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廣東東莞市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(a)理(含解析)新人教a版-資料下載頁

2025-04-04 04:18本頁面
  

【正文】 ∴η的期望(元).…(14分)點(diǎn)評:本題考查概率的計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題. 19.(14分)下面四個(gè)圖案,都是由小正三角形構(gòu)成,設(shè)第n個(gè)圖形中所有小正三角形邊上黑點(diǎn)的總數(shù)為f(n).(1)求出f(2),f(3),f(4),f(5);(2)找出f(n)與f(n+1)的關(guān)系,并求出f(n)的表達(dá)式;(3)求證:(n∈N*).考點(diǎn):歸納推理.專題:探究型.分析:(1)由圖分別求出f(2),f(3),f(4),f(5).(2)根據(jù)(1)的幾個(gè)數(shù)值,歸納出f(n)的表達(dá)式.(3)利用歸納的f(n)的表達(dá)式,將數(shù)列進(jìn)行化簡求和,然后利用歸納法證明不等式.解答:解:(1)由題意有f(1)=3,f(2)=f(1)+3+32=12,f(3)=f(2)+3+34=27,f(4)=f(3)+3+36=48,f(5)=f(4)+3+38=75. …(2分)(2)由題意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+32n=f(n)+6n+3,…(4分)即f(n+1)﹣f(n)=6n+3,所以f(2)﹣f(1)=61+3,f(3)﹣f(2)=62+3,f(4)﹣f(3)=63+3,…f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1)+3,…(5分)將上面(n﹣1)個(gè)式子相加,得:f(n)﹣f(1)=6[1+2+3+…+(n﹣1)]+3(n﹣1)==3n2﹣3…(6分)又f(1)=3,所以f(n)=3n2. …(7分)(3)∵f(n)=3n2∴. …(9分)當(dāng)n=1時(shí),原不等式成立. …(10分)當(dāng)n=2時(shí),原不等式成立. …(11分)當(dāng)n≥3時(shí),==,原不等式成立. …(13分)綜上所述,對于任意n∈N*,原不等式成立. …(14分)點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是歸納推理以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,綜合性較,強(qiáng)運(yùn)算量較大. 20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ekx(k是不為零的實(shí)數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若曲線y=f(x)與y=x2有公共點(diǎn),且在它們的某一公共點(diǎn)處有共同的切線,求k的值;(2)若函數(shù)h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求此時(shí)k的取值范圍.考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.分析:(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),再代入兩個(gè)解析式建立方程①,再由在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值相等列出方程②,聯(lián)立方程求解;(2)由題意求出h(x)解析式,再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)區(qū)間關(guān)系求出k的范圍,再對k分類:k<﹣1時(shí)和0<k<1時(shí),再由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,分別列出等價(jià)條件,求出k的范圍,最后并在一起.解答:解:(1)設(shè)曲線y=f(x)與y=x2有共同切線的公共點(diǎn)為P(x0,y0),則 ①,又∵y=f(x)與y=x2在點(diǎn)P(x0,y0)處有共同切線,且f′(x)=kekx,(x2)′=2x,∴ ②,由①②解得,. (2)由f(x)=ekx得,函數(shù)h(x)=(x2﹣2kx﹣2)ekx,∴(h(x))′=[kx2+(2﹣2k2)x﹣4k]ekx==. 又由區(qū)間知,解得0<k<1,或k<﹣1. ①當(dāng)0<k<1時(shí),由(h(x))39。=,得,即函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為,要使h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,則有,解得. ②當(dāng)k<﹣1時(shí),由(h(x))39。=,得x<2k或,即函數(shù)h(x)的單調(diào)減區(qū)間為(﹣∞,2k)和,要使h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,則有,或,這兩個(gè)不等式組均無解.綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)(x2﹣2kx﹣2)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.點(diǎn)評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想. 
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