【正文】 第一章 隨機(jī)事件和概率第一節(jié) 基本概念排列組合初步（1）排列組合公式 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。)!(nPnm?? 從 m 個(gè)人中挑出 n 個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。)!(Cn例 1．1：方程 的解是xxC76510??A． 4 B． 3 C． 2 D． 1例 1．2：有 5 個(gè)隊(duì)伍參加了甲 A 聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場(chǎng)，試問總共的場(chǎng)次是多少？(2)加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由 m 種方法完成，第二種方法可由 n 種方法來完成，則這件事可由 m+n 種方法來完成。(3)乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：mn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由 m 種方法完成，第二個(gè)步驟可由 n 種方法來完成，則這件事可由 mn 種方法來完成。例 1．3：從 5 位男同學(xué)和 4 位女同學(xué)中選出 4 位參加一個(gè)座談會(huì)，要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有幾種不同的選法？例 1．4：6 張同排連號(hào)的電影票，分給 3 名男生和 3 名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？例 1．5：用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則共有不同的涂法 A．120 種 B．140 種 C．160 種 D．180 種(4)一些常見排列①特殊排列 相鄰 彼此隔開 順序一定和不可分辨例 1．6：晚會(huì)上有 5 個(gè)不同的唱歌節(jié)目和 3 個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，問：分別按以下要求各可排出幾種不同的節(jié)目單？①3 個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；②3 個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開；③3 個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。例 1．7：4 幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？例 1．8：5 輛車排成 1 排，1 輛黃色，1 輛藍(lán)色，3 輛紅色，且 3 輛紅車不可分辨，問有多少種排法？②重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）例 1．9：5 封不同的信，有 6 個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？③對(duì)立事件例 1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？例 1．11：15 人中取 5 人，有 3 個(gè)不能都取，有多少種取法？例 1．12：有 4 對(duì)人，組成一個(gè) 3 人小組，不能從任意一對(duì)中取 2 個(gè)，問有多少種可能性？④順序問題例 1．13：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的種數(shù)？（有序）例 1．14：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的種數(shù)？（有序）例 1．15：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的種數(shù)？（無序）隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算（1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。例如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面；擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點(diǎn)、 “5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件；電話接線員在上午 9 時(shí)到 10 時(shí)接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布）；對(duì)某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離為 米、 米及 1 米到 3 米之間都是隨機(jī)事件（正態(tài)分布） 。在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：（1） 每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；（2） 任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用 來表示，例如 （離散） 。?n??,21基本事件的全體，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用 表示。?一個(gè)事件就是由 中的部分點(diǎn)（基本事件 ）組成的集合。通常用大寫字母?A， B， C， …表示事件，它們是 的子集。如果某個(gè) 是事件 A 的組成部分，即這個(gè) 在事件 A 中出現(xiàn)，記為 。如果在一? A?次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的 有 ，則稱在這次試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生。?如果 不是事件 A 的組成部分，就記為 。在一次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的 有 ，???則稱此次試驗(yàn) A 沒有發(fā)生。為必然事件，216。 為不可能事件。?（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件 A 的組成部分也是事件 B 的組成部分， （ A 發(fā)生必有事件 B 發(fā)生）： A?如果同時(shí)有 ， ，則稱事件 A 與事件 B 等價(jià)，或稱 A 等于 B： A=B。??A、 B 中至少有一個(gè)發(fā)生的事件： A B，或者 A+B。?屬于 A 而不屬于 B 的部分所構(gòu)成的事件，稱為 A 與 B 的差，記為 AB，也可表示為 AAB或者 ，它表示 A 發(fā)生而 B 不發(fā)生的事件。A、 B 同時(shí)發(fā)生： A?B，或者 AB。A B=216。，則表示 A 與 B 不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件 A 與事件 B 互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。?A 稱為事件 A 的逆事件，或稱 A 的對(duì)立事件，記為 。它表示 A 不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：????1iiA ，B?BA??例 1．16：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的?，F(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出后不再放回。寫出該試驗(yàn)的樣本空間 ?。若 A表示取到的兩只球是白色的事件， ?表示取到的兩只球是紅色的事件，試用 、 ?表示下列事件：（1）兩只球是顏色相同的事件 C，（2）兩只球是顏色不同的事件 D，（3）兩只球中至少有一只白球的事件 E。 例 1．17：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若 Ai表示第 i 次正面朝上，用 Ai表示下列事件：（1）前兩次正面朝上，第三次正面朝下的事件 ，（2）至少有一次正面朝上的事件 ，（3）前兩次正面朝上的事件 。概率的定義和性質(zhì)（1）概率的公理化定義設(shè) ?為樣本空間， A為事件，對(duì)每一個(gè)事件 A都有一個(gè)實(shí)數(shù) P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1176。 0≤P(A)≤1， 2176。 P(Ω) =13176。 對(duì)于兩兩互不相容的事件 1， 2，…有 ??????????11)(iii AP?常稱為可列（完全）可加性。則稱 P(A)為事件 A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1176。 ，??n??21,??2176。 。PPn1)()()??設(shè)任一事件 A，它是由 組成的，則有m?21,P(A)= =21?? )()(21mP???nm?基 本 事 件 總 數(shù)所 包 含 的 基 本 事 件 數(shù)例 1．18：集合 A 中有 100 個(gè)數(shù)，B 中有 50 個(gè)數(shù)，并且滿足 A 中元素與 B 中元素關(guān)系a+b=10 的有 20 對(duì)。問任意分別從 A 和 B 中各抽取一個(gè)，抽到滿足 a+b=10 的 a,b 的概率。例 1．19：5 雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對(duì)的概率為多少？例 1．20：在共有 10 個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地坐上 6 名與會(huì)者，則指定的 4 個(gè)座位被坐滿的概率是A． B． C． D． 413121例 1．21：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，放回，2 白的概率？（有序）例 1．22：3 白球，2 黑球，先后取 2 球，不放回，2 白的概率？（有序）例 1．23：3 白球，2 黑球，任取 2 球，2 白的概率？（無序）注意：事件的分解；放回與不放回；順序問題。五大公式（加法、減法、乘法、全概、貝葉斯）（1）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)當(dāng) P(AB)＝0 時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)例 1．24：從 0，1，…，9 這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率：A＝“三個(gè)數(shù)字中不含 0 或者不含 5”。（2）減法公式P(AB)=P(A)P(AB)當(dāng) B A 時(shí)，P(AB)=P(A)P(B)?當(dāng) A=Ω 時(shí)，P( )=1 P(B)例 1．25：若 P(A)=,P(B)=,P(AB)=，求 P(A+B)和 P( + ).AB例 1．26：對(duì)于任意兩個(gè)互不相容的事件 A 與 B， 以下等式中只有一個(gè)不正確，它是：(A) P(AB)=P(A) (B) P(AB)=P(A) +P( ∪ )1(C) P( B)= P( )P(B) (D)P[(A∪B)∩(AB)]=P(A) A(E)p[ ]=P(A) P( ∪ )B?AB（3）條件概率和乘法公式定義 設(shè) A、B 是兩個(gè)事件，且 P(A)0，則稱 為事件 A 發(fā)生條件下，事件 B 發(fā)生的)(PB條件概率，記為 。?)/(P)(A條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1P(B/A)?乘法公式： )/()(BA更一般地，對(duì)事件 A1，A 2，…A n，若 P(A1A2…An1)0，則有21P… n )|(|32P?…… 21|(APn… )1?n。例 1．27：甲乙兩班共有 70 名同學(xué)，其中女同學(xué) 40 名，設(shè)甲班有 30 名同學(xué)，而女生 15名，問在碰到甲班同學(xué)時(shí)，正好碰到一名女同學(xué)的概率。例 1．28：5 把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？①第一次打開；②第二次打開；③第三次打開。（4）全概公式設(shè)事件 nB,21? 滿足1176。 ? 兩兩互不相容， ),21(0)niBPi???，2176。?niBA1??，則有 )|())|()|()( 221 nnBAPBAPP???。此公式即為全概率公式。例 1．29：播種小麥時(shí)所用的種子中二等種子占 2％，三等種子占 ％，四等種子占1％，其他為一等種子。用一等、二等、三等、四等種子播種長(zhǎng)出的穗含 50 顆以上麥粒的概率分別為 ，，試求種子所結(jié)的穗含有 50 顆以上麥粒的概率。例 1．30：甲盒內(nèi)有紅球 4 只，黑球 2 只，白球 2 只；乙盒內(nèi)有紅球 5 只，黑球 3 只；丙盒內(nèi)有黑球 2 只，白球 2 只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是紅球的概率是：A． B． C． D． E． 例 1．31：100 個(gè)球，40 個(gè)白球，60 個(gè)紅球，不放回先后取 2 次，第 2 次取出白球的概率？第 20 次取出白球的概率？（5）貝葉斯公式設(shè)事件 1B， 2，…， n及 A滿足1176。 ， ，…， 兩兩互不相容， )(BiP0， ?1，2，…， n，2176。 ?niA1??， 0)(?P，則，i=1，2，…n。??nj jjiii BABP1)/())/(此公式即為貝葉斯公式。， （ i， 2，…， ） ，通常叫先驗(yàn)概率。 ， （ 1?i， 2，…， n） ，通)(i )/(ABPi常稱為后驗(yàn)概率。如果我們把 當(dāng)作觀察的“結(jié)果” ，而 1， 2，…， B理解為“原因” ，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。例 1．32：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌。設(shè) C表示被檢驗(yàn)者的確患有肝癌的事件， A表示診斷出被檢驗(yàn)者患有肝癌的事件，已知 ， ，)/(?)/(?CAP。現(xiàn)有一人被檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌，求此人的確患有肝癌的概率04.)(?CP|A。事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)（1）兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件 A、 B滿足 )()(BPA?，則稱事件 A、 B是相互獨(dú)立的（這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的） 。 若事件 、 相互獨(dú)立，且 0?，則有)()()(|( BPAPBA??所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。若事件 、 相互獨(dú)立，則可得到 與 、 A與 、 與 B也都相互獨(dú)立。 （證明）由定義，我們可知必然事件 ?和不可能事件 216。 與任何事件都相互獨(dú)立。 （證明） 同時(shí)，216。 與任何事件都互斥。（2）多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè) ABC 是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互獨(dú)立。對(duì)于 n 個(gè)事件類似。兩兩互斥→互相互斥。兩兩獨(dú)立→互相獨(dú)立？例 1．33：已知 ，證明事件 、 相互獨(dú)立。)/()/(ABP?B例 1．34：A，B，C 相互獨(dú)立的充分條件：（1）A ， B， C 兩兩獨(dú)立（2）A 與 BC 獨(dú)立例 1．35：甲，乙兩個(gè)射手彼此獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)各一次，甲射中的概率為 ，乙射中的概率為 ，求目標(biāo)沒有被射中的概率。（3）伯努利試驗(yàn)定義 我們作了 n次試驗(yàn)，且滿足? 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果， A發(fā)生或 不發(fā)生；? 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即 發(fā)生的概率每次均一樣；? 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn) 發(fā)生與否與其他次試驗(yàn) A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為 n重伯努利試驗(yàn)。用 p表示每次試驗(yàn) A發(fā)生的概率，則 A發(fā)生的概率為 qp??1，用 )(kPn表示 重伯努利試驗(yàn)中 出現(xiàn) )0(k?次的概率，nknqpPC??)(， n,21??。例 1．36：袋中裝有 α 個(gè)白球及 β 個(gè)黑球，從袋中任取 a+b 次球，每次放回，試求其中含 a個(gè)白球，b 個(gè)黑球的概率（a≤α，b≤β） 。例 1．37：做一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為 p，求在第 n 次成功之前恰失敗 m 次的概率。第二節(jié) 練習(xí)題事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)例 1．38：化簡(jiǎn) (A+B)(A+ )( +B)BA例 1．39： ABC=AB(C∪ B