【正文】 10 個(gè)車站可以下車，若到達(dá)一個(gè)車站，沒有乘客下車就不停車。設(shè)每位乘客在每一個(gè)車站下車是等可能的并且各旅客是否下車相互獨(dú)立。設(shè) X 表示停車的次數(shù)。試求 E(X)和 D(X)。例 4．19：設(shè)某一機(jī)器加工一種產(chǎn)品的次品率為 ，檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn) 4 次，每次隨機(jī)地抽取 5 件產(chǎn)品檢驗(yàn)，如果發(fā)現(xiàn)多于 1 件次品，就要調(diào)整機(jī)器。求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。例 4．20：地鐵到達(dá)一站時(shí)間為每個(gè)整點(diǎn)的第 5 分、25 分、55 分鐘，設(shè)一乘客在早 8點(diǎn)～9 點(diǎn)之間隨機(jī)到達(dá)，求侯車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例 4．21：設(shè) X～N（1，2） ，Y～N（2，4）且 X，Y 相互獨(dú)立，求 Z=2X+Y3 的分布密度函數(shù)f(z)。例 4．22：設(shè) X1，X 2，……，X n為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，均服從 ，證明),(2??N服從 分布。??nii1),(2??例 4．23：設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù) ????????,0,5102),()5(其 他 yxxeyfy則 E（XY）= 。例 4．24：設(shè)（X，Y）服從在 A 上的均勻分布，其中 A 為 x 軸，y 軸及直線 所圍12??yx成的三角形區(qū)域，求 X，Y，XY 的數(shù)學(xué)期望及方差。例 4．25：設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布在以點(diǎn)（0，1） ， （1，0） ， （1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量 U=X+Y 的方差。例 4．26：設(shè) X,Y 是隨機(jī)變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，相關(guān)系數(shù) ＝ ，令XY?2Z1＝aX，Z 2＝bX+cY，試確定 a,b,c 的值，使 D(Z1)＝D(Z 2)＝1 且 Z1和 Z2不相關(guān)。獨(dú)立和不相關(guān)例 4．27：設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，則 D（X+Y）=D（X）+D（Y）是 X 和 Y（ ） 。（A）不相關(guān)的充分條件，且不是必要條件；（B）獨(dú)立的充分條件，但不是必要條件；（C）不相關(guān)的充分必要條件；（D）獨(dú)立的充分必要條件。例 4．28：已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為X\Y 1 0 11 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8試求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)， ；（3）判斷 X,Y 是否相關(guān)？XY?是否獨(dú)立？例 4．29：已知隨機(jī)變量 X 和 Y 分別服從正態(tài)分布 N（1，3 2）和 N（0，4 2） ，且 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) ，設(shè)21??XY?.23Z?（1）求 Z 的數(shù)學(xué)期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2）求 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù) ；（3）問 XXY?與 Z 是否相互獨(dú)立？為什么？例 4．30：設(shè) A，B 是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量 ?????,1否 則 出 現(xiàn)若 AX?????.,1,否 則 出 現(xiàn)若 BY試證：“X,Y 不相關(guān)”與“A,B 獨(dú)立”互為充分必要條件。應(yīng)用題例 4．31：設(shè)某產(chǎn)品每周需求量為 Q，Q 等可能地取 1，2，3，4，5。生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是 3 元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為 9 元，沒有售出的產(chǎn)品以每件 1 元的費(fèi)用存入倉(cāng)庫(kù)。問生產(chǎn)者每周生產(chǎn)多少件產(chǎn)品可使利潤(rùn)的期望最大？例 4．32：設(shè)某種商品每周的需求量 X 服從區(qū)間[10，30]上的均勻分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間[10，30]中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利 500 元；若供大于求則削價(jià)處理，每處理 1 單位商品虧損 100 元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每 1 單位商品僅獲利 300 元，為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于 9280 元，試確定最少進(jìn)貨量。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié) 基本概念切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 E（X）=μ，方差 D（X）=σ 2，則對(duì)于任意正數(shù) ε，有下列切比雪夫不等式 2)(??????P切比雪夫不等式給出了在未知 X 的分布的情況下，對(duì)概率 )(的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。例 5．1：設(shè)隨機(jī)變量 X 的方差為 2，則根據(jù)切比雪夫不等式估計(jì) ???}2)({XEP。大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設(shè)隨機(jī)變量 X1，X 2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù) C 所界：D（ Xi）C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正數(shù) ε，有 .1)(1lim???????????????niiniin XEP特殊情形：若 X1，X 2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望 E（X I）=μ，則上式成為 .11lim???????????????niinP或者簡(jiǎn)寫成： ??.li?Xn切比雪夫大數(shù)定律指出，n 個(gè)相互獨(dú)立，且具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng) n 很大時(shí)，它們的算術(shù)平均以很大的概率接近它們的數(shù)學(xué)期望。例 5．2：設(shè){ Xk}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，且 ,21,21210~2??????????? kkkk試證{ Xk}服從切比雪夫大數(shù)定律。（2）伯努利大數(shù)定律設(shè) μ 是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，p 是事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù) ε，有 .1lim?????????????nP伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 很大時(shí)，事件 A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即 .0li?????????????pn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。（3）辛欽大數(shù)定律（不要求存在方差）設(shè) X1，X 2，…，X n，…是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且 E（X n）=μ，則對(duì)于任意的正數(shù) ε 有 .11lim???????????????niinXP中心極限定理（1）列維－林德伯格定理設(shè)隨機(jī)變量 X1，X 2，…相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，則隨機(jī)變量),21(0)(,)(2????kXDEkk????nXYnk???1的分布函數(shù) Fn(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù) x，有 ??????? ???????????xtnknn )(li 21???或者簡(jiǎn)寫成： )1,0(/NnX???????此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。（2）棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量 X1，…X n均為具有參數(shù) n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,有?????????????????xtn )1(lim2?例 5．3：某車間有 200 臺(tái)車床，在生產(chǎn)時(shí)間內(nèi)由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。設(shè)開工率為 ，并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力1Kw，問應(yīng)供應(yīng)該車間多少瓦電力，才能以 %的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)。二項(xiàng)定理和泊松定理（1）二項(xiàng)定理若當(dāng) ，則),(,不 變時(shí) knpNM??knknKpPC??1().(??N可見，超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。例 5．4：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐（取名“甲罐” ）內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之比為 2：1，另一罐（取名“乙罐” ）內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為 2：1 。今任取一罐并從中取出 50 只球，查得其中有 30 只紅球和 20 只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍（2）泊松定理若當(dāng) ，則0,????np時(shí)????ekpPCnkn!)1( ).(?n其中 k=0，1，2，…，n，…。例 5．5：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為 ，若獨(dú)立地射擊 5000 次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的概率，用泊松分布來近似計(jì)算。第二節(jié) 練習(xí)題切比雪夫不等式例 5．6：利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差大于 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率。大數(shù)定律例 5．7：設(shè) X1，X 2，…，X n，…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，X n服從參數(shù)為 n 的指數(shù)分布（n=1,2, …） ，則下列中不服從切比雪夫大數(shù)定律的隨機(jī)變量序列是：（A）X 1，X 2，…，X n，…； （B）X 1，2 2X2，…，n 2Xn，…（C）X 1，X 2/2，…，X n/n，…； （D）X 1，2X 2，…，nX n，…中心極限定理例 5．8：設(shè) X1，X 2，…為獨(dú)立同分布序列，且 Xi(i=1,2,…)服從參數(shù)為 λ 的指數(shù)分布，則（A） （B）).(lim1xnPniin ????????????????? ).(lim1xnPniin ????????????????（C） （D）).(li1xnXniin??????????????? ).(li1xnXniin???????????????[ ] 其中 .dtex21.)(???????例 5．9：設(shè) X1，X 2，…，X n，…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，在下面條件下， ，…， ，…滿足列維－林德伯格中心極限定理的是：21（A） ； 1,0}{1???mqpPi（B） ；dtxXPi??????)1(}{2?（C） ；2122 6, ????????????mi cmc， 常 數(shù)?（D） 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。iXi例 5．10：設(shè)隨機(jī)變量 X1， X2，… Xn相互獨(dú)立， Sn=X1+X2+…+Xn，則根據(jù)列維林德伯格中心極限定理，當(dāng) n 充分大時(shí)， Sn近似服從正態(tài)分布，只要 X1， X2，…， Xn（A）有相同的數(shù)學(xué)期望。 （B）有相同的方差。（C）服從同一指數(shù)分布。 （D）服從同一離散型分布。 [ ]例 5．11：（1）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由 100 個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為 ，又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必須有 85 個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠度（即正常運(yùn)行的概率） ；（2）上述系統(tǒng)假如由 n 個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行，問 n 至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠度為？例 5．12：計(jì)算機(jī)做加法運(yùn)算時(shí)，要對(duì)每個(gè)加數(shù)取整。設(shè)所有的取整誤差相互獨(dú)立，并且均服從 U[， ]。如果將 1500 個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過 15 的概率。例 5．13：設(shè)有 1000 個(gè)人獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)行掩蔽體的概率為 ，以 95%概率估計(jì)，在一次行動(dòng)中（1）至少有多少人能夠進(jìn)入？ （2）至多有多少人能夠進(jìn)入？第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念第一節(jié) 基本概念總體、個(gè)體和樣本（1）總體與樣本總體 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或母體） ；而把總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體） 。在以后的討論中，我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量） 。例如單正態(tài)總體 X，用 ),(~2??N來表示我們把從總體中抽取的部分樣品 稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣nx,21?本容量，一般用 n 表示。為了使抽取的樣本很好地反映總體地信息，最常用的方法是“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”：（1）代表性。即每一樣品 Xi與總體 X 同分布；（2）獨(dú)立性。即樣品抽取互相間不影響。此時(shí)的樣本是 n 個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。注意：在泛指任一次抽取的結(jié)果時(shí)， 表示 n 個(gè)隨機(jī)變量（樣本） ；在具體的一x,21?次抽取之后， 表示 n 個(gè)具體的數(shù)值（樣本值） 。我們稱之為樣本的兩重性。x,21?例 6．1：總體：100 個(gè)球，60 個(gè)紅球，40 個(gè)白球；樣本：10 個(gè)球。（2）樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量設(shè) 為總體的一個(gè)樣本，稱nx,1?（ ）??nx,21?為樣本函數(shù)，其中 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果 中不包含任何未知參數(shù)，則稱 （? ?）為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。nx,21?統(tǒng)計(jì)量（1）常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值 .1??nix樣本方差 ???niixS122 .)(（與概率論中的方差定義不同）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 .)(12??niixS樣本 k 階原點(diǎn)矩 ?nikkM1.,?樣本 k 階中心矩 ????nikikx1.,32,)(?（二階中心矩 與概率論中的方差定義相同）?niiXS122)(*例 6．2：用測(cè)溫儀對(duì)一物體的溫度測(cè)量 5 次，其結(jié)果為（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求統(tǒng)計(jì)計(jì)量 ，S 2和 S 的觀察值X.,2sx和（2）統(tǒng)計(jì)量的期望和方差， ，??)(XEnD2)(?， ,2S221*S??其中 ，為二階中心矩。??niiX122)(三個(gè)抽樣分布（χ t、F 分布）（1）χ 2分布設(shè) n 個(gè)隨機(jī)變量 相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可以證明：它們的平方nX,21?和??niiXW12的分布密度為 ??????????????.0,0,2)(21uenuf u我們稱隨機(jī)變量 W 服從自由度為 n 的 分布，記為 W～ (n)，其中?2?.2022dxen???????????所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中的一個(gè)重要參數(shù)。分布滿足可加性：設(shè)2?),(2iinY??則 ).(~2112kkiZ????注意兩個(gè)結(jié)果：E(χ 2)=n，D(χ 2)=2n例 6．3：設(shè) 相互獨(dú)立同 N（0，2 2）分布，求常數(shù) a, b, c, d 使1021,X? 21098765423 )()()( XXdcbaY ?????服從 分布，并求自由度 m 。2?（2）t 分布設(shè) X，Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 ),(~),10(2nYNX?可以證明：函數(shù) T/?的概率密度為 2121)(?