【正文】 分布滿足可加性：設(shè)2?),(2iinY??則 ).(~2112kkiZ????注意兩個(gè)結(jié)果：E(χ 2)=n，D(χ 2)=2n例 6．3：設(shè) 相互獨(dú)立同 N（0，2 2）分布，求常數(shù) a, b, c, d 使1021,X? 21098765423 )()()( XXdcbaY ?????服從 分布，并求自由度 m 。nx,21?統(tǒng)計(jì)量（1）常用統(tǒng)計(jì)量樣本均值 .1??nix樣本方差 ???niixS122 .)(（與概率論中的方差定義不同）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 .)(12??niixS樣本 k 階原點(diǎn)矩 ?nikkM1.,?樣本 k 階中心矩 ????nikikx1.,32,)(?（二階中心矩 與概率論中的方差定義相同）?niiXS122)(*例 6．2：用測(cè)溫儀對(duì)一物體的溫度測(cè)量 5 次，其結(jié)果為（℃）：1250，1265，1245，1260，1275，求統(tǒng)計(jì)計(jì)量 ，S 2和 S 的觀察值X.,2sx和（2）統(tǒng)計(jì)量的期望和方差， ，??)(XEnD2)(?， ,2S221*S??其中 ，為二階中心矩。（2）樣本函數(shù)與統(tǒng)計(jì)量設(shè) 為總體的一個(gè)樣本，稱nx,1?（ ）??nx,21?為樣本函數(shù)，其中 為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。我們稱之為樣本的兩重性。此時(shí)的樣本是 n 個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。即每一樣品 Xi與總體 X 同分布；（2）獨(dú)立性。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣nx,21?本容量，一般用 n 表示。在以后的討論中，我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量） 。如果將 1500 個(gè)數(shù)相加，求誤差總和的絕對(duì)值超過 15 的概率。 [ ]例 5．11：（1）一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)由 100 個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行期間每個(gè)元件損壞的概率為 ，又知為使系統(tǒng)正常運(yùn)行，至少必須有 85 個(gè)元件工作，求系統(tǒng)的可靠度（即正常運(yùn)行的概率） ；（2）上述系統(tǒng)假如由 n 個(gè)相互獨(dú)立的元件組成，而且又要求至少有 80%的元件工作才能使整個(gè)系統(tǒng)正常運(yùn)行，問 n 至少為多大時(shí)才能保證系統(tǒng)的可靠度為？例 5．12：計(jì)算機(jī)做加法運(yùn)算時(shí)，要對(duì)每個(gè)加數(shù)取整。（C）服從同一指數(shù)分布。iXi例 5．10：設(shè)隨機(jī)變量 X1， X2，… Xn相互獨(dú)立， Sn=X1+X2+…+Xn，則根據(jù)列維林德伯格中心極限定理，當(dāng) n 充分大時(shí)， Sn近似服從正態(tài)分布，只要 X1， X2，…， Xn（A）有相同的數(shù)學(xué)期望。第二節(jié) 練習(xí)題切比雪夫不等式例 5．6：利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之差大于 2 倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率。今任取一罐并從中取出 50 只球，查得其中有 30 只紅球和 20 只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的(A) 154 倍 (B)254 倍 (C)798 倍 (D)1024 倍（2）泊松定理若當(dāng) ，則0,????np時(shí)????ekpPCnkn!)1( ).(?n其中 k=0，1，2，…，n，…。二項(xiàng)定理和泊松定理（1）二項(xiàng)定理若當(dāng) ，則),(,不 變時(shí) knpNM??knknKpPC??1().(??N可見，超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。（2）棣莫弗－拉普拉斯定理設(shè)隨機(jī)變量 X1，…X n均為具有參數(shù) n, p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù) x,有?????????????????xtn )1(lim2?例 5．3：某車間有 200 臺(tái)車床，在生產(chǎn)時(shí)間內(nèi)由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。（2）伯努利大數(shù)定律設(shè) μ 是 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)，p 是事件 A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù) ε，有 .1lim?????????????nP伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n 很大時(shí)，事件 A 發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即 .0li?????????????pn這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。大數(shù)定律（1）切比雪夫大數(shù)定律（要求方差有界）設(shè)隨機(jī)變量 X1，X 2，…相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù) C 所界：D（ Xi）C(i=1,2,…),則對(duì)于任意的正數(shù) ε，有 .1)(1lim???????????????niiniin XEP特殊情形：若 X1，X 2，…具有相同的數(shù)學(xué)期望 E（X I）=μ，則上式成為 .11lim???????????????niinP或者簡(jiǎn)寫成： ??.li?Xn切比雪夫大數(shù)定律指出，n 個(gè)相互獨(dú)立，且具有有限的相同的數(shù)學(xué)期望與方差的隨機(jī)變量，當(dāng) n 很大時(shí)，它們的算術(shù)平均以很大的概率接近它們的數(shù)學(xué)期望。第五章 大數(shù)定律和中心極限定理第一節(jié) 基本概念切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量 X 具有數(shù)學(xué)期望 E（X）=μ，方差 D（X）=σ 2，則對(duì)于任意正數(shù) ε，有下列切比雪夫不等式 2)(??????P切比雪夫不等式給出了在未知 X 的分布的情況下，對(duì)概率 )(的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是 3 元，每件產(chǎn)品的售價(jià)為 9 元，沒有售出的產(chǎn)品以每件 1 元的費(fèi)用存入倉(cāng)庫(kù)。例 4．28：已知（X,Y）的聯(lián)合分布律為X\Y 1 0 11 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8試求（1）E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)；（2）Cov(X,Y)， ；（3）判斷 X,Y 是否相關(guān)？XY?是否獨(dú)立？例 4．29：已知隨機(jī)變量 X 和 Y 分別服從正態(tài)分布 N（1，3 2）和 N（0，4 2） ，且 X 與 Y 的相關(guān)系數(shù) ，設(shè)21??XY?.23Z?（1）求 Z 的數(shù)學(xué)期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2）求 X 與 Z 的相關(guān)系數(shù) ；（3）問 XXY?與 Z 是否相互獨(dú)立？為什么？例 4．30：設(shè) A，B 是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量 ?????,1否 則 出 現(xiàn)若 AX?????.,1,否 則 出 現(xiàn)若 BY試證：“X,Y 不相關(guān)”與“A,B 獨(dú)立”互為充分必要條件。獨(dú)立和不相關(guān)例 4．27：設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，則 D（X+Y）=D（X）+D（Y）是 X 和 Y（ ） 。例 4．25：設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 的聯(lián)合分布在以點(diǎn)（0，1） ， （1，0） ， （1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量 U=X+Y 的方差。??nii1),(2??例 4．23：設(shè)二維隨機(jī)向量（X，Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù) ????????,0,5102),()5(其 他 yxxeyfy則 E（XY）= 。二維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征例 4．21：設(shè) X～N（1，2） ，Y～N（2，4）且 X，Y 相互獨(dú)立，求 Z=2X+Y3 的分布密度函數(shù)f(z)。求一天中調(diào)整機(jī)器次數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。試求 E(X)和 D(X)。設(shè)每位乘客在每一個(gè)車站下車是等可能的并且各旅客是否下車相互獨(dú)立。例 4．17：將 10 封信放入到 9 個(gè)信箱中去，設(shè)每封信落入各個(gè)信箱是等可能的，求有信的信箱數(shù) X 的數(shù)學(xué)期望。?XY?（2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望 ?????????－ － 為 連 續(xù) 型 。⑤D(XY)=D(X)+D(Y).例 4．15：設(shè) D（X）=25，D（Y）=36， 。③E(XY)=E(X)E(Y)。0?XY?（ii） 若（X，Y）～N（ ） ，則 X 與 Y 相互獨(dú)立的充要條件是 ，??,212 0??即 X 和 Y 不相關(guān)。XY??| |≤1，當(dāng)| |=1 時(shí)，稱 X 與 Y 安全相關(guān)：?完全相關(guān) ?????時(shí) ，負(fù) 相 關(guān) ， 當(dāng) 時(shí) ，正 相 關(guān) ， 當(dāng) 1?而當(dāng) 時(shí)，稱 X 與 Y 不相關(guān)。(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)。Y X?Y協(xié)方差有下面幾個(gè)性質(zhì)：(i) cov (X, Y)=cov (Y, X)。例 4．14：設(shè)（X，Y）服從區(qū)域 D={（x,y）|0 ≤x≤1, 0≤y≤1} 上的均勻分布，求E（X+Y） ，E（XY） ，E （XY） ，D （X+Y ） ，D（2X3Y） 。例 4．11：在上例中，若將抽樣方式改為不放回抽樣，則結(jié)果又是如何？例 4．12：設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 λ＞0 的泊松分布，且已知 E[（X1 ） （X2）]=1，求λ。)(XDEY??例 4．8：設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 ,)(21)(| ?????xexfx求 E（X）及 D（X） 。,(2121??類似的，n 個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布 。E(X+Y)=E(X)+E(Y)，無(wú)條件成立。Y)=D(X)+D(Y) 177。例 4．5：設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為X 2 0 2 P 試求：（1）EX 2 （2）X 2 的分布律（2）方差D(X)=E[XE(X)]2，方差，標(biāo)準(zhǔn)差)()(D??①離散型隨機(jī)變量 ??kkpXExX2][②連續(xù)型隨機(jī)變量 ?????dxfxD)(][)(2③方差的性質(zhì)（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)E2(X)（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X 和 Y 獨(dú)立； 充要條件：X 和 Y 不相關(guān)。③數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， ???niniiiXECE11)()(（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分條件：X 和 Y 獨(dú)立； 充要條件：X 和 Y 不相關(guān)。求每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)。例 4．1：100 個(gè)考生，100 分 10 人，90 分 20 人，80 分 40 人，70 分 20 人，60 分 10 人，求期望。例 3．22：設(shè) X 與 Y 相互獨(dú)立，且都服從（0,a）上的均勻分布，試求 的分布密度YXZ?與分布函數(shù)。21)0(??? 。簡(jiǎn)單函數(shù)的分布例 3．19：設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 與 Y 的分布律為 ，.1iPX 求隨機(jī)變量（1）Z=X+Y；（2）Z=XY；（3）Z=max（X，Y）的分布律。例 3．14：設(shè)（X,Y）只在曲線 y=x2與 x=y2所圍成的區(qū)域 D 中不為零且服從均勻分布，試求：（1） （X,Y）的聯(lián)合密度；（2）邊緣密度 ；（3）P（Y≥X）)(,yxYX?例 3．15：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為??????.,0,10,|,1),(其 他 xyyx?試求： （1）條件概率密度 ；)|(|（2） ).0(?YXP例 3．16：設(shè)隨機(jī)變量 在區(qū)間 上服從均勻分布，在 的條件下，隨1,( )10(??xX機(jī)變量 在區(qū)間 上服從均勻分布，求Y),0(x(Ⅰ) 隨機(jī)變量 和 的聯(lián)合概率密度；X(Ⅱ) 的概率密度； (Ⅲ) 概率 ．}1{??P隨機(jī)變量的獨(dú)立性例 3．17：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布密度為 ???????.,0,10),(),(其 他 xyyxCyf（1） 求 C；（2） 求 X，Y 的邊緣分布；（3） 討論 X 與 Y 的獨(dú)立性；（4） 計(jì)算 P（X+Y ≤1） 。設(shè)以 X 表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以 Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)。第二節(jié) 練習(xí)題二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)例 3．11：如下四個(gè)二元函數(shù)，哪個(gè)不能作為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)？（A） ???? ??????.,0 ,0,),1(),(1 其 他 yxeyxFyx（B） .3arctn2arctn2),(2 ??????????????yx??（C） ????????.1,0,1),(3yxyxF（D） [ ]??????., ,0,2),(4 其 他 yxyxx例 3．12：設(shè)某班車起點(diǎn)站上車人數(shù) X 服從參數(shù)為 的泊松分布，每位乘客在中途)0(??下車的概率為 p(0p1)，并且他們?cè)谥型鞠萝嚺c否是相互獨(dú)立的，用 Y 表示在中途下車的人數(shù)，求：（1） 在發(fā)車時(shí)有 n 個(gè)乘客的條件下，中途有 m 人下車的概率；（2） 二維隨機(jī)向量（X，Y）的概率分布。2121,???例 3．9：設(shè) X 和 Y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且 X～U（0，1） ，Y～e（1） ，求 Z=X+Y 的分布密度函數(shù) fz(z)。 (iii) Z3=XY 的分布列。簡(jiǎn)單函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的和 Z=X+Y①離散型：例 3．8：設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布為X Y 0 1 20 12611 316求(i)Z 1=X+Y。例 3．7：f(x,y)= ????其 他,0122yxAy（4）二維正態(tài)分布 ,12),( 2212122 )()(2 ?????? ????????????????? ????????yxxeyxfρ=0（5）隨機(jī)變量函數(shù)的獨(dú)立性若 X 與 Y 獨(dú)立，h,g 為連續(xù)函數(shù)，則：h（X）和 g（Y）獨(dú)立。1 60 0 0 62 0 23 0 0 6131p（3）F（x,y）分別對(duì) x 和 y 是右連續(xù)的，即 )。1),(0?yxF（2）F（x,y）分別對(duì) x 和 y 是非減的，即當(dāng) x2x1時(shí)，有 F（x 2,y）≥F(x 1,y)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函