北郵數(shù)理方程課件第三章分離變量法-資料下載頁(yè)
2025-04-16 23:59本頁(yè)面
【正文】 第2題類(lèi)似，具有第一類(lèi)和第二類(lèi)邊界條件，從而可得其一般解由初始條件得所以 5解：弦固定于及兩端，初速度為零，即定解問(wèn)題為 設(shè)，得到 其滿足邊界條件代入得到 有 ，經(jīng)討論知當(dāng)或時(shí)，問(wèn)題沒(méi)有非零解。 在時(shí)令，得 因此有本征值和本征函數(shù)分別為將本征值代入，得 解之得 令，有 利用疊加原理得 代入初始條件得 將其代入得到： 6 解 定解問(wèn)題為 設(shè)，代入上述方程得到 由條件，得到 （3）令，此時(shí)的通解為： 由此得本征值和本征函數(shù)依次為將本征值代入，得 其通解為 故有 式中 疊加得到 由，得 于是得將其代入得到：7 解 由題意即求定解問(wèn)題 設(shè)，并取得到 解方程得到 由邊界條件得 ，代入上式得 及 又 解方程得到 于是 根據(jù)初始條件由得到 ， 故得原定解問(wèn)題的解為 8 解 采用極坐標(biāo)，即令, 則泛定方程為令代入上式并分離變量可得即 （1） （2）由（1）可得 由自然邊界條件得將代入(2)得作歐拉變換將其化為常系數(shù)線性微分方程，可求得其通解為所以，本征解為對(duì)于略去和得（1）由有，故因此(2) 由有，因此.9 解 將u及非齊次項(xiàng)A按固有函數(shù)系展開(kāi)，注意是第一類(lèi)齊次邊界條件 ，故有 及 代入中的方程有 故有 即 上述方程相應(yīng)齊次方程的通解，即 特解為 于是有 又由于 ，得到 故 ，可得 或 10 解 定解問(wèn)題為 設(shè) ，并取，從而v滿足 令，由分離變量法解得 于是一般解為級(jí)數(shù)形式由 初始條件有 ，所以有于是最后 11解 定解問(wèn)題為 設(shè) 代入得到 故為使的方程和邊界條件均為齊次，應(yīng)選使之滿足 將式對(duì)積分兩次得 代入邊界條件中得 由此得 故有 此時(shí)，求解的問(wèn)題，可化為 用分離變量法可求得的解為其中 故原定解問(wèn)題的解為式中 。 12 解 設(shè)方程為 令代入得到： 由邊界條件得到 （4）在 時(shí)，（3）的通解為 由得且 于是有解出通解為，于是有 由邊界條件 得 ，則級(jí)數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)均為零，故又由 即 故 由以上各式解得 于是有 13 解 定解問(wèn)題為 令 ，取 ，代入方程得到 設(shè) 有 解及（2）得到 由 則 由 ，則 ，故，而再由 ，故故定解問(wèn)題的通解為 14 解 令, 則, 代入定解問(wèn)題得 （1）令, 代入上式的第一式得 （2） （3）由(2)得 （4）由，得從而，由此得本征值和本征函數(shù)分別為代入(3)得 ，于是由得. 完美WORD格式編輯
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