【正文】 為：美元。9個(gè)月期歐洲美元期權(quán)隱含的利率波動(dòng)率為年率15%。解：已知： 由此立即得出： （1）若執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)于債券的現(xiàn)金價(jià)格，則有： 由式（）有，該歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為： 美元。你認(rèn)為最后的結(jié)果是偏高還是偏低，為什么？解： 隱含Black波動(dòng)率測(cè)度的期權(quán)到期時(shí)債券價(jià)格對(duì)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差與期權(quán)有效期算術(shù)平方根的比值。 （b）不需要凸度調(diào)整或需要輕微調(diào)整。 已知條件如下： 則有： 故由式（）有該互換期權(quán)的價(jià)值為： ，固定利率方只有在浮動(dòng)參照利率低于某一確定水平時(shí)才會(huì)獲利。假設(shè)債券當(dāng)前的現(xiàn)價(jià)為125美元，執(zhí)行價(jià)格為110美元，一年期利率為年率10%，債券價(jià)格的年波動(dòng)率為8%，期權(quán)有效期內(nèi)將支付的息票的現(xiàn)值為10美元。？請(qǐng)說(shuō)明為什么抵押擔(dān)保證券風(fēng)險(xiǎn)比諸如政府債券這樣的普通固定收入的金融工具的風(fēng)險(xiǎn)更大？解：當(dāng)金融機(jī)構(gòu)決定向其客戶(hù)出售部分住房抵押組合，投資者從中購(gòu)買(mǎi)一定的份額單位并從中獲利，這些份額單位即為抵押擔(dān)保證券。一般情況下可轉(zhuǎn)換債券可以結(jié)合上述邊界條件使用外推或內(nèi)含有限差分方法并采取倒推方式定價(jià)。當(dāng)對(duì)有效期較長(zhǎng)的衍生證券進(jìn)行估值時(shí)，上述兩個(gè)波動(dòng)率很有可能差別很大。 期貨價(jià)格給出了銅在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下銅的價(jià)格增長(zhǎng)率的一個(gè)估計(jì)。解：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中r的過(guò)程為： 其中是的風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格。 記為第次模擬時(shí)算出的期權(quán)價(jià)格（），則第3次和第4次模擬得出期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值為，當(dāng)使用控制變量法并結(jié)合第一次模擬得出的估計(jì)值，得到改進(jìn)后的期權(quán)價(jià)格估計(jì)值為： 同理，第2次、第5次和第6次模擬得出的期權(quán)價(jià)格的改進(jìn)值為： 綜上所述，期權(quán)價(jià)格的的最佳估計(jì)值為： ，式（）和式（）的變動(dòng)情況。由此可知，單獨(dú)使用控制變量技術(shù)時(shí)，需要進(jìn)行2次模擬。 二、假設(shè)不提前執(zhí)行，此時(shí)有： 則由B—S公式有： 。用樹(shù)圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。 0 0 0 0 0 0 ，有效期為兩個(gè)月，執(zhí)行價(jià)格為480。用樹(shù)圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。解：已知，由此可計(jì)算二叉樹(shù)的有關(guān)參數(shù)如下： （1） 。解：由于在用蒙特卡羅模擬方法計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性世界中衍生證券的樣本價(jià)值時(shí)，依賴(lài)于該衍生證券標(biāo)的變量的路徑的模擬，在每次的模擬中，標(biāo)的變量的價(jià)值就首先在時(shí)刻確定，然后在時(shí)刻確定，然后等等。解： 假設(shè)在某時(shí)間段內(nèi)股票將支付價(jià)值為D的紅利，S為股票的初始價(jià)格，則股票的在該時(shí)間段的期末價(jià)格將變?yōu)镾u—D或Sd—D，在下一個(gè)時(shí)間段的期末價(jià)格將變?yōu)?Su—D)u、(Su—D)d、( Sd—D)u及( Sd—D)d中的某一個(gè)值，由于u與d不相等，故(Su—D)d與(Sd—D)u是不可能相等的。請(qǐng)構(gòu)造時(shí)間間隔為3個(gè)月的二叉樹(shù)圖模型為該期權(quán)估值。請(qǐng)構(gòu)造時(shí)間間隔為一個(gè)月的期的二叉樹(shù)圖模型為該期權(quán)估值。做任何你認(rèn)為必要的估計(jì)，計(jì)算如果在一天之內(nèi)市場(chǎng)下降23%，該組合保險(xiǎn)計(jì)劃的管理者應(yīng)出售價(jià)值多少的股票或期貨合約？解： 可以把所有資產(chǎn)組合保險(xiǎn)頭寸看作一份單個(gè)的看跌期權(quán)。P500高50%，以證券組合來(lái)提供保險(xiǎn)，參數(shù)為：S0=360, X=342, r=, σ=, T=, q=期權(quán)delta值為：這表明，%（即＄127，800，000）應(yīng)該被賣(mài)出并投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券。比無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率少了12%。 （c）如果基金經(jīng)理決定通過(guò)部分無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券組合來(lái)提供保險(xiǎn)，初始頭寸應(yīng)該為多少？ （d）如果基金經(jīng)理決定通過(guò)使用9個(gè)月期指數(shù)期貨來(lái)提供保險(xiǎn)，初始頭寸應(yīng)該為多少?解：（a）一份看跌期權(quán)價(jià)值為因此總的保險(xiǎn)費(fèi)為300，000＝＄19，020，000（b）由看漲看跌平價(jià)關(guān)系表明一份看跌期權(quán)可以這樣構(gòu)造：賣(mài)空的指數(shù)，買(mǎi)一份看漲期權(quán)，剩下的投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。 某個(gè)基金經(jīng)理?yè)碛幸粋€(gè)風(fēng)險(xiǎn)分散的組合，該組合的狀況可由Samp。因此（b）的結(jié)果最佳。是本題中，F(xiàn)0=8， X=8， r=， σ=， T=N（d1）=，所以delta值為因此，1000個(gè)白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為－ ，若進(jìn)行delta套期保值，白銀期貨的初始頭寸至少應(yīng)為多少？如果使用白銀本身，初始頭寸為多少？如果是一年期期貨，初始頭寸應(yīng)為多少？假設(shè)沒(méi)有儲(chǔ)存費(fèi)用。 假設(shè)一股票現(xiàn)價(jià)為＄20，假象一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為25的看漲期權(quán)，由頻繁變化的股票頭寸合成的。交易商計(jì)劃以＄買(mǎi)入，以＄賣(mài)出。”請(qǐng)你解釋這句話(huà)的意思。反之亦然。假設(shè)的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格是。假設(shè)儲(chǔ)存成本為零，若有必要可定義其他變量，計(jì)算遠(yuǎn)期價(jià)格。因此由公式ur=+可得u=（2）由dz+dz=dz3代入。，如果貯存成本為每年1%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%，那么黃金價(jià)格的期望增長(zhǎng)率為多少？解： 由公式ms=ry+u,而=0,r=,y=0,u==。這是因?yàn)檫@種風(fēng)險(xiǎn)是非系統(tǒng)的，它與經(jīng)濟(jì)社會(huì)的其他風(fēng)險(xiǎn)完全不相關(guān)，投資者不能因?yàn)槌袚?dān)這種不可轉(zhuǎn)換的風(fēng)險(xiǎn)而要求更高的回報(bào)。那么6個(gè)月的期貨價(jià)格和6個(gè)月的期望價(jià)格之間有何聯(lián)系？解：y=r+um +s ,已知y==,u=,m=0 ,可求得s=因?yàn)镕=()=，()=所以F=()=()=() 即六個(gè)月的期貨價(jià)格比六個(gè)月的期望價(jià)格高出百分之一。若有必要，可定義其他變量，計(jì)算T時(shí)刻該證券的價(jià)值。解：S0=X, r=, σ=, T=看漲期權(quán)delta為N(d1) 若以年計(jì)，一個(gè)期權(quán)頭寸的theta值為－？若一個(gè)交易者認(rèn)為股票價(jià)格和隱含波動(dòng)率都不會(huì)變，那么期權(quán)頭寸是什么類(lèi)型？解： Theta為－：如果Δt年后，股票價(jià)格和波動(dòng)率都不變。這就是說(shuō)：構(gòu)造一個(gè)合成期權(quán)頭寸的過(guò)程就是對(duì)沖該期權(quán)頭寸的逆過(guò)程。買(mǎi)和賣(mài)的次數(shù)分別大約為16次。第一種情況，股票價(jià)格穩(wěn)定增長(zhǎng)，因此，一直都是買(mǎi)進(jìn)；第二種情況則是不斷的買(mǎi)進(jìn)、賣(mài)出、買(mǎi)進(jìn)、賣(mài)出……最終股票價(jià)格一樣。對(duì)于后者，delta值為=（無(wú)儲(chǔ)存費(fèi)用）。因此（a）的結(jié)果最佳。P500的點(diǎn)數(shù)為300，該組合的經(jīng)理打算購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)，防止在隨后的6個(gè)月中組合價(jià)值下跌超過(guò)5%。該策略和直接買(mǎi)進(jìn)看跌期權(quán)有同樣的效果。因此需要總計(jì)450，000=（300，000）份Samp。 證明代入Θ，Δ，Γ和f，等式（）在以下情況仍成立： （a）不分紅股票的歐式看漲期權(quán) （b）不分紅股票的歐式看漲期權(quán) （c）任何不分紅股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的組合。那么：期權(quán)delta值為：這表明，市場(chǎng)下降之前，%或者＄。解：當(dāng)用樹(shù)圖法估計(jì)美式期權(quán)價(jià)值時(shí)，控制變量技術(shù)主要有以下應(yīng)用：（1）利用二叉樹(shù)圖中常用的的方式對(duì)美式期權(quán)定價(jià)。試問(wèn)這一期權(quán)能否用二叉樹(shù)圖方法定價(jià)？請(qǐng)解釋說(shuō)明。 請(qǐng)說(shuō)明在腳注6所示的情況下，應(yīng)用Cox、Ross和Rubinstein的二叉樹(shù)圖方法時(shí)，概率將出現(xiàn)負(fù)值。，有效期為1年，執(zhí)行價(jià)格為18美元。注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。解：已知，由此得： （1） 。用樹(shù)圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。解： （1）已知： 由此可計(jì)算二叉樹(shù)的有關(guān)參數(shù)如下： 期權(quán)有效期內(nèi)紅利的現(xiàn)值為：美元。 （3）使用第十四章計(jì)算Δ值的公式，計(jì)算歐式期權(quán)的真實(shí)Delta值，不妨記為ΔBS。（3）當(dāng)同時(shí)使用控制變量技術(shù)和對(duì)偶變量技術(shù)時(shí)，可以進(jìn)行以下，模擬： 模擬1：保持股價(jià)波動(dòng)率為常數(shù)，使用樣本。設(shè)時(shí)間間隔為1個(gè)月，估價(jià)間隔為4美元。：已知該證券的一年內(nèi)的收益為x2，其中x為銅價(jià)。假設(shè)該公司將盡可能早的強(qiáng)制轉(zhuǎn)換。解：設(shè)為3個(gè)獨(dú)立正態(tài)分布產(chǎn)生的隨機(jī)樣本， 為所求的來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)樣本,滿(mǎn)足： 其中： 即: Ch16，并希望保證獲得一定的利率水平?；Q開(kāi)始時(shí)，浮動(dòng)利率債券的價(jià)值與本金相等，故互換期權(quán)可被看作執(zhí)行價(jià)格為債券本金的基于固定利率債券的期權(quán)。某個(gè)互換期權(quán)賦予持有者 這樣一種權(quán)利：%。使用正文中的記號(hào)，某天i時(shí)LIBOR高于的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為，其中： LIBOR低于的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為其中： 所以對(duì)應(yīng)于第i天的兩值期權(quán)的總價(jià)值為： ，是否需要凸度調(diào)整：(a) 我們想要對(duì)某個(gè)差價(jià)期權(quán)進(jìn)行估價(jià)，該期權(quán)的收益為每季度5年期的互換率 超過(guò)3個(gè)月的LIBOR的超額部分（如果存在這個(gè)差額的話(huà)），本金為100美元。 （B）當(dāng)使用水平的波動(dòng)率為5年期利率上限估值時(shí)，對(duì)每一個(gè)給定的利率期權(quán)元使用相同的波動(dòng)率估值，此時(shí)水平的波動(dòng)率將作為利率上限到期日的一個(gè)函數(shù)。解：由定義有： 為指在其它變量保持不變的條件下，債券價(jià)格價(jià)格給上漲一美元，該國(guó)債的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格將下跌美元。解： 已知： 由式（）有： 、Gamma、Vega值。解： 期權(quán)價(jià)值并不總是期權(quán)到期日的增函數(shù)，理由如下：（1）該期權(quán)為歐式期權(quán)，故到期日長(zhǎng)的期權(quán)的執(zhí)行機(jī)會(huì)并不一定包含到期日短的期權(quán)的所有的執(zhí)行機(jī)會(huì)，因?yàn)樗荒茉诘狡谌請(qǐng)?zhí)行。 則在期權(quán)到期日：若債券價(jià)格上漲到。其中： 是債券的遠(yuǎn)期價(jià)格。因此組合C與組合D在到期日價(jià)值相等。若市場(chǎng)互換率低于。（2）需要對(duì)遠(yuǎn)期利率進(jìn)行凸度調(diào)整，為了計(jì)算該凸度調(diào)整的大小，設(shè)y為按季度計(jì)復(fù)利的債券收益率，P(y)為一年期債券的價(jià)格。設(shè)y為按年計(jì)復(fù)利的債券收益率，P(y)為該5年金融工具的2年期債券的價(jià)格（將該金融工具分解為債券的組合），則： 將y=： 則由式（）知，該凸度調(diào)整的大小為： +=%，該金融工具的真實(shí)價(jià)值為： ： 和是和的函數(shù)，是維納過(guò)程。請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)短期利率為以上行為過(guò)程時(shí)，為什么就不存在套利機(jī)會(huì)？解：如果某個(gè)股票價(jià)格為均值回復(fù)或遵循某種路徑依賴(lài)的過(guò)程,當(dāng)短期利率為均值回復(fù)或遵循某種路徑依賴(lài)過(guò)程,.3．假設(shè)當(dāng)前短期利率為4%，其標(biāo)準(zhǔn)偏差為年率1%。同時(shí) 定義 債券價(jià)格約為8．假設(shè)在初始短期利率為5%的Vasicek的模型中，a=,b==。執(zhí)行價(jià)格為債券將要支付的現(xiàn)金價(jià)格（不是報(bào)價(jià)）。假設(shè)利率期限結(jié)構(gòu)是水平的，為6%（按半年計(jì)復(fù)利）。它表明是短期利率的漂移率。只有三步變化，我們是達(dá)不到所要求點(diǎn)的。在D點(diǎn)的價(jià)值為：。在B點(diǎn)的價(jià)格是。解：一個(gè)回望期權(quán)看漲期權(quán)的收益為 —一個(gè)回望期權(quán)看跌期權(quán)的收益為 —因此具有同樣有效期的一個(gè)回望期權(quán)看漲期權(quán)和一個(gè)回望期權(quán)看跌期權(quán)的組合的收益為 —。 假設(shè)C1 和P1是執(zhí)行價(jià)格為 X，有效期為T(mén)的歐式平均價(jià)格看漲期權(quán)和歐式平均價(jià)格看跌期權(quán)的價(jià)格，C2和P2是有效期為T(mén)的歐式平均執(zhí)行價(jià)格看漲期權(quán)和歐式平均執(zhí)行價(jià)格看跌期權(quán)的價(jià)格，C3和P3是執(zhí)行價(jià)格為X，有效期為T(mén)的常規(guī)歐式看漲期權(quán)和常規(guī)歐式看跌期權(quán)的價(jià)格。解；當(dāng)≥時(shí)，有 = （）—（—）— （/ ）（）+X （—） 其中 = (/ ) / , = ( / ) / 因?yàn)?(— +/2) / 此時(shí)將=帶入有=，可得=— （）+ （—）當(dāng)≤時(shí)， 有 =（）— （ —），其中 = ［/（）］/ +，= (—+/2) / 因?yàn)?— ，=— （）+ （—）當(dāng)= 時(shí)，有= 因此，兩個(gè)公式是一樣的。解： 圖形如下 對(duì)于（）=（）/（）, （）表示到時(shí)間t為止的最小匯率，（）表示即期匯率。在時(shí)刻，現(xiàn)金頭寸是 ， 這就要求執(zhí)行期權(quán)，如果在時(shí)刻執(zhí)行期權(quán)，組合的最終價(jià)值就是MAX（， ），同時(shí)也說(shuō)明了至少是 ，這意味著提前執(zhí)行不可能是最優(yōu)的。當(dāng)前黃金和白銀的價(jià)格分別為＄380和＄4，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，每個(gè)商品價(jià)格的波動(dòng)率為10%，每個(gè)商品價(jià)格的波動(dòng)率為20%，忽略存儲(chǔ)成本。同樣的原因，下降敲進(jìn)看漲期權(quán)的價(jià)值下降。（A）解釋為什么當(dāng)平均價(jià)格是