廣東東莞市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(a)理(含解析)新人教a版-資料下載頁
2025-04-04 04:18本頁面
【正文】 ∴η的期望（元）．…（14分）點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題． 19．（14分）下面四個圖案，都是由小正三角形構(gòu)成，設(shè)第n個圖形中所有小正三角形邊上黑點的總數(shù)為f（n）．（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；（2）找出f（n）與f（n+1）的關(guān)系，并求出f（n）的表達(dá)式；（3）求證：（n∈N*）．考點：歸納推理．專題：探究型．分析：（1）由圖分別求出f（2），f（3），f（4），f（5）．（2）根據(jù)（1）的幾個數(shù)值，歸納出f（n）的表達(dá)式．（3）利用歸納的f（n）的表達(dá)式，將數(shù)列進(jìn)行化簡求和，然后利用歸納法證明不等式．解答：解：（1）由題意有f（1）=3，f（2）=f（1）+3+32=12，f（3）=f（2）+3+34=27，f（4）=f（3）+3+36=48，f（5）=f（4）+3+38=75． …（2分）（2）由題意及（1）知，f（n+1）=f（n）+3+32n=f（n）+6n+3，…（4分）即f（n+1）﹣f（n）=6n+3，所以f（2）﹣f（1）=61+3，f（3）﹣f（2）=62+3，f（4）﹣f（3）=63+3，…f（n）﹣f（n﹣1）=6（n﹣1）+3，…（5分）將上面（n﹣1）個式子相加，得：f（n）﹣f（1）=6[1+2+3+…+（n﹣1）]+3（n﹣1）==3n2﹣3…（6分）又f（1）=3，所以f（n）=3n2． …（7分）（3）∵f（n）=3n2∴． …（9分）當(dāng)n=1時，原不等式成立． …（10分）當(dāng)n=2時，原不等式成立． …（11分）當(dāng)n≥3時，==，原不等式成立． …（13分）綜上所述，對于任意n∈N*，原不等式成立． …（14分）點評：本題的考點是歸納推理以及利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，綜合性較，強(qiáng)運(yùn)算量較大． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ekx（k是不為零的實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）若曲線y=f（x）與y=x2有公共點，且在它們的某一公共點處有共同的切線，求k的值；（2）若函數(shù)h（x）=f（x）（x2﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求此時k的取值范圍．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）設(shè)切點坐標(biāo)，再代入兩個解析式建立方程①，再由在切點處導(dǎo)數(shù)值相等列出方程②，聯(lián)立方程求解；（2）由題意求出h（x）解析式，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)區(qū)間關(guān)系求出k的范圍，再對k分類：k＜﹣1時和0＜k＜1時，再由條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，分別列出等價條件，求出k的范圍，最后并在一起．解答：解：（1）設(shè)曲線y=f（x）與y=x2有共同切線的公共點為P（x0，y0），則 ①，又∵y=f（x）與y=x2在點P（x0，y0）處有共同切線，且f′（x）=kekx，（x2）′=2x，∴ ②，由①②解得，． （2）由f（x）=ekx得，函數(shù)h（x）=（x2﹣2kx﹣2）ekx，∴（h（x））′=[kx2+（2﹣2k2）x﹣4k]ekx==． 又由區(qū)間知，解得0＜k＜1，或k＜﹣1． ①當(dāng)0＜k＜1時，由（h（x））39。=，得，即函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為，要使h（x）=f（x）（x2﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有，解得． ②當(dāng)k＜﹣1時，由（h（x））39。=，得x＜2k或，即函數(shù)h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（﹣∞，2k）和，要使h（x）=f（x）（x2﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則有，或，這兩個不等式組均無解．綜上，當(dāng)時，函數(shù)h（x）=f（x）（x2﹣2kx﹣2）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想．
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