【正文】 xu自由表面?如右圖所示，不可壓縮流體沿傾角為 β的平板表面作降膜流動。即仍滿足 數(shù)學(xué)模型的建立與求解 只不過邊界條件發(fā)生了變化，這時的邊界條件變?yōu)? 1 0r r u??，2 0r r u??，2 2 2 2 11 2 121l n ( / )( ) ( )4 l n ( / )C r ru r r r rrr???? ? ? ?????(336a） (336b） 對 (324)式連續(xù)兩次積分，并將邊界條件代入得 21222111d 2 d()rm rAu u A u r rA r r ???? ??? ?式中的常數(shù) C可由平均流速求得，根據(jù)平均流速的定義式可得 將速度分布方程代入并積分，得 d 1 d dd d ddp urCz r r r???????????????（ 324） ? ?2222 2121218 lnmC r ru r rrr??? ?? ? ? ?????于是，不可壓縮流體在套管環(huán)隙間作軸向穩(wěn)態(tài)層流時的速度分布方程為： ? ?2222 2121218ddlnmdupCrr zrrrr?? ? ????由此解得： ? ?2 2 2 2 11 2 12222 21 2121212 l n ( / )( ) ( )l n ( / )lnmu rru r r r rrr rrrrrr??? ? ? ? ???? ???? 速度分布方程的應(yīng)用 ? ?2221m a x212 l nrrrrrr???（ 1）求套管環(huán)隙間的最大流速 套管環(huán)隙間的最大流速可以根據(jù)速度分布方程，以 u對 r求導(dǎo)得到： ? ?22212222 21 2121212 ()d120d ln ( / )lnmu rru rrrr r r rrrrr?? ?? ? ? ???? ????令解得： 將其代回速度分布方程得： 2 2 2 2 m a x 1m a x m a x 1 2 12 2 22 1 m a x 2 12 l n ( / )( ) ( )2 l n ( / )mu r ru r r r rr r r r r??? ? ? ? ????? ??（ 2）求套管環(huán)隙間的沿程壓力降 ? ?2222 2121218ddlnmdupCrr zrrrr?? ? ????Q由此可見，沿流動方向動壓力梯度為一常數(shù)，即動壓力沿流動方向呈線性變化，而靜壓力不變。 對于封閉管道內(nèi)的流動，屬于無自由表面的情況，所以采用以動壓力表示的運動方程較為方便。 其次需要判斷一下流型，是屬于層流還是屬于湍流。故欲使該方程（ 36）成立，方程兩側(cè)只能同時等于一個 與 x和 y都無關(guān)的常數(shù) C，即： （ 36） 微分方程的求解 上述微分方程為二階線性常微分方程。這類裝置的特點是平壁的寬度遠遠大于兩平壁間的距離，因此可以認為平壁無限寬，流體在平壁間的流動可視為一維流動。 L 二、約束流動與范寧摩擦因數(shù) 工程上，許多流體都是在封閉的管道內(nèi)輸送的。下面分別給出這兩種流動的阻力系數(shù)定義。 第三章 流體運動方程的應(yīng)用 流體流動研究的核心問題就是流動阻力問題，也就是動量傳遞速率問題。該微分方程可以用于求解層流流動的動量傳遞速率、速度分布和流動阻力問題。這就是流體流動阻力產(chǎn)生的來源。 202u?理論分析和實驗研究均表明流體對圓柱體所施加的曳力與物體在垂直于流動方向上的橫截面積以及流速的平方成正比，用公式可以表述如下： 202Dd uF C A??（ 3－ 1） 現(xiàn)以流體繞過置于流場中的一根長圓柱體的流動狀況為例進行討論，如右圖所示。 在此流體元上存在著兩個方向相反的力，一個是促使流體流動的推動力 F1，該力的方向與流動方向一致，力的大小為 21 1 2()F p p r?? ? ?另一個是流體的內(nèi)摩擦力，該力為阻止流體向前運動的力 F2，力的方向與流動方向相反，其大小為： 2 2F r L????在穩(wěn)態(tài)流動下，推動力和阻力大小相等，即 F1 ＝ F2 ，所以有 21p p p? ? ?令 帶入（ 3－ 3）式得， 212 2()p p r rL? ? ?? ? ? ?（ 3－ 3） 2p rL???? （ 3－ 4） 在壁面處， r = d/2，帶式（ 3－ 4）得壁面處的剪應(yīng)力 4wp dL???? （ 3－ 5） 上式兩側(cè)同乘以剪應(yīng)力 τw的作用面積，即管內(nèi)表面積 A，得流體流動的摩擦阻力 其中， A=πd L。坐標系選用直角坐標。 另外注意在計算 Re時， d 應(yīng)該用當(dāng)量直徑。本節(jié)主要研究流體在圓管內(nèi)流動時的速度分布和流動阻力。 ( 5 ) : 0 ( )zzuu zzz???? 方 向 為 無 限 寬222 2 2()11[ ( ) ]z z z zrzd z z zu u u u uuut r r zp u u urz r r r r z?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?(5):ur=uθ =0(一維流動 ) z方向運動方程 將簡化條件代入 z方向上的運動方程后可得： 1 zd up rz r r r? ???? ? ??? ????? ? ?????簡化條件 由于動壓力 pd與 r和 θ無關(guān)，只是 z的函數(shù)，因此 ddddppzz? ??0zu?? ?? 0zuz? ??同時由于 ， 所以 uz也僅僅是 r的函數(shù) ddzzuurr? ??1 zd up rz r r r????? ? ??? ????? ? ?????因此，偏微分方程 可化為常微分方程 1 dd dd d dzd up rz r r r?????? ????????（ 321） 簡化后的微分方程的分析 方程（ 321）為二階線性偏微分方程，方程左側(cè)為 pd對 z求導(dǎo) ,由于 pd僅僅為 z的函數(shù)，因此 pd對 z求導(dǎo)只能是一個關(guān)于 z的函數(shù)，或者是一個常數(shù)；同理，方程右側(cè) uz對 r求導(dǎo)結(jié)果只能是一個關(guān)于 r的函數(shù)，或者是一個常數(shù)；而 z和 r又是兩個相互獨立的自變量，故該式兩側(cè)只有同等于某一常數(shù) C時方程才能成立。 如圖所示，同軸雙層圓筒間充滿不可壓縮的牛頓型流體，內(nèi)筒的外半徑為 r1，外筒的內(nèi)半徑為 r2，當(dāng)內(nèi)筒以角速度 ω1旋轉(zhuǎn)、外筒以角速度 ω2旋轉(zhuǎn)時，將帶動環(huán)隙內(nèi)流體按切線方向作穩(wěn)定的層流流動，假設(shè)圓筒足夠長，端效應(yīng)可以忽略，求流體在兩圓筒之間的速度分布及壁面上的粘性摩擦力。此時液膜的一側(cè)緊貼壁面，另一側(cè)則為自由表面，與氣體接觸。 二、爬流的特點 由于作爬流流動的流體雷諾數(shù)很小，因此與粘性力相比，慣性力可以忽略不計 ？ 。 即， 0c o s dd f r r rrAFA???? ??其中，微元面積 20d 2 sin dAr? ? ??積分方向為： θ從 0 到 π 不可壓縮粘性流體作用于圓球上的壓應(yīng)力為： 2 rrr up r?? ?? ? ? ?將速度分布和壓力分布方程代入上式，得 0 0003 c o s2rr rr p u pr? ? ?? ? ? ? ?20020 0 000002 si n c o s d3 2 ( c o s ) si n c o s d2 2df rrFrr u prur??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? 在小球表面上，壓應(yīng)力為： 將其代入形體曳力的計算公式中，積分得： （ 2）摩擦曳力 Fds ＝？ 摩擦曳力是由表面剪應(yīng)力引起的，小球表面上所受到的摩擦剪應(yīng)力的方向為小球表面的切線方向，即 uθ方向 。 解：固體粒子在流體中的沉降過程中，開始時處于加速狀態(tài)，當(dāng)達到穩(wěn)定后，粒子的速度將趨近于一恒定值，這時的速度稱為沉降速度。 （三）勢流方程的求解 理想流體因粘度為零，因此其流動是一種勢流流動，也是一種無旋運動，故理想流體的流動滿足 ,yyzzxxuuuuuuy x z x y z??????? ? ?? ? ? ? ? ?DD Bupft ????不可壓縮流體的勢流運動方程的向量形式為： x方向 1DD x x x x xx y zu u u u u pu u u Xt t x y z x?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?穩(wěn)態(tài)流動 0xut? ??所以，有 DD x x x xx y zu u u uu u ut x y z? ? ?? ? ?? ? ?zzzzx x xyxyy yzyuu u uu u uuuuxxuuuuxxx y z????? ? ?? ?????????? ? ??2 22 2 22 ( / ) ( / )( / )yy zzx x xyzuu uuu u uuux x y x x z x?? ?? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ?????2 2 22x y z y zxxyzu u u u uuuuux y x z x??? ? ??? ??? ???? ? ? ? ??? ?? ??? ? ? ? ???????2 2( / ) y zxxyzu uuuu uux y x z x??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ?????式中 2 2 2 2x y zu u u u? ? ?由于勢流是一種無旋運動，因此 0 , 0y zxxu uuuy x z x? ???? ? ? ?? ? ? ?所以 2( / 2 )x x xx y zu u u uu u ux y z x? ? ? ?? ? ?? ? ? ?2D / 2 ) 1D xu upXt x x???? ? ???即 x x xx y zu u uu u ux y z? ? ???? ? ?可以變形為 等式右邊 這樣，不可壓縮流體的歐拉方程就可以簡化為 2( / 2 ) 1upXxx???????2( / 2) 1upYyy???????2( / 2 ) 1upZzz???????x方向 y方向 z方向 寫成向量的形式 2 12 Bu fp???? ? ? ?????如果僅考慮在重力場中的流動， fB = g。 設(shè)流動僅發(fā)生在 x， y方向上， z 方向上沒有流動，即 uz=0， 0uz? ??這時，連續(xù)性方程 0yx uuxy?? ????0y zx u uux y z ?? ?? ??? ? ?可簡化為 2222y y y yxyu u u upu u Yx y y x y? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ?2222x x x xxyu u u upu u Xx y x x y? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ?? ? ? ?這是一個 二階非線性偏微分方程組 ，直接求解是很復(fù)雜的。