 1 m a x 2 12 l n ( / )( ) ( )2 l n ( / )mu r ru r r r rr r r r r??? ? ? ? ????? ??（ 2）求套管環(huán)隙間的沿程壓力降 ? ?2222 2121218ddlnmdupCrr zrrrr?? ? ????Q由此可見，沿流動方向動壓力梯度為一常數(shù)，即動壓力沿流動方向呈線性變化，而靜壓力不變。于是單位管長的壓力降就可以表示為 2 2 22 1 m axd8d2f dmp puL z r r r?? ? ? ???（ 3）求流體在套管中的流動阻力 由牛頓粘性定律 1,1ddw rrur?? ??dduy????得內(nèi)管外壁處的剪應(yīng)力 此處取“ +”是因為在內(nèi)管外壁面處，速度梯度與 r方向相同 將套管環(huán)隙速度分布方程代入得： 221 m a x,111d2dwrrpzr?????????內(nèi)管外壁對流體流動產(chǎn)生的阻力 221 m a x1 , 1 1 , 1 1 111d2dwwrrpF A d L d Lzr? ? ? ??? ?? ? ?????將套管環(huán)隙速度分布方程代入得： 222 m a x,221d2dwrrpzr?????? ????222 m a x2 , 2 2 , 2 2 221d2dwwrrpF A d L d Lzr? ? ? ??? ?? ? ? ?????外管內(nèi)壁對流體流動產(chǎn)生的阻力 2,2ddw rrur?? ???外管內(nèi)壁處的剪應(yīng)力 此處取“ ”是因為在外管內(nèi)壁處，速度梯度與 r方向相反 套管環(huán)隙間的周向穩(wěn)態(tài)層流 流體在兩個轉(zhuǎn)動的長同心圓筒環(huán)隙間的周向流動 (θ方向 )也是一種常見的流體流動形式。用于測量粘度的旋轉(zhuǎn)粘度計就是根據(jù)此原理制成的。 如圖所示，同軸雙層圓筒間充滿不可壓縮的牛頓型流體，內(nèi)筒的外半徑為 r1，外筒的內(nèi)半徑為 r2，當內(nèi)筒以角速度 ω1旋轉(zhuǎn)、外筒以角速度 ω2旋轉(zhuǎn)時，將帶動環(huán)隙內(nèi)流體按切線方向作穩(wěn)定的層流流動，假設(shè)圓筒足夠長，端效應(yīng)可以忽略，求流體在兩圓筒之間的速度分布及壁面上的粘性摩擦力。 ()11 0zr uurur r r z????? ? ? ?? ? ?0rzuu?? 數(shù)學模型的建立與化簡 由于是軸對稱流動，因此同樣取柱坐標系研究比較方便 ,，取 r為半徑方向， z為軸向， θ為周向。 (1)連續(xù)性方程的建立與化簡 柱坐標下的連續(xù)性方程為 由于流體僅沿 θ方向流動， 所以 因此，連續(xù)性方程可以化為： 0u??? ??2 1duprr?????(2)r方向運動方程的建立與化簡 r方向運動方程 2222 2 2 2()1 1 2[ ( ( ) ]r r r rrzd r rru u u u u uuut r r r zp u u urur r r r r r z????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?可以化簡為 簡化條件 ( 1 ) 0 ( )rut? ?? 穩(wěn) 態(tài) 流 動( 2 ) : 0ru?? ?? （ 軸 對 稱 流 動 ）22( 4) : 0 。 0 ( )rruuzz?? ???? 不 考 慮 端 效 應(yīng) 影 響( 3 ) 0 ( )u ??? ?? 連 續(xù) 性 方 程 簡 化 的 結(jié) 果( 5 ) 0rzuu?? （ 一 維 流 動 ） 同理， θ方向和 z方向上的運動方程可分別簡化為 ()1 0rur r r??? ?? ???????θ方向 z方向 1 0dpz?? ?? 微分方程的求解 0u??? ?? 0uz?? ??由于 所以 uθ僅僅是 r 的函數(shù) 故 θ方向化簡后的運動方程可以寫作常微分方程的形式 d( )d1 0ddrur r r??? ????? (347) 1 1 1r r u r? ???，21Cu C rr? ??2222 122 2 1 1 2 122211 ( ) ( )rru r r rr r r? ? ? ? ???? ? ? ???? ??2 2 2 22 2 1 1 1 2 1 2122 2 2 22 1 2 1()r r r rC Cr r r r? ? ? ????? ， 方程的邊界條件為 2 2 2r r u r? ???， 對常微分方程 (347) 連續(xù)兩次積分得： 將邊界條件帶入得 于是，流體在兩圓筒間的速度分布方程為 (350) 速度分布方程的應(yīng)用 —— 計算流動阻力及測量粘度 根據(jù)第 3章的結(jié)論，柱坐標系下 θ方向上的剪應(yīng)力與形變速率的關(guān)系為 1 rru urr r r???? ??? ?? ??????????????rurrr????? ?????? ??222 1 1 22 2 221()2()rrrr r r????? ????由于 ur=0，故上式可簡化為 將速度分布方程代入上式，化簡可得 12,0? ? ???如果外筒固定不動，內(nèi)筒以角速度 ω 轉(zhuǎn)動 (即 。此時，作用于內(nèi)筒外壁上的剪應(yīng)力為 12222212 ()r r r rrr? ???? ? ?若圓筒的長度為 L，則可以得到作用于內(nèi)筒外壁上的摩擦力為 12121 222142()r r rrrF r Lrr?? ? ????? ? ? ?內(nèi)筒繞軸旋轉(zhuǎn)的總摩擦力矩為 22121 22214 rrM F r L rr???? ? ? ?由此可得粘度的表達式 ? ?222122124M r rL r r? ????上式即為利用轉(zhuǎn)筒粘度計測量流體粘度的計算公式，測量時由于粘度計的 L, ω, r1, r2等參數(shù)都是固定的，因此從粘度計指針偏轉(zhuǎn)角度（與扭矩成正比）就可以直接讀出粘度的數(shù)值。 第 5節(jié) 降膜流動 降膜流動 ? 固體表面?yxo液膜xu自由表面?如右圖所示，不可壓縮流體沿傾角為 β的平板表面作降膜流動。 取流動方向為 x方向，以壁面的外法線方向作為 y方向，以液膜寬度方向作為 z方向，坐標原點取在壁面上，建立起直角坐標系。 在自身重力的作用下，液體在傾斜或垂直的壁面上呈膜狀下流。此時液膜的一側(cè)緊貼壁面，另一側(cè)則為自由表面，與氣體接觸。 本節(jié)主要討論液膜內(nèi)流體處于穩(wěn)態(tài)層流時液膜內(nèi)的速度分布和流動阻力問題。 降膜流動數(shù)學模型的建立： x方向 2222 2 2()y y y y y y yx y zu u u u u u upu u u Yt x y z y x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???2222 2 2()z z z z z z zx y zu u u u u u upu u u Zt x y z z x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???2222 2 2()x x x x x x xx y zu u u u u u upu u u Xt x y z x x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???y方向 z方向 在直角坐標系下，以全壓力梯度表示的不可壓縮流體運動方程為 連續(xù)性方程 u 0y zx u uux y z ??? ?? ? ? ? ?? ? ?由于降膜流動具有自由表面，因此運動方程應(yīng)采用以全壓力梯度表示的微分方程。 運動方程的簡化： 連續(xù)性方程的簡化： 連續(xù)性方程 u 0y zx u uux y z ??? ?? ? ? ? ?? ? ?uy=uz=0（ 一維流動） 0xux? ??得： 運動方程的簡化： x方向 2222 2 2()x x x x x x xx y zu u u u u u upu u u Xt x y z x x y z? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???s inXg ??22( 2) 0 0uuzz??????： ； （ 平 板 無 限 寬 ）( 1 ) : 0ut? ?? （ 穩(wěn) 態(tài) 流 動 ）c osYg ??? 0Z ?(3): uy=uz=0（ 一維流動） 簡化條件： 將上述簡化條件代入后， x方向 運動方程可簡化為： 22s i nxup gxy? ? ??? ???? 22( 4 ) : 0 0xxuu??? ? ? c o sp gy ??? ???0pz? ??同理， y方向和 z方向的運動方程簡化后的形式分別為 0 0,xxuuxz????，