北郵數(shù)理方程課件第三章分離變量法-免費(fèi)閱讀
【正文】 解答與提示 1解 定解問(wèn)題如下： 設(shè)，代入上述方程得到 由條件，得到 令，此時(shí)的通解為： 因此得本征值和本征函數(shù)分別為將本征值代入，得 解之得 令，有 利用疊加原理得 代入初始條件，得到 及由，得 于是得 ， 將其代入得到： 2 解：令，代入原方程及邊界條件得 （1） （2）解(2)第一式可得由（2）的第二式得，將代入（1）得于是由初始條件得所以從而 3 解：令，代入原方程和邊界條件得 （2） （3）下面求解本征值問(wèn)題（3）1) 若，則由邊界條件（3）的第二式得，從而，故。即求解定解問(wèn)題3 長(zhǎng)為的桿，一段固定，另一端因受力而伸長(zhǎng)，其定解問(wèn)題為 （1）4 長(zhǎng)為的理想傳輸線遠(yuǎn)端開(kāi)路，先把傳輸線充電到電位差，然后把近端短路。 (2) 當(dāng)時(shí)，（6）式中方程的通解是 由邊界條件得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故也不可能有。 （3）當(dāng) 時(shí)，上述固有值問(wèn)題有非零解．此時(shí)式（6）的通解為代入條件（6）中邊界條件，得由于 ，故 ，即從而得到一系列固有值與固有函數(shù)與這些固有值相對(duì)應(yīng)的方程（3）的通解為于是，所求定解問(wèn)題的解可表示為利用初始條件確定其中的任意常數(shù)，得故所求的解為例2 演奏琵琶是把弦的某一點(diǎn)向旁邊撥開(kāi)一小段距離，然后放手任其自由振動(dòng)。求解線上的電壓，其定解問(wèn)題為 （1） 5 設(shè)弦的兩端固定于及，弦的初始位移如圖所示，初速度為零，又沒(méi)有外力作用，求弦作橫向振動(dòng)時(shí)的位移函數(shù)。2） 若，則由邊界條件（3）的第二式得解之得，從而，所以不能有。解：定解問(wèn)題為 （1）令，代入原方程得 （2） （3）由（1）的第二式得 （4）解本征值問(wèn)題（2）（4），得解關(guān)于的方程（3）得從而有 （4）將（4）代入邊界條件（1）的第三式，得 （5） （6）由（6）得代入（5）得由此得 習(xí)題1 就下列初始條件及邊界條件解弦振動(dòng)方程 2 兩端固定的弦的長(zhǎng)度為，用細(xì)棒敲擊弦上點(diǎn)，即在施加沖力，設(shè)其沖量為，求解弦的振動(dòng)。（2）式代入邊界條件（（1）中第二式），得 （5）相應(yīng)的本證值問(wèn)題為求 （6）的非零解．下面針對(duì)的取值情況進(jìn)行討論： （1）當(dāng)時(shí)，（6）式中方程的通解是 （7）其中A，B為積分常數(shù)，（7）代入（6）中邊界條件，得 （8）由（8）得A=B=0，得X（x）=0，為平凡解，故不可能有。設(shè)弦長(zhǎng)為，被撥開(kāi)的點(diǎn)在弦長(zhǎng)的(為正整數(shù))處，撥開(kāi)距離為，試求解弦的振動(dòng)，即求解定解問(wèn)題解：將代入原方程及邊界條件得 （1） （2）解(2)第一式可得由（2）的第二式得，將代入（1）并解得由初始條件得所以從而例3 求解細(xì)桿的導(dǎo)熱問(wèn)
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