【正文】 成立： 由以上式子可知，、獨(dú)立于時(shí)間，而、依賴于時(shí)間。原因如下： 此題中最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價(jià)格高出有效期期中最低股價(jià)的部分，即其最終收益不僅與股票在期末時(shí)的價(jià)格有關(guān)，而且決定于股票價(jià)格的運(yùn)動(dòng)路徑，故我們不能使用二叉樹圖方法從后向前推算，從而不能使用二叉樹圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。（記為）（3）使用B—S對(duì)歐式期權(quán)定價(jià)。即，市場(chǎng)下降的結(jié)果導(dǎo)致大約270億的附加資產(chǎn)必須被賣出。 與等式（）相對(duì)應(yīng)的一種貨幣衍生產(chǎn)品的組合的等式是怎樣的？解： 貨幣提供連續(xù)的分紅率rf，這點(diǎn)和股票類似。（a）所以看跌期權(quán)價(jià)值為：所以，保險(xiǎn)費(fèi)總計(jì)為： 450，000＝＄34，326，000（b）策略1：賣出＄354，640，000的股票；2：買進(jìn)450，000Samp。（d）9個(gè)月期指數(shù)期貨合約的delta值為當(dāng)前空頭頭寸必須為除以指數(shù)，所以，空頭頭寸為：份期貨合約。該組合以及Samp。美元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為8%，日元的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，日元的年波動(dòng)率為15%。若使用一年期期貨，=，所以，=。 1000個(gè)白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為多少？該期權(quán)有 效期為8個(gè)月，期權(quán)的標(biāo)的期貨合約有效期為9個(gè)月。（b）再次對(duì)S求二階偏導(dǎo)表示：歐式看跌期權(quán)的gamma值與對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的gamma值相等。因?yàn)樗麄儫o(wú)法足夠快的賣出股票或者指數(shù)期貨以保護(hù)原頭寸免遭損失。 期權(quán)頭寸的gamma是代表什么？當(dāng)一個(gè)期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大的負(fù)值時(shí)，并且delta為零，其風(fēng)險(xiǎn)是什么？解：Gamma代表某種標(biāo)的資產(chǎn)的衍生證券組合的delta變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率。解：由題意可假設(shè)現(xiàn)時(shí)刻一股IBM股票剛好可兌換兩股柯達(dá)股票，那么六個(gè)月后一股IBM股票兌兩股柯達(dá)股票的期權(quán)價(jià)格即是后者與前者的遠(yuǎn)期價(jià)格之差，令SS20分別是IBM股票和柯達(dá)股票的現(xiàn)時(shí)刻價(jià)格，即S10=2S20；再令mm2分別是兩股票的預(yù)期增長(zhǎng)率，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中兩者的預(yù)期增長(zhǎng)率為m1 、 m1 ， IBM股票和柯達(dá)股票六個(gè)月的遠(yuǎn)期價(jià)格為S10 、 S20 所以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)價(jià)格為2S20 S10 ，即與利率無(wú)關(guān)，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理將其應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)世界中同樣成立，其波動(dòng)率為一常數(shù)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率也為常數(shù)。問(wèn)在下6個(gè)月中預(yù)期銅價(jià)的相應(yīng)增長(zhǎng)率為多少？ 解：由上題知道F=()。解：假定兩個(gè)無(wú)紅利支付交易證券的價(jià)格分別為S1和S2，而依賴于它們的衍生工具的價(jià)格為f，可以得到如下等式：dS1=u1S1dt+1S1dz1 。若銅的價(jià)格固定，則該證券的波動(dòng)率為每年8%；如果日元對(duì)美元的匯率固定，則該證券的波動(dòng)率為每年12%。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為每年7%。 dS2=u2S2dt+2S2dz2又根據(jù)Ito定理可得式： 由 可得 所以，根據(jù)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合特性：我們可以得到等式：因此。而=，s=, =, F== 可求得()==，()=，所以m=即期望增長(zhǎng)率為負(fù)百分之三。證明在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中：其中為時(shí)刻商品的價(jià)值，是到期日時(shí)刻期貨合約的價(jià)格。當(dāng)一個(gè)期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大負(fù)值，而delta為0，風(fēng)險(xiǎn)在于：如果資產(chǎn)價(jià)格有大的變化（上升或下降），該交易者會(huì)遭受巨大損失。1987年10月19日，市場(chǎng)下跌的太快，以至于證券組合不能及時(shí)做出反應(yīng)。（c）對(duì)σ求偏導(dǎo)表示：歐式看漲期權(quán)的vega值與對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的vega值相等。當(dāng)前9個(gè)月期的白銀期貨價(jià)格為每盎司＄，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為每盎司＄，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%，白銀價(jià)格的年波動(dòng)率為18%。 一家公司打算對(duì)一個(gè)貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的多頭頭寸組合進(jìn)行delta套期保值。計(jì)算并解釋說(shuō)明期權(quán)的delta，vega，theta和rho。P500的紅利率為3%，指數(shù)的年波動(dòng)率為30%。 ，年紅利率為4%。P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1170，執(zhí)行期6個(gè)月；3：投資剩余現(xiàn)金于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。貨幣衍生產(chǎn)品組合的微分等式為：因此：類似的，對(duì)于獨(dú)立于期貨價(jià)格的衍生產(chǎn)品組合， 假設(shè)要為＄700億的權(quán)益資產(chǎn)組合做個(gè)保險(xiǎn)計(jì)劃。Ch1Gamma、Vega、Theta和Rho參數(shù)，哪一個(gè)可以通過(guò)構(gòu)造單一的二叉樹圖來(lái)估值？解：由式（）、（）和（），Delta、Gamma和Theta可以通過(guò)構(gòu)造單一的二叉樹圖直接估值；由Vega的定義知，可以通過(guò)對(duì)股價(jià)波動(dòng)率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個(gè)二叉樹圖間接估值；由Rho的定義知，可以通過(guò)對(duì)利率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個(gè)二叉樹圖間接估值。（記為） 美式期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值是?！皩?duì)于支付紅利的股票，其股價(jià)的樹圖不重合，但從股價(jià)中減去將來(lái)的紅利的現(xiàn)值之后，其樹圖重合。當(dāng)用二叉樹方法對(duì)期權(quán)定價(jià)時(shí)，二叉樹圖的形態(tài)僅依賴于、故標(biāo)的股指的紅利收益率為時(shí)間的函數(shù)與其為常數(shù)所用的二叉樹圖的形態(tài)相同，不同的是在計(jì)算每個(gè)不同時(shí)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的期權(quán)的價(jià)值時(shí)，值應(yīng)該隨著時(shí)間作相應(yīng)的調(diào)整，然后重復(fù)與收益率為常數(shù)時(shí)計(jì)算期權(quán)價(jià)值的程序。用樹圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12%，期貨價(jià)格的波動(dòng)率為年率25%。（4） 對(duì)應(yīng)于（1）的 Delta參數(shù)為： 對(duì)應(yīng)于（2）的 Delta參數(shù)為： 對(duì)應(yīng)于（3）的 Delta參數(shù)為： 故用控制變量法計(jì)算出的Delta參數(shù)修正值為：注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。該股價(jià)的市價(jià)為30美元，執(zhí)行價(jià)格為34美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，不支付紅利的股價(jià)部分的波動(dòng)率為年率30%。并可估計(jì)Delta和Theta參數(shù)分別如下： （2）Black近似方法計(jì)算該股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格： 由于 故存在提前執(zhí)行的可能。解：（1）在本題中，由于股價(jià)及其波動(dòng)率均為隨機(jī)變量，故蒙特卡羅模擬需要來(lái)自于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)樣本集：第一個(gè)樣本集用來(lái)模擬及產(chǎn)生股價(jià)波動(dòng)率的運(yùn)動(dòng)，第二個(gè)樣本集是在股價(jià)波動(dòng)率運(yùn)動(dòng)確定的條件下用來(lái)模擬及產(chǎn)生股價(jià)的運(yùn)動(dòng)。 模擬5：使用樣本和。，假設(shè)一年中利率的期限結(jié)構(gòu)是水平的，并且 其中,和為已知常數(shù)，為一年內(nèi)到期的利率；為一個(gè)Wiener過(guò)程。在構(gòu)造二叉樹圖模型時(shí)，請(qǐng)將該有效期等分為4個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期3個(gè)月。，如何應(yīng)用有限差分方法？解：在紅利已知的情況下。需要考慮的股價(jià)的最高價(jià)格 等于18美元，如果股價(jià)到了，則可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值為36美元。在重新設(shè)定日，3個(gè)月期的LIBOR為年率12%。解：對(duì)某個(gè)特定的抵押擔(dān)保證券提供的經(jīng)過(guò)期權(quán)調(diào)整的差價(jià)是155個(gè)基本點(diǎn)，即指在考慮了抵押擔(dān)保證券中所有關(guān)于期權(quán)的因素后，%。用Black模型為該互換期權(quán)定價(jià)。盈虧 在這些利率出現(xiàn)后的90天發(fā)生。這段時(shí)間內(nèi)的利率波動(dòng)率為年率12%（按季度復(fù)利報(bào)價(jià)），%（按連續(xù)復(fù)利計(jì)算），遠(yuǎn)期利率的波動(dòng)率為年率12%。使用Black模型為該期權(quán)定價(jià)。，本金為1000美元?！吹絻r(jià)關(guān)系。若債券價(jià)格下跌到。則在期權(quán)到期日： 若債券價(jià)格上漲到 。解：歐洲互換期權(quán)之間的看漲—看跌平價(jià)關(guān)系是： 其中：是支付固定利率收到浮動(dòng)利率的互換的看漲期權(quán)的價(jià)格，是支付浮動(dòng)利率收到固定利率的看跌期權(quán)的價(jià)格，是以支付浮動(dòng)利率收到固定利率的互換期權(quán)為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約的價(jià)值。反之，如果利率上限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率不等于利率下限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率，則上式不成利，即此時(shí)存在套利機(jī)會(huì)。計(jì)算如下金融工具的價(jià)值：在5年內(nèi)，收取2年期互換率（年復(fù)利），支付10%的固定利率。，支付日的浮動(dòng)利率的支付額是前一支付日的浮動(dòng)利率計(jì)算而得的。第二個(gè)不確定因素導(dǎo)致長(zhǎng)期利率和短期利率朝相反方向運(yùn)動(dòng).5．請(qǐng)解釋馬爾科夫和非馬爾科夫利率模型之間的區(qū)別。歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)之間的看漲看跌平價(jià)關(guān)系是怎么樣的？證明在這種情況下，看漲期權(quán)價(jià)格和看跌期權(quán)價(jià)格滿足看漲看跌平價(jià)關(guān)系。定義此點(diǎn)的值為，我們必須滿足等式：求出結(jié)果：=，因此和11．。定義此點(diǎn)上的R值為。解：在Hull—White模型中，瞬時(shí)期貨利率的表達(dá)式為： 所以 從等式（）這個(gè)是，的漂移率。在結(jié)點(diǎn)B它的值為；在結(jié)點(diǎn)C的值為；在結(jié)點(diǎn)D的值為。因?yàn)椋?年期債券的價(jià)格和初始期限結(jié)構(gòu)一致。？解：考慮a=, =，=，=。在兩年有效期期末之前做出選擇是最佳的嗎？請(qǐng)解釋原因。解：由看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系+ =+得到 MAX (, ) = MAX ［ , + — ］ = + MAX［0, —］由此可得，任選期權(quán)可以分解為一份執(zhí)行價(jià)格為，到期日為 的看漲期權(quán)和 份執(zhí)行價(jià)格為, 到期日為 的看跌期權(quán)。 利用三時(shí)間步長(zhǎng)樹圖估算某貨幣的美式回望看漲期權(quán)的價(jià)值，國(guó)內(nèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率5%，國(guó)外無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率8%，匯率波動(dòng)率為年率15%，有效期為18個(gè)月。計(jì)算幾何平均是從今天開始直到期權(quán)到期日。，A（t）遵循什么樣的過(guò)程？其中A（t）是零時(shí)刻和時(shí)刻之間股票價(jià)格的算術(shù)平均值。（A）為什么基于某個(gè)看漲期權(quán)的歐式看漲期權(quán)與基于某個(gè)看漲期權(quán)的歐式看跌期權(quán)之間存在看跌期權(quán)—看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系？證明在課文中的給出的公式滿足這個(gè)關(guān)系式。同樣，如果障礙水平?jīng)]有達(dá)到，下降敲進(jìn)期權(quán)是沒有價(jià)值的，但下降敲出期權(quán)的價(jià)值和常規(guī)期權(quán)的價(jià)值一樣。對(duì)于美式看漲期權(quán)，這個(gè)結(jié)論并不是成立的。解：（A）由看漲期權(quán)—看跌期權(quán)的關(guān)系得：+ =+ 其中是基于看漲期權(quán)的看漲期權(quán)價(jià)格，是基于看漲期權(quán)的看跌期權(quán)的價(jià)格，（, , ）= ()— (,—,—)= ()— (— , , —)在附錄11C中，N（）=1— N (— ), 由此可得，–= （）— （）— 因?yàn)?= （）— （）所以可得– = — ,與公式一致。？解：一個(gè)亞式期權(quán)的收益隨著時(shí)間的推移，會(huì)變得越來(lái)越穩(wěn)定，當(dāng)快要接近到期日時(shí)，Delta趨近于0，這就使得Delta對(duì)沖非常容易。由圖形可得期權(quán)的價(jià)值為＄ 增長(zhǎng)。其圖如下： 在以上的圖中，在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處，上面的數(shù)字表示匯率，中間的數(shù)字表示最小匯率，下面的數(shù)字表示期權(quán)的價(jià)值。第一個(gè)適用于障礙H小于或等于執(zhí)行價(jià)格X的情況。因?yàn)閷?duì)于歐式期權(quán)，不能提前執(zhí)行，只能在到期日?qǐng)?zhí)行，所以在期限內(nèi)的任何時(shí)候做出選擇，所形成的現(xiàn)金流都是一樣的。解：遠(yuǎn)期開始期權(quán)是現(xiàn)在支付期權(quán)費(fèi)，但是在未來(lái)的某個(gè)時(shí)刻開始，執(zhí)行價(jià)格與期權(quán)合約開始時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格相等。解：在樹圖末點(diǎn)，18個(gè)月零息債券必須支付＄100。解：2年零息債券在末結(jié)必須支付＄100。為Hull—White模型建造一個(gè)三個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的三叉樹，每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)為1年。16．在HullWhite模型中，遠(yuǎn)期利率F（t,T）遵循什么過(guò)程？ 解：在HullWhite模型中，T時(shí)刻到期的瞬態(tài)遠(yuǎn)期利率的瞬態(tài)標(biāo)準(zhǔn)差是 回復(fù)率參數(shù)a決定標(biāo)準(zhǔn)差隨到期日而下降的速率。此題中：c=, ,所以，看跌期權(quán)價(jià)格為：12．在HullWhite的模型中，a=, =?？礉q看跌平價(jià)關(guān)系滿足：10．假設(shè)在初始短期利率為6%的Vasicek的模型中a=,b=, =。解：:在任意給定的時(shí)間,這種討論是不正確的.7．假設(shè)在Vasicek模型和Cox,Ingersoll,Ross模型中a=,，初始短期利率為10%，初始短期利率的標(biāo)準(zhǔn)差為2%。請(qǐng)描述如何對(duì)“arrears”互換進(jìn)行估值。假設(shè)每年交換一次支付額，互換利率的波動(dòng)率為年率20%。解： 答案是肯定的。 組合B：一份支付固定利率收到浮動(dòng)利率的互換的看漲期權(quán)的多頭合約和一份遠(yuǎn)期互換。因此組合C與組合D在到期日價(jià)值相等。因此組合A與組合B在到期日的價(jià)值相等。其中：債券的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，是相應(yīng)的債券的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格，是期權(quán)有效期內(nèi)債券利息支付的現(xiàn)值，是執(zhí)行價(jià)格，是期權(quán)有效期內(nèi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是期權(quán)有效期，是債券的價(jià)格。解：4年期債券本金的現(xiàn)值為：由此可求出紅利的現(xiàn)值是： 因此5年期債券的遠(yuǎn)期價(jià)格為：則Black模型的參數(shù)如下：從而有：故該歐式看漲期權(quán)定價(jià)