最全的遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式方法-資料下載頁
2025-04-07 23:13本頁面
【正文】 解法二：（I）（II）因，故猜想因，（否則將代入遞推公式會導(dǎo)致矛盾）故的等比數(shù)列., 解法三：（Ⅰ）由整理得（Ⅱ）由所以解法四：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ） 從而類型11 或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：（I）在數(shù)列中，求 （II）在數(shù)列中，求類型12 歸納猜想法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:（2006，全國II,理,22,本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通項(xiàng)公式 提示:1 為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式可得 2 求出等,可猜想并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，本題主要考察 一般數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式間的關(guān)系3 方程的根的意義(根代入方程成立)4數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式(也可以把分開為,可得解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時(shí)，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝ 當(dāng)n＝2時(shí)，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝ (Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ?、儆?Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝ 由①可得S3＝ 由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，… ……8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論 (i)n＝1時(shí)已知結(jié)論成立 (ii)假設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即Sk＝，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立 綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立 ……10分于是當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1時(shí)，a1＝＝，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝，n＝1，2，3，… ……12分本題難度較大,不過計(jì)算較易,數(shù)列的前面一些項(xiàng)的關(guān)系也比較容易發(fā)現(xiàn) 類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例：已知數(shù)列中，；數(shù)列中。當(dāng)時(shí)，,，求,.解：因所以即…………………………………………（1）又因?yàn)樗浴?即………………………（2）由（1）、（2）得：， 類型14周期型解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例：若數(shù)列滿足，若，則的值為___________。變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列滿足，則= （ ） A．0 B． C． D．24
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