【正文】 為，即，所以，漂移率調(diào)整為,其中S1是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的水平，S2是石油的價(jià)格。1000個(gè)看漲期權(quán)空頭其Delta是700，可以購買700股使之變成Delta中性。解： 要為一個(gè)期權(quán)套期保值，必須構(gòu)造一個(gè)數(shù)量相同、頭寸方向相反的合成期權(quán)。估計(jì)股票被買入或賣出的預(yù)期次數(shù)?？紤]下面兩種情況： （a）在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格由＄20穩(wěn)定增長至＄35 （b）股票價(jià)格波動(dòng)劇烈，最終價(jià)格為＄35 請(qǐng)解釋哪種方案使合成的期權(quán)更值錢？解釋你的答案。解： 前者指的是期貨delta值，后者指的是現(xiàn)貨delta值。 一家金融機(jī)構(gòu)擁有一種貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的空頭頭寸組合。P500來反映，價(jià)值＄9000萬。應(yīng)用到本題情況，該基金經(jīng)理應(yīng)該：1） 賣出360 =＄354，640，000的股票2） 買入300，000份Samp。那么可以預(yù)測，市場回報(bào)率比無風(fēng)險(xiǎn)利率少8%，即為－2%。（d）此時(shí)，每份看跌期權(quán)的delta值為看跌期權(quán)總頭寸的delta值為－450，000=－170，000。在下降23%之前，三個(gè)已知參數(shù)為：S0=70，X=，T=1。解：已知,則由（）—（）有： 計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下： 00 60 60 0 由此可知。解：已知，則有： 計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下： 198 198 0 0 0 由此可知。這表明對(duì)于支付紅利的股票，其股價(jià)的樹圖不重合。這樣在時(shí)刻 （）就不可能決定提請(qǐng)執(zhí)行期權(quán)是最優(yōu)選擇，原因是時(shí)刻可能的路徑?jīng)]有被考察。（2） 。請(qǐng)用控制變量技術(shù)對(duì)這一估計(jì)進(jìn)行修正。目前的指數(shù)水平為484，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，股票指數(shù)年紅利收益率為3%，指數(shù)的波動(dòng)率為年率25%。并且將這一結(jié)果將Black近似方法得到的結(jié)果（） 相比較。 ，如何用控制變量技術(shù)改進(jìn)美式期權(quán)的Delta估計(jì)值？解：用控制變量技術(shù)改進(jìn)美式期權(quán)的Delta估計(jì)值可以依以下步驟進(jìn)行： （1）根據(jù)正文中的式（），使用通常的二叉樹方法估計(jì)該美式期權(quán)的Delta 值，不妨記為Δ*A。（2）當(dāng)使用對(duì)偶變量技術(shù)時(shí)，來自于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)樣本集必須用到每個(gè)股價(jià)波動(dòng)率和股價(jià)中去。解：美式貨幣看漲期權(quán)的價(jià)格滿足的隨機(jī)微分方程為： 使用本章的記號(hào)可得上式對(duì)應(yīng)的差分方程為： 其中，經(jīng)整理后得式（）變?yōu)椋? 其中： 式（）變?yōu)椋? ，還有4個(gè)月到期，執(zhí)行價(jià)格為21美元，股票市價(jià)為20美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，波動(dòng)率為年率30%。由此可知，的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望增長率為（從而為的函數(shù)），的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的波動(dòng)率為。由已知數(shù)據(jù)可以計(jì)算在第一個(gè)季度（3個(gè)月）的增長率（連續(xù)復(fù)利，以年計(jì)）： 因此第一個(gè)季度對(duì)應(yīng)的參數(shù)是： 以相同的方法可以計(jì)算后3個(gè)季度的增長率為：。，面值為25美元，可隨時(shí)轉(zhuǎn)換為該公司的股票2股。盡管抵押擔(dān)保證券由于有一些與政府關(guān)系密切的機(jī)構(gòu)擔(dān)寶，從而其形式上可認(rèn)為是政府發(fā)行的固定收入證券，但由于抵押擔(dān)保證券中的抵押本身具有提前償付特權(quán)，故它比諸如政府債券這樣的普通固定收入的金融工具的風(fēng)險(xiǎn)更大。解：已知，故可算出： 該歐式看跌期權(quán)的價(jià)值是： 美元。請(qǐng)討論如何將以上分析擴(kuò)展到如下這樣一種情況：即只有當(dāng)浮動(dòng)參照利率高于某個(gè)水平同時(shí)低于某個(gè)水平時(shí)，固定利率方才會(huì)獲利。（A）遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動(dòng)率和（B）水平的波動(dòng)率為5年期利率上限估值。對(duì)于該10年期債券的5年期期權(quán)，債券在期權(quán)到期日還有5年時(shí)間才到期，而對(duì)于10年期債券的9年期期權(quán)，債券在期權(quán)到期日只有1年時(shí)間就到期。（2）若執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)于債券的報(bào)價(jià)，則有： 由式（）有，該歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為： ，、Gamma、Vega值。%。 ，國債到期日比期權(quán)到期日遲90天。為了證明該平價(jià)公式，考慮以下投資組合：組合A：一份該債券的歐式看跌期權(quán)對(duì)頭和一份債券多頭。綜上，無論債券價(jià)格如何變化，組合A與組合B在到期日的價(jià)值相等，根據(jù)無套利假設(shè)，它們?cè)诂F(xiàn)在的價(jià)格也必然相等，即有：。若債券價(jià)格下跌到。則在期權(quán)到期日：若市場互換率高于。，盈虧在一年內(nèi)發(fā)生（即該利率出現(xiàn)了）而不是在15個(gè)月后。請(qǐng)說明為什么此金融工具的價(jià)值不為零？解：，本題中的互換屬于固定期限的互換，需要進(jìn)行凸度調(diào)整，從而此金融工具的價(jià)值不為零。解：，可參考該解答。將該模型計(jì)算的價(jià)格與有效期為10年的貼現(xiàn)債券的價(jià)格進(jìn)行比較。假設(shè)該債券每半年支付息票利率5%。設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)是水平的，為10%，債券面值為＄100，執(zhí)行價(jià)格為＄68。 17．使用課本中給出的公式，證明在HoLee模型中在時(shí)刻t的短期利率的漂移率為，其中是時(shí)刻到期的合約在時(shí)刻的瞬時(shí)期貨利率。解：時(shí)間步長為1，那么。在B點(diǎn)的價(jià)值為。在點(diǎn)E的價(jià)格為：。 任選期權(quán)是經(jīng)過一段指定的時(shí)期后，持有人能選擇期權(quán)，或者是看漲期權(quán)或者是看跌期權(quán)。而對(duì)于美式期權(quán)如果規(guī)定了不能提前執(zhí)行，則這個(gè)結(jié)論也是成立的。第二個(gè)適用于障礙H大于或等于執(zhí)行價(jià)格X的情況。由圖可得。證明如果g小于無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率為r, 則提前執(zhí)行該看漲期權(quán)決不是最優(yōu)。但是對(duì)于障礙期權(quán)，由于Delta非連續(xù)性，當(dāng)標(biāo)的物資產(chǎn)的價(jià)格接近于障礙水平時(shí)，Delta對(duì)沖就存在問題。（B）看跌期權(quán)—看漲期權(quán)的關(guān)系如下：+ = + 其中是基于看跌期權(quán)的看漲期權(quán)的價(jià)格，是基于看跌期權(quán)的看跌期權(quán)的價(jià)格，（, , ）= ()— (,—,—) = (b)— (—a, , —)在附錄11C中，（）= 1— (—), 由此可得，–= — (—) + (— )—X1 因?yàn)? — (—) + (—)，所以可得， —= — ， 與公式一致 在計(jì)算最小值時(shí)，我們?cè)黾佑^測資產(chǎn)價(jià)格的頻率，某個(gè)回望看漲期權(quán)的價(jià)格是增加了，還是減少了？解： 增加了，因?yàn)楫?dāng)我們?cè)黾佑^測資產(chǎn)價(jià)格的頻率時(shí)，我們觀察到一個(gè)更小的最小值，這將增加回望看漲期權(quán)的價(jià)值。，在T時(shí)刻支付MAX（—，0），其中 是從時(shí)刻t0到時(shí)刻T所計(jì)算的平均股票價(jià)格，X是執(zhí)行價(jià)格。？對(duì)美式看漲期權(quán)是否有相同結(jié)果呢？解：當(dāng)障礙水平達(dá)到時(shí)，下降敲出期權(quán)是沒有價(jià)值的，但下降敲進(jìn)期權(quán)的價(jià)值與常規(guī)期權(quán)的價(jià)值一樣。解：不相等，因?yàn)樵谄跈?quán)的有效期內(nèi)，當(dāng)期貨價(jià)格比即期價(jià)格高時(shí)，存在這樣的可能，即期價(jià)格達(dá)到了障礙水平，而期貨價(jià)格卻并沒有達(dá)到。這和遠(yuǎn)期開始期權(quán)是一樣的，如果表示期權(quán)開始，表示期權(quán)到期，則這個(gè)期權(quán)與現(xiàn)在開始，期限為 —。 利用三時(shí)間步長樹圖估算基于不付紅利股票幾何平均價(jià)格的美式回望看漲期權(quán)的價(jià)格，其中股票價(jià)格為＄40，執(zhí)行價(jià)格為＄40，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，波動(dòng)率為年率35%，有效期為3個(gè)月。解：只有資產(chǎn)價(jià)格小于執(zhí)行價(jià)格，期權(quán)才是有價(jià)值的，但是在這種情況下，已經(jīng)達(dá)到障礙水平，期權(quán)已經(jīng)作廢，所以下降敲出看跌期權(quán)價(jià)值為零。請(qǐng)給出另外一種將任選期權(quán)分解為一個(gè)有效期為T1的看漲期權(quán)和一個(gè)有效期為T2的看跌期權(quán)。不考慮所做出的選擇，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的到期日和執(zhí)行價(jià)格是相同的。25．假設(shè)在HullWhite模型中，a=, =,某個(gè)10年期的歐洲美元期貨報(bào)價(jià)為92。2年期連續(xù)利率的零利率為：，因此債券的價(jià)格是＄。解：2年零息債券在末結(jié)必須支付＄100。其中是T時(shí)刻到期的合約在t時(shí)刻的瞬時(shí)期貨利率。在這點(diǎn)上，債券的價(jià)值為99。在這點(diǎn)上，債券的價(jià)值為99。解：根據(jù)題目已知條件有：s=3,T=1,L=100,X=87利用公式得P（0,1）=,P (0,3)=,并且h=,所以歐式看漲期權(quán)價(jià)格為： 或＄9．＄87的歐式看跌期權(quán)，重新估值。解：在單因素模型中,:在任意短期間隔內(nèi)所有利率在相同的方向變動(dòng)(但它并不意味著所有利率以相同的幅度變動(dòng)).在兩因素模型中,。解：由題意知，該貼現(xiàn)債券的收益率R遵循Ito過程，由于貼現(xiàn)債券的價(jià)格P為收益率R的函數(shù)，故由Ito引理（參看正文（）及其說明）知，該貼現(xiàn)債券的價(jià)格P也遵循Ito過程，且其波動(dòng)率為： 其中T為到期時(shí)間,t為現(xiàn)在的時(shí)間,因此，貼現(xiàn)債券的價(jià)格P的波動(dòng)率必將趨近于0，即隨到期日的臨近，貼現(xiàn)債券的價(jià)格的波動(dòng)率減少為零。 在利率期權(quán)元的公式中，使用經(jīng)凸度調(diào)整后的數(shù)據(jù)如下： 由以上數(shù)據(jù)計(jì)算得： 由式（）可計(jì)算出1年期即期利率（按連續(xù)復(fù)利計(jì)算）r=%，故利率期權(quán)元的價(jià)格為： %（年復(fù)利）的水平曲線。如果利率上限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率等于利率下限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率，Black公式表明上式成立?！吹絻r(jià)關(guān)系。組合D：一份該債券的歐式看漲期權(quán)多頭和大小為期權(quán)有效期內(nèi)執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值的現(xiàn)金，并將現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資。因此組合A與組合B在到期日的價(jià)值相等。？共同的執(zhí)行價(jià)格是多少？解：收到浮動(dòng)利率支付固定利率且執(zhí)行價(jià)格5年期零成本利率雙限的執(zhí)行價(jià)格相同的利率互換協(xié)議與它等價(jià)！它們共同的執(zhí)行價(jià)格是互換利率。解：由定義有： 。 為指在其它變量保持不變的條件下，波動(dòng)率每變化一個(gè)百分點(diǎn)，該國債的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格將上漲美元。一年期限內(nèi)所有期限的五風(fēng)險(xiǎn)利率為年率8%。設(shè)期權(quán)本金量為1000美元，在18個(gè)月的時(shí)間內(nèi)將3個(gè)月期利率（按季度復(fù)利報(bào)價(jià)）的上限定為13%。(b) 我們想要對(duì)某個(gè)差價(jià)期權(quán)進(jìn)行估價(jià)，該期權(quán)的盈虧為3個(gè)月期的LIBOR減 3個(gè)月期的國債利率再減50個(gè)基本點(diǎn)之后的差值和0這兩者中的較大者?；Q率的年波動(dòng)率為25%，年金為100萬美元。請(qǐng)解釋其含義。%，本金為2000萬美元。解：如果股票價(jià)格充分小至,顯然，此時(shí)可轉(zhuǎn)換債券在有效期內(nèi)不會(huì)發(fā)生轉(zhuǎn)股行為，可轉(zhuǎn)換債券將按一般的債券定價(jià)。，什么情況下，邊界條件 和會(huì)對(duì)估值結(jié)果產(chǎn)生影響？解：在應(yīng)用外推有限差分方法對(duì)衍生證券估價(jià)時(shí)，記為目前標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格, 記為所能考慮的標(biāo)的資產(chǎn)的最高價(jià)格（即對(duì)應(yīng)于的情形），記為所能考慮的標(biāo)的資產(chǎn)的最低價(jià)格（即對(duì)應(yīng)于的情形）并令 令N為所考慮的時(shí)間段的數(shù)目，從外推有限差分方法計(jì)算的過程中，很容易發(fā)現(xiàn),當(dāng) 時(shí), 邊界條件 和將對(duì)估值結(jié)果產(chǎn)生影響。請(qǐng)用二叉樹方法對(duì)該美式看漲期權(quán)定價(jià)，該期勸還有一年到期。 已知： 利用式（）得到下表：股票價(jià)格 到期時(shí)間（月）（美元） 4 3 2 1 0 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0 由此可知。 模擬4：使用樣本和。請(qǐng)解釋當(dāng)同時(shí)應(yīng)用控制變量技術(shù)和對(duì)偶變量技術(shù)時(shí)，每次模擬計(jì)算為什么需要計(jì)算6個(gè)期權(quán)的價(jià)值。根據(jù)以上條件。，有效期為6個(gè)月，預(yù)計(jì)在第二個(gè)和第五個(gè)月的月末將支付每股1美元的紅利。（3） 用Black—Scholes公式對(duì)該看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如下： 故該看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格為：故用控制變量法計(jì)算出的修正值為：美元。 0 0 0 0 0 20 20 20 0 ，有效期為1年，執(zhí)行價(jià)格為9美元。請(qǐng)將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期三個(gè)月。 當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率為時(shí)間的函數(shù)時(shí)，你如何用二叉樹方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)？解：當(dāng)股指美式期權(quán)的標(biāo)的股指的紅利收益率q為時(shí)間t的函q(t)時(shí)，以下式子仍然