【正文】 ，在T時刻支付MAX（—，0），其中 是從時刻t0到時刻T所計算的平均股票價格，X是執(zhí)行價格。？對美式看漲期權(quán)是否有相同結(jié)果呢？解：當(dāng)障礙水平達(dá)到時，下降敲出期權(quán)是沒有價值的，但下降敲進(jìn)期權(quán)的價值與常規(guī)期權(quán)的價值一樣。（B）看跌期權(quán)—看漲期權(quán)的關(guān)系如下：+ = + 其中是基于看跌期權(quán)的看漲期權(quán)的價格，是基于看跌期權(quán)的看跌期權(quán)的價格，（, , ）= ()— (,—,—) = (b)— (—a, , —)在附錄11C中，（）= 1— (—), 由此可得，–= — (—) + (— )—X1 因為= — (—) + (—)，所以可得， —= — ， 與公式一致 在計算最小值時，我們增加觀測資產(chǎn)價格的頻率，某個回望看漲期權(quán)的價格是增加了，還是減少了？解： 增加了，因為當(dāng)我們增加觀測資產(chǎn)價格的頻率時，我們觀察到一個更小的最小值，這將增加回望看漲期權(quán)的價值。解：不相等，因為在期權(quán)的有效期內(nèi)，當(dāng)期貨價格比即期價格高時，存在這樣的可能，即期價格達(dá)到了障礙水平，而期貨價格卻并沒有達(dá)到。但是對于障礙期權(quán)，由于Delta非連續(xù)性，當(dāng)標(biāo)的物資產(chǎn)的價格接近于障礙水平時，Delta對沖就存在問題。這和遠(yuǎn)期開始期權(quán)是一樣的，如果表示期權(quán)開始，表示期權(quán)到期，則這個期權(quán)與現(xiàn)在開始，期限為 —。證明如果g小于無風(fēng)險利率為年率為r, 則提前執(zhí)行該看漲期權(quán)決不是最優(yōu)。 利用三時間步長樹圖估算基于不付紅利股票幾何平均價格的美式回望看漲期權(quán)的價格，其中股票價格為＄40，執(zhí)行價格為＄40，無風(fēng)險利率為年率10%，波動率為年率35%，有效期為3個月。由圖可得。解：只有資產(chǎn)價格小于執(zhí)行價格，期權(quán)才是有價值的，但是在這種情況下，已經(jīng)達(dá)到障礙水平，期權(quán)已經(jīng)作廢，所以下降敲出看跌期權(quán)價值為零。第二個適用于障礙H大于或等于執(zhí)行價格X的情況。請給出另外一種將任選期權(quán)分解為一個有效期為T1的看漲期權(quán)和一個有效期為T2的看跌期權(quán)。而對于美式期權(quán)如果規(guī)定了不能提前執(zhí)行，則這個結(jié)論也是成立的。不考慮所做出的選擇，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的到期日和執(zhí)行價格是相同的。 任選期權(quán)是經(jīng)過一段指定的時期后，持有人能選擇期權(quán)，或者是看漲期權(quán)或者是看跌期權(quán)。25．假設(shè)在HullWhite模型中，a=, =,某個10年期的歐洲美元期貨報價為92。在點E的價格為：。2年期連續(xù)利率的零利率為：，因此債券的價格是＄。在B點的價值為。解：2年零息債券在末結(jié)必須支付＄100。解：時間步長為1，那么。其中是T時刻到期的合約在t時刻的瞬時期貨利率。 17．使用課本中給出的公式，證明在HoLee模型中在時刻t的短期利率的漂移率為，其中是時刻到期的合約在時刻的瞬時期貨利率。在這點上，債券的價值為99。設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)是水平的，為10%，債券面值為＄100，執(zhí)行價格為＄68。在這點上，債券的價值為99。假設(shè)該債券每半年支付息票利率5%。解：根據(jù)題目已知條件有：s=3,T=1,L=100,X=87利用公式得P（0,1）=,P (0,3)=,并且h=,所以歐式看漲期權(quán)價格為： 或＄9．＄87的歐式看跌期權(quán)，重新估值。將該模型計算的價格與有效期為10年的貼現(xiàn)債券的價格進(jìn)行比較。解：在單因素模型中,:在任意短期間隔內(nèi)所有利率在相同的方向變動(但它并不意味著所有利率以相同的幅度變動).在兩因素模型中,。解：，可參考該解答。解：由題意知，該貼現(xiàn)債券的收益率R遵循Ito過程，由于貼現(xiàn)債券的價格P為收益率R的函數(shù)，故由Ito引理（參看正文（）及其說明）知，該貼現(xiàn)債券的價格P也遵循Ito過程，且其波動率為： 其中T為到期時間,t為現(xiàn)在的時間,因此，貼現(xiàn)債券的價格P的波動率必將趨近于0，即隨到期日的臨近，貼現(xiàn)債券的價格的波動率減少為零。請說明為什么此金融工具的價值不為零？解：，本題中的互換屬于固定期限的互換，需要進(jìn)行凸度調(diào)整，從而此金融工具的價值不為零。 在利率期權(quán)元的公式中，使用經(jīng)凸度調(diào)整后的數(shù)據(jù)如下： 由以上數(shù)據(jù)計算得： 由式（）可計算出1年期即期利率（按連續(xù)復(fù)利計算）r=%，故利率期權(quán)元的價格為： %（年復(fù)利）的水平曲線。，盈虧在一年內(nèi)發(fā)生（即該利率出現(xiàn)了）而不是在15個月后。如果利率上限隱含Black（平坦的）波動率等于利率下限隱含Black（平坦的）波動率，Black公式表明上式成立。則在期權(quán)到期日：若市場互換率高于。—看跌平價關(guān)系。若債券價格下跌到。組合D：一份該債券的歐式看漲期權(quán)多頭和大小為期權(quán)有效期內(nèi)執(zhí)行價格的現(xiàn)值的現(xiàn)金，并將現(xiàn)金以無風(fēng)險利率進(jìn)行投資。綜上，無論債券價格如何變化，組合A與組合B在到期日的價值相等，根據(jù)無套利假設(shè)，它們在現(xiàn)在的價格也必然相等，即有：。因此組合A與組合B在到期日的價值相等。為了證明該平價公式，考慮以下投資組合：組合A：一份該債券的歐式看跌期權(quán)對頭和一份債券多頭。？共同的執(zhí)行價格是多少？解：收到浮動利率支付固定利率且執(zhí)行價格5年期零成本利率雙限的執(zhí)行價格相同的利率互換協(xié)議與它等價！它們共同的執(zhí)行價格是互換利率。 ，國債到期日比期權(quán)到期日遲90天。解：由定義有： 。%。 為指在其它變量保持不變的條件下，波動率每變化一個百分點，該國債的歐式看跌期權(quán)的價格將上漲美元。（2）若執(zhí)行價格對應(yīng)于債券的報價，則有： 由式（）有，該歐式看跌期權(quán)的價格為： ，、Gamma、Vega值。一年期限內(nèi)所有期限的五風(fēng)險利率為年率8%。對于該10年期債券的5年期期權(quán)，債券在期權(quán)到期日還有5年時間才到期，而對于10年期債券的9年期期權(quán)，債券在期權(quán)到期日只有1年時間就到期。設(shè)期權(quán)本金量為1000美元，在18個月的時間內(nèi)將3個月期利率（按季度復(fù)利報價）的上限定為13%。（A）遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動率和（B）水平的波動率為5年期利率上限估值。(b) 我們想要對某個差價期權(quán)進(jìn)行估價，該期權(quán)的盈虧為3個月期的LIBOR減 3個月期的國債利率再減50個基本點之后的差值和0這兩者中的較大者。請討論如何將以上分析擴(kuò)展到如下這樣一種情況：即只有當(dāng)浮動參照利率高于某個水平同時低于某個水平時，固定利率方才會獲利。互換率的年波動率為25%，年金為100萬美元。解：已知，故可算出： 該歐式看跌期權(quán)的價值是： 美元。請解釋其含義。盡管抵押擔(dān)保證券由于有一些與政府關(guān)系密切的機(jī)構(gòu)擔(dān)寶，從而其形式上可認(rèn)為是政府發(fā)行的固定收入證券，但由于抵押擔(dān)保證券中的抵押本身具有提前償付特權(quán)，故它比諸如政府債券這樣的普通固定收入的金融工具的風(fēng)險更大。%，本金為2000萬美元。解：如果股票價格充分小至,顯然，此時可轉(zhuǎn)換債券在有效期內(nèi)不會發(fā)生轉(zhuǎn)股行為，可轉(zhuǎn)換債券將按一般的債券定價。，面值為25美元，可隨時轉(zhuǎn)換為該公司的股票2股。，什么情況下，邊界條件 和會對估值結(jié)果產(chǎn)生影響？解：在應(yīng)用外推有限差分方法對衍生證券估價時，記為目前標(biāo)的資產(chǎn)的價格, 記為所能考慮的標(biāo)的資產(chǎn)的最高價格（即對應(yīng)于的情形），記為所能考慮的標(biāo)的資產(chǎn)的最低價格（即對應(yīng)于的情形）并令 令N為所考慮的時間段的數(shù)目，從外推有限差分方法計算的過程中，很容易發(fā)現(xiàn),當(dāng) 時, 邊界條件 和將對估值結(jié)果產(chǎn)生影響。由已知數(shù)據(jù)可以計算在第一個季度（3個月）的增長率（連續(xù)復(fù)利，以年計）： 因此第一個季度對應(yīng)的參數(shù)是： 以相同的方法可以計算后3個季度的增長率為：。請用二叉樹方法對該美式看漲期權(quán)定價，該期勸還有一年到期。由此可知，的風(fēng)險中性世界中的期望增長率為（從而為的函數(shù)），的風(fēng)險中性世界中的波動率為。 已知： 利用式（）得到下表：股票價格 到期時間（月）（美元） 4 3 2 1 0 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0 由此可知。解：美式貨幣看漲期權(quán)的價格滿足的隨機(jī)微分方程為： 使用本章的記號可得上式對應(yīng)的差分方程為： 其中，經(jīng)整理后得式（）變?yōu)椋? 其中： 式（）變?yōu)椋? ，還有4個月到期，執(zhí)行價格為21美元，股票市價為20美元，無風(fēng)險利率為年率10%，波動率為年率30%。 模擬4：使用樣本和。（2）當(dāng)使用對偶變量技術(shù)時，來自于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個樣本集必須用到每個股價波動率和股價中去。請解釋當(dāng)同時應(yīng)用控制變量技術(shù)和對偶變量技術(shù)時，每次模擬計算為什么需要計算6個期權(quán)的價值。 ，如何用控制變量技術(shù)改進(jìn)美式期權(quán)的Delta估計值？解：用控制變量技術(shù)改進(jìn)美式期權(quán)的Delta估計值可以依以下步驟進(jìn)行： （1）根據(jù)正文中的式（），使用通常的二叉樹方法估計該美式期權(quán)的Delta 值，不妨記為Δ*A。根據(jù)以上條件。并且將這一結(jié)果將Black近似方法得到的結(jié)果（） 相比較。，有效期為6個月，預(yù)計在第二個和第五個月的月末將支付每股1美元的紅利。目前的指數(shù)水平為484，無風(fēng)險利率為年率10%，股票指數(shù)年紅利收益率為3%，指數(shù)的波動率為年率25%。（3） 用Black—Scholes公式對該看漲期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)定價如下： 故該看漲期權(quán)對應(yīng)的歐式期權(quán)價格為：故用控制變量法計算出的修正值為：美元。請用控制變量技術(shù)對這一估計進(jìn)行修正。 0 0 0 0 0 20 20 20 0 ，有效期為1年，執(zhí)行價格為9美元。（2） 。請將該有效期等分為四個時間段，每個時間段為期三個月。這樣在時刻 （）就不可能決定提請執(zhí)行期權(quán)是最優(yōu)選擇，原因是時刻可能的路徑?jīng)]有被考察。 當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率為時間的函數(shù)時，你如何用二叉樹方法對該期權(quán)定價？解：當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率q為時間t的函q(t)時，以下式子仍然成立： 由以上式子可知，、獨立于時間，而、依賴于時間。這表明對于支付紅利的股票，其股價的樹圖不重合。原因如下： 此題中最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價格高出有效期期中最低股價的部分，即其最終收益不僅與股票在期末時的價格有關(guān)，而且決定于股票價格的運動路徑，故我們不能使用二叉樹圖方法從后向前推算，從而不能使用二叉樹圖方法對該期權(quán)定價。解：已知，則有： 計算二叉樹圖的結(jié)果如下： 198 198 0 0 0 由此可知。（記為）（3）使用B—S對歐式期權(quán)定價。解：已知,則由（）—（）有： 計算二叉樹圖的結(jié)果如下： 00 60 60 0 由此可知。即，市場下降的結(jié)果導(dǎo)致大約270億的附加資產(chǎn)必須被賣出。在下降23%之前，三個已知參數(shù)為：S0=70，X=，T=1。 與等式（）相對應(yīng)的一種貨幣衍生產(chǎn)品的組合的等式是怎樣的？解： 貨幣提供連續(xù)的分紅率rf，這點和股票類似。（d）此時，每份看跌期權(quán)的delta值為看跌期權(quán)總頭寸的delta值為－450，000=－170，000。（a）所以看跌期權(quán)價值為：所以，保險費總計為： 450，000＝＄34，326，000（b）策略1：賣出＄354，640，000的股票；2：買進(jìn)450，000Samp。那么可以預(yù)測，市場回報