【正文】 個10年期的歐洲美元期貨報價為92。？解：考慮a=, =，=，=。=，=%.期貨利率按季度計復利是年率6%，按連續(xù)復利計算是年率6%，=%Ch18 解釋遠期開始期權和任選期權之間的差別。解：遠期開始期權是現(xiàn)在支付期權費，但是在未來的某個時刻開始，執(zhí)行價格與期權合約開始時標的資產(chǎn)的價格相等。 任選期權是經(jīng)過一段指定的時期后，持有人能選擇期權，或者是看漲期權或者是看跌期權。 描述具有同樣有效期的一個回望期權看漲期權和一個回望期權看跌期權的組合的收益狀態(tài)圖。解：一個回望期權看漲期權的收益為 —一個回望期權看跌期權的收益為 —因此具有同樣有效期的一個回望期權看漲期權和一個回望期權看跌期權的組合的收益為 —。 考慮某個任選期權，持有者有權在兩年期限內(nèi)任何時候在歐式看漲期權和歐式看跌期權之間進行選擇。不考慮所做出的選擇，看漲期權和看跌期權的到期日和執(zhí)行價格是相同的。在兩年有效期期末之前做出選擇是最佳的嗎？請解釋原因。解：在兩年有效期期末之前做出選擇不是最佳的。因為對于歐式期權，不能提前執(zhí)行，只能在到期日執(zhí)行，所以在期限內(nèi)的任何時候做出選擇，所形成的現(xiàn)金流都是一樣的。而對于美式期權如果規(guī)定了不能提前執(zhí)行，則這個結論也是成立的。但是如果沒有的，就是說美式看漲期權或者看跌期權的選擇一旦做出，就可以執(zhí)行期權，則這個結論就不成立，例如：如果股票價格在前六個月跌到了很低的水平，則持有者就可能選擇看跌期權，并且立即執(zhí)行。 假設C1 和P1是執(zhí)行價格為 X，有效期為T的歐式平均價格看漲期權和歐式平均價格看跌期權的價格，C2和P2是有效期為T的歐式平均執(zhí)行價格看漲期權和歐式平均執(zhí)行價格看跌期權的價格，C3和P3是執(zhí)行價格為X，有效期為T的常規(guī)歐式看漲期權和常規(guī)歐式看跌期權的價格。證明： +— = + — 解：各期權的收益如下： ：MAX（0 ， —） ：MAX（0， —）：MAX（0， —） ：MAX（—） ：MAX（ —，0） ：MAX（—，0）有 —的收益為 — ；—的收益為 — ； —的收益為—，故有— + — = — 得到 + —= + — 課文中給出了某個特殊的任選期權分解成一個有效期為T2的看漲期權和一個有效期為T1的看跌期權的推導過程。請給出另外一種將任選期權分解為一個有效期為T1的看漲期權和一個有效期為T2的看跌期權。解：由看漲期權和看跌期權之間的平價關系+ =+得到 MAX (, ) = MAX ［ , + — ］ = + MAX［0, —］由此可得，任選期權可以分解為一份執(zhí)行價格為，到期日為 的看漲期權和 份執(zhí)行價格為, 到期日為 的看跌期權。 。第一個適用于障礙H小于或等于執(zhí)行價格X的情況。第二個適用于障礙H大于或等于執(zhí)行價格X的情況。證明；當H=X時，兩個公式是一樣的。解；當≥時，有 = （）—（—）— （/ ）（）+X （—） 其中 = (/ ) / , = ( / ) / 因為=(— +/2) / 此時將=帶入有=，可得=— （）+ （—）當≤時， 有 =（）— （ —），其中 = ［/（）］/ +，= (—+/2) / 因為=— ，=— （）+ （—）當= 時，有= 因此，兩個公式是一樣的。 當障礙大于執(zhí)行價格時，為什么下降敲出看跌期權價值為零？請解釋。解：只有資產(chǎn)價格小于執(zhí)行價格，期權才是有價值的，但是在這種情況下，已經(jīng)達到障礙水平，期權已經(jīng)作廢，所以下降敲出看跌期權價值為零。 利用三時間步長樹圖估算某貨幣的美式回望看漲期權的價值，國內(nèi)無風險利率為年率5%，國外無風險利率為年率8%，匯率波動率為年率15%，有效期為18個月。解：=，=，=，=，=，△= 可得 = =，= 1/= ， = = ，= (—) / (—) = 1— = 美式回望看漲期權的收益為—。其圖如下： 在以上的圖中，在每個結點處，上面的數(shù)字表示匯率，中間的數(shù)字表示最小匯率，下面的數(shù)字表示期權的價值。由圖可得。 。解： 圖形如下 對于（）=（）/（）, （）表示到時間t為止的最小匯率，（）表示即期匯率。我們以外幣計價，=。 利用三時間步長樹圖估算基于不付紅利股票幾何平均價格的美式回望看漲期權的價格，其中股票價格為＄40，執(zhí)行價格為＄40，無風險利率為年率10%，波動率為年率35%，有效期為3個月。計算幾何平均是從今天開始直到期權到期日。解： = 40，X= 40，= = = △= , 由此可得：= = ， =1/= ， = = ， P= (—) / (—) = 1—= 圖形如下： 期權的收益為40— ，表示幾何平均，在每個結點，上面的數(shù)字代表匯率，中間的數(shù)字代表幾何平均，下面的數(shù)字代表期權的價值。由圖形可得期權的價值為＄ 增長。證明如果g小于無風險利率為年率為r, 則提前執(zhí)行該看漲期權決不是最優(yōu)。解：這個命題和第7章的不付紅利股票的常規(guī)期權相似，考慮這樣的一個證券組合，包含一個期權和價值為執(zhí)行價格現(xiàn)值的一比現(xiàn)金，最初的現(xiàn)金頭寸為，到時刻t（0≤t≤T）現(xiàn)金頭寸增長到 =因為＞ ，所以 小于 ，因此未達到執(zhí)行價格，其結果是如果提前執(zhí)行期權，證券組合的最終價值將會小于 。在時刻，現(xiàn)金頭寸是 ， 這就要求執(zhí)行期權，如果在時刻執(zhí)行期權，組合的最終價值就是MAX（， ），同時也說明了至少是 ，這意味著提前執(zhí)行不可能是最優(yōu)的。，假設執(zhí)行價格比期權開始時刻的股票價格還要高10%解：假如基于不付紅利股票的期權的執(zhí)行價格比股票的價格高10%，則期權的價值與股票的價格成一定的比例。這和遠期開始期權是一樣的，如果表示期權開始，表示期權到期，則這個期權與現(xiàn)在開始，期限為 —。，A（t）遵循什么樣的過程？其中A（t）是零時刻和時刻之間股票價格的算術平均值。解：假設我們從0時刻開始，（+△）與（）有如下關系： （+△）（+△）= （）+ （）△其中，（）表示在時刻股票的價格, △的高階項被忽略不計，有（+△）= （）［1—△ / ］+ （）△/當△趨近于0時，（）= ［（）—（）］/ （）的過程是一個隨機漂移，沒有項，隨著時間的推移，在下一個微小的時間段的變化對平均值只是一個二階的影響，如果等于，平均值就不漂移，如果大于，則平均值就向上漂移，如果小于，則平均就向下漂移。？解：一個亞式期權的收益隨著時間的推移，會變得越來越穩(wěn)定，當快要接近到期日時，Delta趨近于0，這就使得Delta對沖非常容易。但是對于障礙期權，由于Delta非連續(xù)性，當標的物資產(chǎn)的價格接近于障礙水平時，Delta對沖就存在問題。當前黃金和白銀的價格分別為＄380和＄4，無風險利率為年率10%，每個商品價格的波動率為10%，每個商品價格的波動率為20%，忽略存儲成本。解：期權的價值如下： （）— （） 其中，=［(/ ) +(—+/2 )T］/, = —, =因為= 400，= 380， = 0， =0，=1，=，= ，=，所以可得期權價格為400（）—380（）=？假設該期貨合約到期日與期權到期日相同。解：不相等，因為在期權的有效期內(nèi)，當期貨價格比即期價格高時，存在這樣的可能，即期價格達到了障礙水平，而期貨價格卻并沒有達到。（A）為什么基于某個看漲期權的歐式看漲期權與基于某個看漲期權的歐式看跌期權之間存在看跌期權—看漲期權的平價關系？證明在課文中的給出的公式滿足這個關系式。（B）為什么基于某個看跌期權的歐式與基于某個看跌期權的歐式看跌期權之間存在看跌期權—看漲期權的平價關系？證明在課文中給出的公式滿足這個要求。解：（A）由看漲期權—看跌期權的關系得：+ =+ 其中是基于看漲期權的看漲期權價格，是基于看漲期權的看跌期權的價格，（, , ）= ()— (,—,—)= ()— (— , , —)在附錄11C中，N（）=1— N (— ), 由此可得，–= （）— （）— 因為 = （）— （）所以可得– = — ,與公式一致。（B）看跌期權—看漲期權的關系如下：+ = + 其中是基于看跌期權的看漲期權的價格，是基于看跌期權的看跌期權的價格，（, , ）= ()— (,—,—) = (b)— (—a, , —)在附錄11C中，（）= 1— (—), 由此可得，–= — (—) + (— )—X1 因為= — (—) + (—)，所以可得， —= — ， 與公式一致 在計算最小值時，我們增加觀測資產(chǎn)價格的頻率，某個回望看漲期權的價格是增加了，還是減少了？解： 增加了，因為當我們增加觀測資產(chǎn)價格的頻率時，我們觀察到一個更小的最小值，這將增加回望看漲期權的價值。 在判斷障礙是否達到時，我們增加觀測資產(chǎn)價格的頻率，某個下降敲出看漲期權的價格是增加了，還是減少了？如果是下降敲入看漲期權，同樣問題的答案又如何？解： 當我們減少觀測資產(chǎn)價格的頻率時，資產(chǎn)價格達到障礙水平的機會越來越小，并且下降敲出看漲期權的價值上升。同樣的原因，下降敲進看漲期權的價值下降。根據(jù)Broadie、 Glasserman 及Kou在文中所提到的調整可得，當減少對資產(chǎn)價格的觀測頻率，變動障礙水平，這樣就增加了下降敲出期權的價格，減少了下降敲進期權的價格。？對美式看漲期權是否有相同結果呢？解：當障礙水平達到時，下降敲出期權是沒有價值的，但下降敲進期權的價值與常規(guī)期權的價值一樣。同樣，如果障礙水平?jīng)]有達到，下降敲進期權是沒有價值的，但下降敲出期權的價值和常規(guī)期權的價值一樣。這就是為什么一個下降敲出看漲期權加上一個下降敲進看漲期權是一個常規(guī)期權。對于美式看漲期權，這個結論并不是成立的。，在T時刻支付MAX（—，0），其中 是從時刻t0到時刻T所計算的平均股票價格，X是執(zhí)行價格。該股票不支付紅利。（A）解釋為什么當平均價格是幾何平