【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 開(kāi)；③第三次打開(kāi)。⑥均勻分布設(shè)隨機(jī)變量 X的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù) )(xf在[a，b]上為常數(shù) k，即 其他，????,0)(kxf其中 k= ，ab?1則稱隨機(jī)變量 X在[a，b]上服從均勻分布，記為 X~U(a，b)。分布函數(shù)為 0， xa，,abx? a≤x≤b a≤x≤b????xdfF)()( 當(dāng) a≤x 1x2≤b 時(shí)，X 落在區(qū)間（ 21,x）內(nèi)的概率為P( ????211)()xxabfx xd?12。例 2．14：設(shè)電阻 R 是一個(gè)均勻在 900~1100Ω 的隨機(jī)變量，求 R 落在 1000~1200Ω 之間的概率。⑦指數(shù)分布設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 其中 0??，則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 ?的指數(shù)分布。X 的分布函數(shù)為 記住幾個(gè)積分： ,10?????dxe,202?????dxe)!1(01??????ndxen， ??0 )(x?)()(??例 2．15：一個(gè)電子元件的壽命是一個(gè)隨機(jī)變量 X。它的分布函數(shù) )(xF的含義是，該電子元件的壽命不超過(guò) x的概率。通常我們都假定電子元件的壽命服從指數(shù)分布。試證明服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量具有“無(wú)記憶性”： )|(000 xXPxP?????。⑧正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為， ????x，2)(1)(?????xexf其中 、 0?為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 ?、 ?的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為 ),(~2N。)(xf具有如下性質(zhì)：1176。 的圖形是關(guān)于 ??x對(duì)稱的；2176。 當(dāng) ??時(shí)， 為最大值；??21)(f1， xb。?)(xf,xe?? 0?,0, ?,?)(xF,1xe?? 0?,0 x0。3176。 )(xf以 o軸為漸近線。特別當(dāng) ?固定、改變 ?時(shí)， )(xf的圖形形狀不變，只是集體沿 ox軸平行移動(dòng)，所以 ?又稱為位置參數(shù)。當(dāng) 固定、改變 ?時(shí)， )(f的圖形形狀要發(fā)生變化，隨 ?變大，)(f圖形的形狀變得平坦，所以又稱 為形狀參數(shù)。 若 ),~2NX，則 X的分布函數(shù)為dtexFxt????2)(1)(???。 。參數(shù) 0?、 時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為 )1,0(~NX，其密度函數(shù)記為21)(xex????， ，??分布函數(shù)為 dtx????2)(。 )(x?是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。φ(x)和 Φ(x)的性質(zhì)如下：1176。 φ(x)是偶函數(shù)，φ(x)＝φ(x)；2176。 當(dāng) x=0 時(shí)，φ(x)＝ 為最大值；?213176。 Φ(x)＝1Φ(x)且 Φ(0)＝ 。如果 ~ ，則 ~ 。X),(2??N??X)1,0(N所以我們可以通過(guò)變換將 的計(jì)算轉(zhuǎn)化為 的計(jì)算，而 的值是可以通過(guò)查表xF)(x?)(x得到的。 ??????????????????1221)(xP分位數(shù)的定義。例 2．16：設(shè) ，求 ， ；求常數(shù) c，使 P(Xc))4,1(~NX)(??XP)(??XP=2P(X≤c)。例 2．17：某人需乘車到機(jī)場(chǎng)搭乘飛機(jī)，現(xiàn)有兩條路線可供選擇。第一條路線較短，但交通比較擁擠，到達(dá)機(jī)場(chǎng)所需時(shí)間 X（單位為分）服從正態(tài)分布 N（50，100） 。第二條路線較長(zhǎng)，但出現(xiàn)意外的阻塞較少，所需時(shí)間 X 服從正態(tài)分布 N（60，16） 。 （1）若有 70 分鐘可用，問(wèn)應(yīng)走哪一條路線？（2）若有 65 分鐘可用，又應(yīng)選擇哪一條路線？隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量 是隨機(jī)變量 的函數(shù) ，若 的分布函數(shù) 或密度函數(shù)YX)(gY?X)(xFX知道，則如何求出 的分布函數(shù) 或密度函數(shù) 。)(xfX )(yYyfY（1） 是離散型隨機(jī)變量X已知 的分布列為 ，???? ,)(21ni pxxP?顯然， 的取值只可能是 ，若 互不相等，則 的(XgY ?? ),(),(21nxgg)(ixgY分布列如下：，???? ,))(21ni ppxxyP?若有某些 相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的 相加作為 的概率。igiP)(ixg例 2．18：已知隨機(jī)變量 的分布列為X，31,0PX求 的分布列。2Y?（2） 是連續(xù)型隨機(jī)變量X先利用 X 的概率密度 fX(x)寫(xiě)出 Y 的分布函數(shù) FY(y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。例 2．19：已知隨機(jī)變量 ，求 的密度函數(shù)???????其 他,01)3(52)~xxf XYln?。)(yfY第二節(jié) 練習(xí)題常見(jiàn)分布例 2．20：一個(gè)袋中有 5 只球，編號(hào)為 1，2，3，4，5，在其中同時(shí)取 3 只，以 X 表示取出的 3 個(gè)球中的最大號(hào)碼，試求 X 的概率分布。例 2．21：設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量Ｘ的密度函數(shù)為 f(x)=A ，x0,則 A= 。27xe?例 2．22： 是概率密度函數(shù)的充分條件是：)(21xff?（1） 均為概率密度函數(shù)),(x（2） 1)(021???xff例 2．23：一個(gè)不懂英語(yǔ)的人參加 GMAT 機(jī)考，假設(shè)考試有 5 個(gè)選擇題，每題有 5 個(gè)選項(xiàng)（單選） ，試求：此人答對(duì) 3 題或者 3 題以上（至少獲得 600 分）的概率？例 2．24：設(shè)隨機(jī)變量 X~U（ 0，5） ，求方程 有實(shí)根的概率。0242??Xx例 2．25：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ???????其 他,0]6,3[,921,1)(xxf其使得 ，則 k 的取值范圍是 。32)(??XP例 2．26：已知某種電子元件的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，若它工作了 900 小時(shí)而未損壞的概率是 ，?eA． 990 小時(shí) B． 1000 小時(shí) C． 1010 小時(shí) D． 1020 小時(shí)例 2．27：設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 的 概 率 密 度 為 ： 則 其 分 布 函 數(shù) F(x)是)(,21)(| ?????xexx?（A） ???????.0,1,)(xexFx（B） ????????.021,)(xexxx（C） ???????.0,1,)(xxFx（D） [ ]???????????.1,1,0,2,.,1)(xexxFxx例 2．28：X~N(1,4)，Y~N(2,9)，問(wèn) P(X≦1)和 P(Y≧5)誰(shuí)大？例 2．29：X~N(μ,σ 2)，μ≠0，σ0，且 P( )= ，則 α＝？?????x21函數(shù)分布例 2．30：設(shè)隨機(jī)變量 X 具有連續(xù)的分布函數(shù) F(x)，求 Y=F（X ）的分布函數(shù) F（y） 。（或證明題：設(shè) X 的分布函數(shù) F(x)是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量 Y=F（X）在區(qū)間（0，1）上服從均勻分布。 ）例 2．31：設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x)，則 Y=2lnF(X)的概率分布密度函數(shù) fY(y)=.例 2．32：設(shè) X~U ，并且 y=tanx，求 Y 的分布密度函數(shù) f(y)。???????2,?例 2．33：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量 Y=min{X, 2}的分布函數(shù)（A）是連續(xù)函數(shù) （B）至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)（C）是階梯函數(shù) （D）恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)第三章 二維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié) 基本概念二維隨機(jī)變量的基本概念（1）二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布及邊緣分布如果二維隨機(jī)向量 （X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y）時(shí)，則稱 為離? ?散型隨機(jī)量。理解：（X=x,Y=y）≡（X=x∩Y=y）設(shè) =（X，Y）的所有可能取值為 ，且事件{ = }的概? ),21,)(??jiyxji ?),(jiyx率為 pij,稱 ),21,()},(){( ??jipyxPji為 =（X，Y）的分布律或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布?表來(lái)表示： YX y1 y2 … yj … pix1 p11 p12 … p1j … p1x2 p21 p22 … p2j … p2??????xi pi1 … … pipj p1 p2 … pj … 1這里 pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1） pij≥0（i,j=1,2,…） ；（2） .1??ijij對(duì)于隨機(jī)向量（X，Y） ，稱其分量 X（或 Y）的分布為（X，Y）的關(guān)于 X（或 Y）的邊緣分布。上表中的最后一列（或行）給出了 X 為離散型，并且其聯(lián)合分布律為，),21,()},(),{( ???jipyxPji則 X 的邊緣分布為 ；??? ijjiiY 的邊緣分布為 。),()( ?yYijiii例 3．1：二維隨機(jī)向量（X，Y）共有六個(gè)取正概率的點(diǎn)，它們是：（1，1） ， （2，1） ，（2，0） ，2，2） ， （3，1） ， （3，2） ，并且（X，Y）取得它們的概率相同，則（X，Y）的聯(lián)合分布及邊緣分布為 YX 1 0 1 2 p11 60 0 0 62 0 23 0 0 6131pj 316131（2）二維連續(xù)型隨機(jī)向量聯(lián)合分布密度及邊緣分布對(duì)于二維隨機(jī)向量 ，如果存在非負(fù)函數(shù) ，),(YX?? ),)(, ??????yxyf使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域 D，即 D={(X,Y)|axb,cyd}有??DdxyfYXP,),(}),{(則稱 為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱 f(x,y)為 =（X，Y）的分布密度或稱為 X 和 Y 的聯(lián)合分??布密度。分布密度 f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1） f(x,y)≥0。（2） ?????.1),(dxyf一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)向量，并且其聯(lián)合分布密度為 f(x,y)，則 X 和 Y 的邊緣分布密度為 .),()(),()( ?????????dxyfyfdxff YX，注意：聯(lián)合概率分布→邊緣分布例 3．2：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為 ????????其 他,0,0,),()43( yxCeyxfyx試求：（1）常數(shù) C；（2）P{0X1, 0Y2}。（3）X 與 Y 的邊緣分布密度 ).(,yfxYX（3）條件分布當(dāng)（X，Y）為離散型，并且其聯(lián)合分布律為 ),21,()},(),{( ???jipyxPji在已知 X=xi的條件下，Y 取值的條件分布為 ,)|(?ijijpXY其中 pi?, p?j分別為 X，Y 的邊緣分布。當(dāng)（X，Y）為連續(xù)型隨機(jī)向量，并且其聯(lián)合分布密度為 f(x,y)，則在已知 Y=y 的條件下，X 的條件分布密度為)(,)|(yfxfY?在已知 X=x 的條件下，Y 的條件分布密度為 )(,)|(xfyfX其中 分別為 X，Y 的邊緣分布密度。0)(,)(?yfxfYX例 3．3： 設(shè)二維隨向量（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y 2 5 8 求 （1）X 與 Y 的邊緣分布；（2）X 關(guān)于 Y 取值 y1= 的條件分布；（3）Y 關(guān)于 X 取值 x2=5 的條件分布。（4）常見(jiàn)的二維分布①均勻分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為 ??????其 他,0),(1),(DyxSyxfD其中 SD為區(qū)域 D 的面積，則稱（X，Y）服從 D 上的均勻分布，記為（X，Y）～U（D） 。例如圖 、圖 和圖 。y1 D1O 1 x圖 y1D21 O 2 x圖 ydcO a b x圖 例 3．4： 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域 D 上服從均勻分布，其中 },1||,:|),{(????yxyxD求 X 的邊緣密度 fX(x)畫(huà)線觀察積分上下限。②正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量（X，Y）的分布密度函數(shù)為 ,12),( 2212122 )()(2 ?????? ????????????????? ????????yxxeyxf其中 ，共 5 個(gè)參數(shù)，則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布，|,0,1 ???記為（X，Y）～N（ ).,21,?由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布，反推則錯(cuò)。即 X～N（ ).(~),2,21???NY（5）二維隨機(jī)向量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,y,二元函數(shù) },{),(yYxXPyxF??稱為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)})(,)(|),{( 2121 yYxX????????D3F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1） 。1),(0?yxF（2）F（x,y）分別對(duì) x 和 y 是非減的，即當(dāng) x2x1時(shí)，有 F（x 2,y）≥F(x 1,y)。當(dāng) y2y1時(shí)，有 F(x,y2) ≥F(x,y 1)。（3）F（x,y）分別對(duì) x 和 y 是右連續(xù)的，即 )。0,(),(,0(),( ????xFy（4） .1),(,?????隨機(jī)變量的獨(dú)立性