【正文】 Δ*A+ΔBS—Δ*E，股價(jià)的波動(dòng)率是隨機(jī)的。 模擬2：保持股價(jià)波動(dòng)率為常數(shù)，使用樣本 模擬3：使用樣本和。解答：不妨設(shè)股價(jià)的樣本空間為。假設(shè)起期貨價(jià)格（每磅美元數(shù)）如下所示： 3個(gè)月 6個(gè)月 9個(gè)月 12個(gè)月 銅價(jià)的波動(dòng)率為年率40%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率6%。解： ，只是由于因?yàn)樽詈蠊?jié)點(diǎn)處該衍生證券的價(jià)值與銅價(jià)的平方（即x2）相等，而其它結(jié)點(diǎn)處按通常方法計(jì)算，故最終得出的衍生證券的價(jià)值也不相同，： 。那么，可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)格的邊界條件是什么？假設(shè)利率為常數(shù)，你如何用有限差分方法對(duì)該可轉(zhuǎn)換債券進(jìn)行估值？假設(shè)該公司無(wú)違約風(fēng)險(xiǎn)。在交易所內(nèi)交易的利率期權(quán)提供了什么樣的頭寸來(lái)對(duì)沖利率的變動(dòng)？解：3個(gè)月后有500萬(wàn)美元用來(lái)投資，希望保證獲得一定的利率水平，既該公司當(dāng)心利率下降，對(duì)應(yīng)的利率工具的價(jià)格上升，故在交易所內(nèi)交易的利率期權(quán)提供了多頭頭寸來(lái)對(duì)沖利率的變動(dòng)：通過(guò)購(gòu)買利率期權(quán)，鎖定3個(gè)月后的投資成本。：對(duì)某個(gè)特定的抵押擔(dān)保證券提供的經(jīng)過(guò)期權(quán)調(diào)整的差價(jià)是155個(gè)基本點(diǎn)。每年支付一次。盈虧在這些利率出現(xiàn)后的90天發(fā)生。債券現(xiàn)價(jià)為910美元，執(zhí)行價(jià)格為900美元，債券價(jià)格的波動(dòng)率為年率10%，3個(gè)月后該債券將付息35美元。 為指在其它變量保持不變的條件下，債券價(jià)格價(jià)格給上漲一美元，該國(guó)債的歐式看跌期權(quán)的將上升。請(qǐng)說(shuō)明如何理解這些結(jié)果。（2）在其它條件不變時(shí)，該期權(quán)價(jià)值還與債券價(jià)格波動(dòng)率正相關(guān)，而債券價(jià)格波動(dòng)率一般與期權(quán)有效期限負(fù)相關(guān)，故期權(quán)價(jià)值可能與到期日負(fù)相關(guān)，即期權(quán)價(jià)值并不總是期權(quán)到期日的增函數(shù)。對(duì)于組合A，則放棄債券的看跌期權(quán)，將持有的一份債券以市場(chǎng)價(jià)格賣掉，最終組合A的總價(jià)值為（債券在持有期內(nèi)獲得大小為的利息支付）；對(duì)于組合B，則執(zhí)行債券的看漲期權(quán)，以現(xiàn)金購(gòu)入一份價(jià)格為的債券，最終組合B的總價(jià)值也為。為了證明該平價(jià)公式，考慮以下投資組合：組合C：持有一份該債券的歐式看跌期權(quán)對(duì)頭和一份債券遠(yuǎn)期多頭及大小為債券遠(yuǎn)期價(jià)格現(xiàn)值的現(xiàn)金，并將現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資。綜上，無(wú)論債券價(jià)格如何變化，組合C與組合D在到期日的價(jià)值相等，根據(jù)無(wú)套利假設(shè)，它們?cè)诂F(xiàn)在的價(jià)格也必然相等，即有： 。此時(shí)看跌期權(quán)將執(zhí)行，看漲期權(quán)放棄執(zhí)行，則 組合A與組合B在到期日的價(jià)值均為（為本金，為市場(chǎng)互換率） 綜上，無(wú)論市場(chǎng)互換率如何變化，組合A與組合B在到期日的價(jià)值相等，根據(jù)無(wú)套利假設(shè)，它們?cè)诂F(xiàn)在的價(jià)格也必然相等，即有： （平坦的）波動(dòng)率不等于利率下限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率，為什么就存在套利機(jī)會(huì)？解：假設(shè)利率上限和利率下限有相同的執(zhí)行價(jià)格和相同的到期時(shí)間，則以下平價(jià)關(guān)系成立： 利率上限+互換= 利率下限 其中互換為收到固定利率和支付浮動(dòng)利率且到期時(shí)間為普通利率互換。則有以下關(guān)系： ： 則由式（）知，該凸度調(diào)整的大小為： ，大約半個(gè)基點(diǎn)。證明，隨到期日的臨近，貼現(xiàn)債券的價(jià)格的波動(dòng)率減少為零。當(dāng)短期利率以如下方式：（a）Vasicek的模型；（b）Rendleman和Bartter的模型；（c）Cos,Ingersoll和Ross的模型上升為8%時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為多少？解：在VASICEK模型中,標(biāo)準(zhǔn)差為1%.在Rendleman和Batter模型中,%上升到8%時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差從1%到2%.在Cos,Ingersoll和Ross模型中,%上升到8%,短期利率標(biāo)準(zhǔn)差,短期利率標(biāo)準(zhǔn)差從1%%.4．請(qǐng)解釋單因素和兩因素利率模型之間的區(qū)別。計(jì)算某個(gè)執(zhí)行價(jià)格為＄87，有效期為一年，基于3年后到期,本金為＄100的貼現(xiàn)債券的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。解：。解：HullWhite模型中所包含的變量：a==，設(shè) 從等式（），= 。18．使用課文中給出的公式，證明在HullWhite模型中在時(shí)刻t的短期利率的漂移率為。21．。因此在A點(diǎn)的價(jià)格為：即＄。A點(diǎn)的價(jià)格就是：：.因此債券的價(jià)格與初始期限結(jié)構(gòu)一致。 考慮某個(gè)任選期權(quán)，持有者有權(quán)在兩年期限內(nèi)任何時(shí)候在歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)之間進(jìn)行選擇。證明： +— = + — 解：各期權(quán)的收益如下： ：MAX（0 ， —） ：MAX（0， —）：MAX（0， —） ：MAX（—） ：MAX（ —，0） ：MAX（—，0）有 —的收益為 — ；—的收益為 — ； —的收益為—，故有— + — = — 得到 + —= + — 課文中給出了某個(gè)特殊的任選期權(quán)分解成一個(gè)有效期為T(mén)2的看漲期權(quán)和一個(gè)有效期為T(mén)1的看跌期權(quán)的推導(dǎo)過(guò)程。 當(dāng)障礙大于執(zhí)行價(jià)格時(shí)，為什么下降敲出看跌期權(quán)價(jià)值為零？請(qǐng)解釋。我們以外幣計(jì)價(jià)，=。，假設(shè)執(zhí)行價(jià)格比期權(quán)開(kāi)始時(shí)刻的股票價(jià)格還要高10%解：假如基于不付紅利股票的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格比股票的價(jià)格高10%，則期權(quán)的價(jià)值與股票的價(jià)格成一定的比例。解：期權(quán)的價(jià)值如下： （）— （） 其中，=［(/ ) +(—+/2 )T］/, = —, =因?yàn)? 400，= 380， = 0， =0，=1，=，= ，=，所以可得期權(quán)價(jià)格為400（）—380（）=？假設(shè)該期貨合約到期日與期權(quán)到期日相同。根據(jù)Broadie、 Glasserman 及Kou在文中所提到的調(diào)整可得，當(dāng)減少對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的觀測(cè)頻率，變動(dòng)障礙水平，這樣就增加了下降敲出期權(quán)的價(jià)格，減少了下降敲進(jìn)期權(quán)的價(jià)格。該股票不支付紅利。 在判斷障礙是否達(dá)到時(shí)，我們?cè)黾佑^測(cè)資產(chǎn)價(jià)格的頻率，某個(gè)下降敲出看漲期權(quán)的價(jià)格是增加了，還是減少了？如果是下降敲入看漲期權(quán)，同樣問(wèn)題的答案又如何？解： 當(dāng)我們減少觀測(cè)資產(chǎn)價(jià)格的頻率時(shí)，資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到障礙水平的機(jī)會(huì)越來(lái)越小，并且下降敲出看漲期權(quán)的價(jià)值上升。解：這個(gè)命題和第7章的不付紅利股票的常規(guī)期權(quán)相似，考慮這樣的一個(gè)證券組合，包含一個(gè)期權(quán)和價(jià)值為執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值的一比現(xiàn)金，最初的現(xiàn)金頭寸為，到時(shí)刻t（0≤t≤T）現(xiàn)金頭寸增長(zhǎng)到 =因?yàn)椋?，所以 小于 ，因此未達(dá)到執(zhí)行價(jià)格，其結(jié)果是如果提前執(zhí)行期權(quán)，證券組合的最終價(jià)值將會(huì)小于 。 。證明；當(dāng)H=X時(shí)，兩個(gè)公式是一樣的。但是如果沒(méi)有的，就是說(shuō)美式看漲期權(quán)或者看跌期權(quán)的選擇一旦做出，就可以執(zhí)行期權(quán)，則這個(gè)結(jié)論就不成立，例如：如果股票價(jià)格在前六個(gè)月跌到了很低的水平，則持有者就可能選擇看跌期權(quán)，并且立即執(zhí)行。 描述具有同樣有效期的一個(gè)回望期權(quán)看漲期權(quán)和一個(gè)回望期權(quán)看跌期權(quán)的組合的收益狀態(tài)圖。在點(diǎn)I的價(jià)格。在C點(diǎn)的價(jià)格為：。同時(shí)，表明，用樹(shù)圖法，從中心出來(lái)必須經(jīng)過(guò)4步的變化。解：，在HoLee模型中，瞬時(shí)期貨利率為： 所以這是等式（）中的表達(dá)式。解：利用公式有和，同時(shí)也有： 和，所以看漲期權(quán)價(jià)格為： =13．。債券的面值為＄100，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為＄99。解：在Vasicek模型中,a=,b=, =,因此 =債券價(jià)格為 在Cox,Ingersoll和Ross模型中,a=,b=, 。Ch171．均衡模型和無(wú)套利模型的區(qū)別是什么？解：,無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率被設(shè)計(jì)成與初始期限結(jié)構(gòu)相符.2．如果某個(gè)股票價(jià)格為均值回復(fù)或遵循某種路徑依賴過(guò)程，就存在某種套利機(jī)會(huì)。事實(shí)上，可以計(jì)算該金融工具的真實(shí)價(jià)值。這使得輸入到Black模型的值有什么不同？解： 這使得輸入到Black模型的值有以下兩方面的不同：（1）折現(xiàn)時(shí)間將使用1年，而不是15個(gè)月（）。此時(shí)看漲期權(quán)將執(zhí)行，看跌期權(quán)放棄執(zhí)行，則 組合A與組合B在到期日的價(jià)值均為0。對(duì)于組合C，則執(zhí)行債券的看跌期權(quán)，以執(zhí)行價(jià)格 將持有的一份債券賣出（先交割債券遠(yuǎn)期合約，以現(xiàn)金購(gòu)入一份債券），最終組合C的總價(jià)值為；對(duì)于組合D，則放棄執(zhí)行債券的看漲期權(quán)，最終組合D的總價(jià)值也為。（2）。組合B：一份該債券的歐式看漲期權(quán)多頭和大小為期權(quán)有效期內(nèi)債券利息支付的現(xiàn)值與債券執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值之和的現(xiàn)金，并將現(xiàn)金以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資。期權(quán)價(jià)值總是期權(quán)到期日的增函數(shù)嗎？請(qǐng)解釋。按季度計(jì)復(fù)利的上限為8%。請(qǐng)說(shuō)明如何理解這些結(jié)果。在9年時(shí)間內(nèi)得到的1年債券價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差的正常期望值將小于5年時(shí)間內(nèi)得到的5年債券價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差的正常期望值，因此最后的結(jié)果是偏高。解：（A）當(dāng)使用遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動(dòng)率為5年期利率上限估值時(shí)，對(duì)每一個(gè)利率期權(quán)元使用不同的波動(dòng)率估值，此時(shí)遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動(dòng)率將作為利率期權(quán)元到期日的一個(gè)函數(shù)。解：假設(shè)僅當(dāng)浮動(dòng)參照利率高于同時(shí)低于（）時(shí)才發(fā)生固定利率支付，則該條件累計(jì)互換可以看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)互換加上兩個(gè)一系列的兩值期權(quán)，再互換有效期限內(nèi)的每天都有一個(gè)兩值期權(quán)。，為年復(fù)利8%。？解：由于互換期權(quán)賦予持有者在未來(lái)某個(gè)確定的時(shí)間使用某個(gè)固定的利率進(jìn)行利率互換的權(quán)利，而利率互換可以認(rèn)為是固定利率債券和浮動(dòng)利率債券的交換，因此互換期權(quán)是一種交換固定利率債券和浮動(dòng)利率債券的權(quán)利。設(shè)樣本i和樣本j的相關(guān)系數(shù)為ρi,j。當(dāng)股價(jià)高于或等于18美元時(shí)，公司可提前贖回債券并強(qiáng)制轉(zhuǎn)換。 對(duì)應(yīng)第2個(gè)季度的參數(shù)是: 對(duì)應(yīng)第3個(gè)季度的參數(shù)是: 對(duì)應(yīng)第4個(gè)季度的參數(shù)是: ： 。在用二叉樹(shù)圖方法表示的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于參數(shù) 故二叉樹(shù)圖中的不受的運(yùn)動(dòng)的影響，但受的運(yùn)動(dòng)的影響，隨著的變化, 的值并不能保證在0到1之間，即有可能為負(fù)值或大于1，這必將影響最終結(jié)果的計(jì)算。請(qǐng)用外推有限差分方法為該期權(quán)估值。記股價(jià)波動(dòng)率樣本集為和（與為對(duì)偶變量，即），記股價(jià)樣本集為和 （與為對(duì)偶變量，即）, 由此可知，單獨(dú)使用對(duì)偶變量技術(shù)時(shí)，需要進(jìn)行4次模擬。 （2）使用和（1）相同的參數(shù)和相同的二叉樹(shù)圖計(jì)算對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)的Delta 值，不妨記為Δ*E。用該樹(shù)圖估計(jì)該期權(quán)的Delta和Theta參數(shù)。請(qǐng)將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期半個(gè)月。請(qǐng)估計(jì)該期權(quán)的Delta參數(shù)。（3） 用Black—Scholes公式對(duì)該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如下：故該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格為：+=。總之，蒙特卡羅模擬是沿著時(shí)間從到順次進(jìn)行的，不適用于于美式衍生證券的定價(jià)。但是，當(dāng)開(kāi)始時(shí)就將將來(lái)的紅利的現(xiàn)值從股價(jià)中剔除后（即減去將來(lái)的紅利的現(xiàn)值后），其樹(shù)圖必然重合。，其最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價(jià)格高出有效期期中最低股價(jià)的部分。 請(qǐng)解釋當(dāng)用樹(shù)圖法估計(jì)美式期權(quán)價(jià)值時(shí)，如何應(yīng)用控制變量技術(shù)。其他參數(shù)估計(jì)為r=，σ=，q=。所以初始頭寸應(yīng)該為：份指數(shù)期貨合約空頭。既然紅利率為3%，可以預(yù)測(cè)市場(chǎng)指數(shù)每年下降5%，%，市場(chǎng)預(yù)計(jì)會(huì)下降到1170。P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1140，期限為6個(gè)月3） 投資剩余現(xiàn)金到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得每年6%的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。Samp。解： 無(wú)論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，空頭頭寸都有負(fù)的gamma值，意味著，對(duì)于套期保值者，股票價(jià)格大幅波動(dòng)比穩(wěn)定的效果要差。對(duì)于前者，從上題的答案得出，要進(jìn)行delta套期保值。解： 該策略為買高賣低。解：在該策略中，交易者每次買賣股票要花費(fèi)＄1/8，預(yù)期總成本是＄4，意味著：股票買賣次數(shù)大約為32次。比如說(shuō)，要為一個(gè)看跌期權(quán)多頭套期保值，就必須構(gòu)造一個(gè)合成看跌期權(quán)的空頭。 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，股票價(jià)格的年波動(dòng)率為25%，計(jì)算標(biāo)的物為不分紅股票，6個(gè)月期兩平期權(quán)歐式看漲期權(quán)的delta值。假設(shè)S1和S2都遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)且不相關(guān)。豆油價(jià)格期望增長(zhǎng)率為0。討論：這兩個(gè)變量中的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零？解：第二個(gè)變量的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格為0。Ch13？解： 不是可交換證券價(jià)格的變量的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格是通過(guò)求可交換證券的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格而來(lái)，但必須滿足該可交換證券的價(jià)格與不是可交換證券價(jià)格的變量瞬態(tài)完全正相關(guān)。其價(jià)值主要依賴于如下兩個(gè)隨機(jī)變量：石油的價(jià)格和以探明石油的儲(chǔ)存量。解：假設(shè)是從日?qǐng)A投資者來(lái)看的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，是T時(shí)刻用日?qǐng)A表示的一美圓的價(jià)值，、分別是美圓和日?qǐng)A的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是指數(shù)的紅利收益率，是的瞬時(shí)相關(guān)系數(shù)，是S和Q的波動(dòng)率，F(xiàn)是遠(yuǎn)期價(jià)格 由本章可得如下等式： 、以及所以，遠(yuǎn)期價(jià)格%，年貯存成本為1%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率6%。當(dāng)用擴(kuò)展后的風(fēng)險(xiǎn)中性原理估計(jì)一個(gè)衍生工具時(shí)，漂移率是如何被調(diào)整的？解：題中等式可改寫(xiě)為：，其中是利率的期望增長(zhǎng)率，是它的干擾項(xiàng)，那么在風(fēng)險(xiǎn)中性世界期望增長(zhǎng)率為因此，過(guò)程變