北郵數(shù)理方程課件第三章分離變量法-wenkub
2023-05-01 23:59:46 本頁面
【正文】 值代入式(4)，解得 故問題的一般解為 (7)由邊界條件 得到一個無窮級數(shù)等于零，說明各項系數(shù)均為零，故 (8)又由得將Ay展開成Fourier余弦級數(shù)，并比較系數(shù)有故 (9)從式(8)和(9)中解得代入式(7)并整理得 (10)例5 帶電云與大地之間的靜電場近似勻強靜電場，其電場強度是垂直的．水平架設的輸電線處在這個靜電場中．輸電線是導體圓柱．柱面由于靜電感應出現(xiàn)感應電荷，圓柱附近的靜電場也就不再是勻強的了．不過，離圓柱“無限遠”處的靜電場仍保持勻強，現(xiàn)研究導體圓柱怎樣改變了勻強靜電場（即討論導線附近的電場分布）．解：化成定解問題，取柱軸為z軸，設導線“無限長”，那么場強和電勢都與z無關，只需在x，y平面上討論．如圖32所示，圓柱在x，y平面的截面是圓周 作為靜電場的邊界，所以我們采用極坐標．柱外空間無電荷，電勢滿足二維Laplace方程，化成極坐標為 (1)邊界條件：導體中的電荷不再移動，說明導體中電勢相同，又因為電勢具有相對意義，可以把導體的電勢當作零，故 (2)“無窮遠”處也為一個邊界（圓內(nèi)則考慮圓心點），“無窮遠”處靜電場仍為勻強靜電場，由于選取了x軸平行，故有即 因此有 (3)圖32 輸電線對帶電云和大地之間電場的影響分離變量，令代入方程(1)，得 (4) (5)因為極角具有周期性，應表示一個點，同一處的u應該相同，故有即 所以有 (6)方程(6)稱為自然周期條件．方程(4)，(6)構成本征值問題，解之即方程(5)可以寫成 (7)為歐拉方程．作變換 化成常系數(shù)線性微分方程，其通解為于是得到極坐標系中Laplace方程的本征解一般解應疊加 (8)由邊界條件(2)，有一個Fourier級數(shù)為零，各系數(shù)為零，即由此于是將解化簡為 (9)再由邊界條件(3)，對于略去及項，即比較系數(shù)代入方程（9），導體周圍的電勢分布 (10)例6 長為l的理想傳輸線，一端接于電動勢為 的交流電源，另一端開路，求解線上的穩(wěn)恒電振蕩．解：經(jīng)歷交流電的許多周期后,初始條件所引起的自由振蕩衰減到可以認為已經(jīng)消失，這時的電振蕩完全是由交流電源引起的，所以叫穩(wěn)恒振蕩．因此是沒有初始條件的問題：為了計算方便，將電動勢 寫成 ，最后將得到的解取虛部．由于振蕩完全由交流電源引起，當然可以認為振蕩的周期與交流電源相同，即令代入方程得即其通解為故有由 得 (1)及 得 (2)從式(1)，(2)中解出帶入解的表達式，得取虛部，并以 代入，得傳輸線內(nèi)穩(wěn)恒的電振蕩例7 試解出具有放射衰變的熱傳導方程 已知邊界條件為 初始條件為 解 令 ，定解問題可以化為 由于對應的齊次問題具有第一類邊界條件，故令 代入上述方程和初始條件得 即 其中 （3）求解式得到 （4）將式代入式得 故得原定解問題的解為 即 例8 在環(huán)形域內(nèi)求解下列定解問題．解：由于求解區(qū)域式環(huán)形區(qū)域，所以我們選用平面極坐標系，利用直角坐標系與極坐標系之間的關系可將上述定解問題用極坐標表示： 這是一個非齊次方程附有齊次邊界條件的定解問題．采用固有函數(shù)法，并注意到圓域內(nèi)Laplace方程所對應的固有函數(shù)，可令問題(1)(2)的解的形式為代入式(1)并整理得到比較兩端關于的系數(shù)，可得 (3) (4) (5)再由條件(2)得 方程(4)與(5)都是齊次的歐拉方程，它們的通解分別為其中都是任意常數(shù)．由
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