【正文】 10 個車站可以下車，若到達(dá)一個車站，沒有乘客下車就不停車。設(shè)每位乘客在每一個車站下車是等可能的并且各旅客是否下車相互獨立。設(shè) X 表示停車的次數(shù)。試求 E(X)和 D(X)。例 4．19：設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為 ，檢驗員每天檢驗 4 次，每次隨機(jī)地抽取 5 件產(chǎn)品檢驗，如果發(fā)現(xiàn)多于 1 件次品，就要調(diào)整機(jī)器。求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。例 4．20：地鐵到達(dá)一站時間為每個整點的第 5 分、25 分、55 分鐘，設(shè)一乘客在早 8點～9 點之間隨機(jī)到達(dá)，求侯車時間的數(shù)學(xué)期望。二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例 4．21：設(shè) X～N（1，2） ，Y～N（2，4）且 X，Y 相互獨立，求 Z=2X+Y3 的分布密度函數(shù)f(z)。例 4．22：設(shè) X1，X 2，……，X n為獨立同分布的隨機(jī)變量，均服從 ，證明),(2??N服從 分布。??nii1),(2??例 4．23：設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù) ????????,0,5102),()5(其 他 yxxeyfy則 E（XY）= 。例 4．24：設(shè)（X，Y）服從在 A 上的均勻分布，其中 A 為 x 軸，y 軸及直線 所圍12??yx成的三角形區(qū)域，求 X，Y，XY 的數(shù)學(xué)期望及方差。例 4．25：設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布在以點（0，1） ， （1，0） ， （1，1）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量 U=X+Y 的方差。例 4．26：設(shè) X,Y 是隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù) ＝ ，令XY?2Z1＝aX，Z 2＝bX+cY，試確定 a,b,c 的值，使 D(Z1)＝D(Z 2)＝1 且 Z1和 Z2不相關(guān)。獨立和不相關(guān)例 4．27：設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，則 D（X+Y）=D（X）+D（Y）是 X 和 Y（ ） 。（A）不相關(guān)的充分條件，且不是必要條件；（B）獨立的充分條件，但不是必要條件；（C）不相關(guān)的充分必要條件；（D）獨立的充分必要條件。例 4．28：已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為X\Y 1 0 11 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8試求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)， ；（3）判斷 X,Y 是否相關(guān)？XY?是否獨立？例 4．29：已知隨機(jī)變量 X 和 Y 分別服從正態(tài)分布 N（1，3 2）和 N（0，4 2） ，且 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) ，設(shè)21??XY?.23Z?（1）求 Z 的數(shù)學(xué)期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2）求 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù) ；（3）問 XXY?與 Z 是否相互獨立？為什么？例 4．30：設(shè) A，B 是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量 ?????,1否 則 出 現(xiàn)若 AX?????.,1,否 則 出 現(xiàn)若 BY試證：“X,Y 不相關(guān)”與“A,B 獨立”互為充分必要條件。應(yīng)用題例 4．31：設(shè)某產(chǎn)品每周需求量為 Q，Q 等可能地取 1，2，3，4，5。生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是 3 元，每件產(chǎn)品的售價為 9 元，沒有售出的產(chǎn)品以每件 1 元的費用存入倉庫。問生產(chǎn)者每周生產(chǎn)多少件產(chǎn)品可使利潤的期望最大？例 4．32：設(shè)某種商品每周的需求量 X 服從區(qū)間[10，30]上的均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利 500 元；若供大于求則削價處理，每處理 1 單位商品虧損 100 元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時每 1 單位商品僅獲利 300 元，為使商店所獲利潤期望值不少于 9280 元，試確定最少進(jìn)貨量。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié) 基本概念切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 E（X）=μ，方差 D（X）=σ 2，則對于任意正數(shù) ε，有下列切比雪夫不等式 2)(??????P切比雪夫不等式給出了在未知 X 的分布的情況下，對概率 )(的一種估計，它在理論上有重要意義。例 5．1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差為 2，則根據(jù)切比雪夫不等式估計 ???}2)({XEP。大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設(shè)隨機(jī)變量 X1，X 2，…相互獨立，均具有有限方差，且被同一常數(shù) C 所界：D（ Xi）C(i=1,2,…),則對于任意的正數(shù) ε，有 .1)(1lim???????????????niiniin XEP特殊情形：若 X1，X 2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望 E（X I）=μ，則上式成為 .11lim???????????????niinP或者簡寫成： ??.li?Xn切比雪夫大數(shù)定律指出，n 個相互獨立，且具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng) n 很大時，它們的算術(shù)平均以很大的概率接近它們的數(shù)學(xué)期望。例 5．2：設(shè){ Xk}為相互獨立的隨機(jī)變量序列，且 ,21,21210~2??????????? kkkk試證{ Xk}服從切比雪夫大數(shù)定律。（2）伯努利大數(shù)定律設(shè) μ 是 n 次獨立試驗中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，p 是事件 A 在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù) ε，有 .1lim?????????????nP伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù) n 很大時，事件 A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即 .0li?????????????pn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。（3）辛欽大數(shù)定律（不要求存在方差）設(shè) X1，X 2，…，X n，…是相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且 E（X n）=μ，則對于任意的正數(shù) ε 有 .11lim???????????????niinXP中心極限定理（1）列維－林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量 X1，X 2，…相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量),21(0)(,)(2????kXDEkk????nXYnk???1的分布函數(shù) Fn(x)對任意的實數(shù) x，有 ??????? ???????????xtnknn )(li 21???或者簡寫成： )1,0(/NnX???????此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。（2）棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量 X1，…X n均為具有參數(shù) n, p(0p1)的二項分布，則對于任意實數(shù) x,有?????????????????xtn )1(lim2?例 5．3：某車間有 200 臺車床，在生產(chǎn)時間內(nèi)由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。設(shè)開工率為 ，并設(shè)每臺車床的工作是獨立的，且在開工時需電力1Kw，問應(yīng)供應(yīng)該車間多少瓦電力，才能以 %的概率保證該車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)。二項定理和泊松定理（1）二項定理若當(dāng) ，則),(,不 變時 knpNM??knknKpPC??1().(??N可見，超幾何分布的極限分布為二項分布。例 5．4：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為 2：1 。今任取一罐并從中取出 50 只球，查得其中有 30 只紅球和 20 只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍（2）泊松定理若當(dāng) ，則0,????np時????ekpPCnkn!)1( ).(?n其中 k=0，1，2，…，n，…。例 5．5：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 ，若獨立地射擊 5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率，用泊松分布來近似計算。第二節(jié) 練習(xí)題切比雪夫不等式例 5．6：利用切比雪夫不等式估計隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差大于 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率。大數(shù)定律例 5．7：設(shè) X1，X 2，…，X n，…是相互獨立的隨機(jī)變量序列，X n服從參數(shù)為 n 的指數(shù)分布（n=1,2, …） ，則下列中不服從切比雪夫大數(shù)定律的隨機(jī)變量序列是：（A）X 1，X 2，…，X n，…； （B）X 1，2 2X2，…，n 2Xn，…（C）X 1，X 2/2，…，X n/n，…； （D）X 1，2X 2，…，nX n，…中心極限定理例 5．8：設(shè) X1，X 2，…為獨立同分布序列，且 Xi(i=1,2,…)服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，則（A） （B）).(lim1xnPniin ????????????????? ).(lim1xnPniin ????????????????（C） （D）).(li1xnXniin??????????????? ).(li1xnXniin???????????????[ ] 其中 .dtex21.)(???????例 5．9：設(shè) X1，X 2，…，X n，…是相互獨立的隨機(jī)變量序列，在下面條件下， ，…， ，…滿足列維－林德伯格中心極限定理的是：21（A） ； 1,0}{1???mqpPi（B） ；dtxXPi??????)1(}{2?（C） ；2122 6, ????????????mi cmc， 常 數(shù)?（D） 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。iXi例 5．10：設(shè)隨機(jī)變量 X1， X2，… Xn相互獨立， Sn=X1+X2+…+Xn，則根據(jù)列維林德伯格中心極限定理，當(dāng) n 充分大時， Sn近似服從正態(tài)分布，只要 X1， X2，…， Xn（A）有相同的數(shù)學(xué)期望。 （B）有相同的方差。（C）服從同一指數(shù)分布。 （D）服從同一離散型分布。 [ ]例 5．11：（1）一個復(fù)雜系統(tǒng)由 100 個相互獨立的元件組成，在系統(tǒng)運行期間每個元件損壞的概率為 ，又知為使系統(tǒng)正常運行，至少必須有 85 個元件工作，求系統(tǒng)的可靠度（即正常運行的概率） ；（2）上述系統(tǒng)假如由 n 個相互獨立的元件組成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使整個系統(tǒng)正常運行，問 n 至少為多大時才能保證系統(tǒng)的可靠度為？例 5．12：計算機(jī)做加法運算時，要對每個加數(shù)取整。設(shè)所有的取整誤差相互獨立，并且均服從 U[， ]。如果將 1500 個數(shù)相加，求誤差總和的絕對值超過 15 的概率。例 5．13：設(shè)有 1000 個人獨立行動，每個人能夠按時進(jìn)行掩蔽體的概率為 ，以 95%概率估計，在一次行動中（1）至少有多少人能夠進(jìn)入？ （2）至多有多少人能夠進(jìn)入？第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念第一節(jié) 基本概念總體、個體和樣本（1）總體與樣本總體 在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體） ；而把總體中的每一個單元稱為樣品（或個體） 。在以后的討論中，我們總是把總體看成一個具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量） 。例如單正態(tài)總體 X，用 ),(~2??N來表示我們把從總體中抽取的部分樣品 稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣nx,21?本容量，一般用 n 表示。為了使抽取的樣本很好地反映總體地信息，最常用的方法是“簡單隨機(jī)抽樣”：（1）代表性。即每一樣品 Xi與總體 X 同分布；（2）獨立性。即樣品抽取互相間不影響。此時的樣本是 n 個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本。注意：在泛指任一次抽取的結(jié)果時， 表示 n 個隨機(jī)變量（樣本） ；在具體的一x,21?次抽取之后， 表示 n 個具體的數(shù)值（樣本值） 。我們稱之為樣本的兩重性。x,21?例 6．1：總體：100 個球，60 個紅球，40 個白球；樣本：10 個球。（2）樣本函數(shù)與統(tǒng)計量設(shè) 為總體的一個樣本，稱nx,1?（ ）??nx,21?為樣本函數(shù)，其中 為一個連續(xù)函數(shù)。如果 中不包含任何未知參數(shù)，則稱 （? ?）為一個統(tǒng)計量。nx,21?統(tǒng)計量（1）常用統(tǒng)計量樣本均值 .1??nix樣本方差 ???niixS122 .)(（與概率論中的方差定義不同）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 .)(12??niixS樣本 k 階原點矩 ?nikkM1.,?樣本 k 階中心矩 ????nikikx1.,32,)(?（二階中心矩 與概率論中的方差定義相同）?niiXS122)(*例 6．2：用測溫儀對一物體的溫度測量 5 次，其結(jié)果為（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求統(tǒng)計計量 ，S 2和 S 的觀察值X.,2sx和（2）統(tǒng)計量的期望和方差， ，??)(XEnD2)(?， ,2S221*S??其中 ，為二階中心矩。??niiX122)(三個抽樣分布（χ t、F 分布）（1）χ 2分布設(shè) n 個隨機(jī)變量 相互獨立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明：它們的平方nX,21?和??niiXW12的分布密度為 ??????????????.0,0,2)(21uenuf u我們稱隨機(jī)變量 W 服從自由度為 n 的 分布，記為 W～ (n)，其中?2?.2022dxen???????????所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機(jī)變量的個數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)2?),(2iinY??則 ).(~2112kkiZ????注意兩個結(jié)果：E(χ 2)=n，D(χ 2)=2n例 6．3：設(shè) 相互獨立同 N（0，2 2）分布，求常數(shù) a, b, c, d 使1021,X? 21098765423 )()()( XXdcbaY ?????服從 分布，并求自由度 m 。2?（2）t 分布設(shè) X，Y 是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，且 ),(~),10(2nYNX?可以證明：函數(shù) T/?的概率密度為 2121)(?