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高等數(shù)學中極限問題的解法詳析-資料下載頁

2025-04-04 05:18本頁面
  

【正文】 5.用等價無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價無窮小有:當 時,;(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式;(3)此方法在各種求極限的方法中應作為首選。例7:求極限【解】 .例8:求極限【解】6.用羅必塔法則求極限例9:求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?!窘狻俊咀ⅰ吭S多變動上顯的積分表示的極限,常用羅必塔法則求解例10:設函數(shù)f(x)連續(xù),且,求極限【解】 由于,于是 ====7.用對數(shù)恒等式求極限 例11:極限 【解】 ==【注】對于型未定式的極限,也可用公式=因為例12:求極限.【解1】 原式 【解2】 原式 8.利用Taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 , 。 .例14 求極限.【解】 .9.數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例15:極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限,由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則,若直接求有一定難度,若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限,可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。【解】考慮輔助極限所以,10.n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算。(2)利用兩邊夾法則求極限.例16:極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把看成[0,1]定積分。【解】原式=例17:極限【說明】(1)該題遇上一題類似,但是不能湊成的形式,因而用兩邊夾法則求解; (2) 兩邊夾法則需要放大不等式,常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】因為  又    所以 ?。剑?2.單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18:設數(shù)列滿足(Ⅰ)證明存在,并求該極限;(Ⅱ)計算. 【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 (Ⅰ)因為,則.可推得 ,則數(shù)列有界.于是 ,(因當), 則有,可見數(shù)列單調(diào)減少,故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設,在兩邊令,得 ,解得,即.(Ⅱ) 因 ,由(Ⅰ)知該極限為型, (使用了羅必塔法則)故 .
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