【正文】 這就是為什么一個(gè)下降敲出看漲期權(quán)加上一個(gè)下降敲進(jìn)看漲期權(quán)是一個(gè)常規(guī)期權(quán)。（B）為什么基于某個(gè)看跌期權(quán)的歐式與基于某個(gè)看跌期權(quán)的歐式看跌期權(quán)之間存在看跌期權(quán)—看漲期權(quán)的平價(jià)關(guān)系？證明在課文中給出的公式滿足這個(gè)要求。解：假設(shè)我們從0時(shí)刻開(kāi)始，（+△）與（）有如下關(guān)系： （+△）（+△）= （）+ （）△其中，（）表示在時(shí)刻股票的價(jià)格, △的高階項(xiàng)被忽略不計(jì)，有（+△）= （）［1—△ / ］+ （）△/當(dāng)△趨近于0時(shí)，（）= ［（）—（）］/ （）的過(guò)程是一個(gè)隨機(jī)漂移，沒(méi)有項(xiàng)，隨著時(shí)間的推移，在下一個(gè)微小的時(shí)間段的變化對(duì)平均值只是一個(gè)二階的影響，如果等于，平均值就不漂移，如果大于，則平均值就向上漂移，如果小于，則平均就向下漂移。解： = 40，X= 40，= = = △= , 由此可得：= = ， =1/= ， = = ， P= (—) / (—) = 1—= 圖形如下： 期權(quán)的收益為40— ，表示幾何平均，在每個(gè)結(jié)點(diǎn)，上面的數(shù)字代表匯率，中間的數(shù)字代表幾何平均，下面的數(shù)字代表期權(quán)的價(jià)值。解：=，=，=，=，=，△= 可得 = =，= 1/= ， = = ，= (—) / (—) = 1— = 美式回望看漲期權(quán)的收益為—。 。解：在兩年有效期期末之前做出選擇不是最佳的。=，=%.期貨利率按季度計(jì)復(fù)利是年率6%，按連續(xù)復(fù)利計(jì)算是年率6%，=%Ch18 解釋遠(yuǎn)期開(kāi)始期權(quán)和任選期權(quán)之間的差別。23．，并證明它與初始期限結(jié)構(gòu)一致。因此在A點(diǎn)債券的值為： 22．，并證明它與初始期限結(jié)構(gòu)一致。19．假設(shè)a=, =,l利率期限結(jié)構(gòu)是水平的，為年率10%。滿足等式15．在HoLee模型中，遠(yuǎn)期利率F（t,T）遵循什么過(guò)程？解：在HoLee模型中，短期利率未來(lái)運(yùn)動(dòng)的平均方向近似等于瞬態(tài)遠(yuǎn)期利率曲線的斜率，遠(yuǎn)期利率的 標(biāo)準(zhǔn)差為。解：由看漲看跌平價(jià)關(guān)系得到： 或 這里定義c為看漲期權(quán)價(jià)格，X為執(zhí)行價(jià)格，I為利息現(xiàn)值，為債券價(jià)格。解：歐式看跌期權(quán)價(jià)格為： 因?yàn)槭菬o(wú)息債券,看漲—看跌平價(jià)關(guān)系表明,，執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值是。解：,變量的初始值保證我們的模型與初始期限結(jié)構(gòu)一致,但該模型通常是非馬爾科夫的過(guò)程.6．，請(qǐng)問(wèn)：該方法是否可以與某個(gè)兩因素模型結(jié)合起來(lái)使用？請(qǐng)解釋你的答案。在一個(gè)“arrears”互換中，浮動(dòng)利率的支付額是由該支付日的浮動(dòng)利率計(jì)算而來(lái)的。年金都是100美元。 ？請(qǐng)解釋。為了證明該平價(jià)公式，考慮以下投資組合： 組合A：一份支付浮動(dòng)利率收到固定利率的看跌期權(quán)的多頭合約。對(duì)于組合C，則放棄執(zhí)行期權(quán)，交割債券遠(yuǎn)期合約，即以現(xiàn)金購(gòu)入一份債券，并以價(jià)格賣(mài)出，最終組合C的總價(jià)值為；對(duì)于組合D，則執(zhí)行債券的看漲期權(quán)，即以價(jià)格購(gòu)入一份債券，并以價(jià)格賣(mài)出，最終組合D的總價(jià)值也為。對(duì)于組合A，則執(zhí)行債券的看跌期權(quán)，以執(zhí)行價(jià)格 將持有的一份債券賣(mài)出，最終組合A的總價(jià)值為；對(duì)于組合B，則放棄執(zhí)行債券的看漲期權(quán)，最終組合B的總價(jià)值也為。解：債券期權(quán)之間的看漲—看跌平價(jià)關(guān)系有兩種表述方式，相應(yīng)的有兩個(gè)證明過(guò)程，分別如下：（1）。5年期債券價(jià)格為105美元，息票利息相同的4年期債券的價(jià)格為102美元，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為100美元，4年期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%（按連續(xù)復(fù)利計(jì)息），4年內(nèi)債券價(jià)格的波動(dòng)率為2%。使用Black模型和如下信息，為該期權(quán)估值：9個(gè)月期歐洲美元期貨價(jià)格報(bào)價(jià)為92美元。同時(shí)考慮如下兩種情況：執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)于債券現(xiàn)金價(jià)格；以及執(zhí)行價(jià)格對(duì)應(yīng)于債券報(bào)價(jià)。解：已知： 則由式（）有： 由式（）有，該期權(quán)的價(jià)格為： （美元）。解：（a）需要凸度調(diào)整。解：由題意知，該互換期權(quán)可看作關(guān)于固定利率RX的看跌期權(quán)，可使用式（）進(jìn)行定價(jià)。根據(jù)利率上限，需如何支付？什么時(shí)候支付？解：已知：，由式（）得發(fā)行利率上限的金融機(jī)構(gòu)應(yīng)向該公司支付的金額為： （萬(wàn)美元） 在3個(gè)月以后支付。在到期日，可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值為,其中為到期日的股票價(jià)格。這時(shí)，我們只需將原來(lái)使用的S換為S*(股價(jià)減去衍生證券有效期內(nèi)所產(chǎn)生所有紅利的現(xiàn)值之和)，然后針對(duì)S*使用有限差分方法，不過(guò)此時(shí)應(yīng)該注意的是：當(dāng)使用這種方法時(shí)，就應(yīng)該估計(jì)S*的波動(dòng)率，而不是S的波動(dòng)率。解：由得：。請(qǐng)討論一下在用二叉樹(shù)圖方法表示的運(yùn)動(dòng)時(shí)所遇到的問(wèn)題。 模擬6：使用樣本和。在第二次模擬中使用的控制變量技術(shù)假設(shè)股價(jià)波動(dòng)率為常數(shù)，且使用與第一次模擬中相同的隨機(jī)數(shù)流生成股價(jià)的運(yùn)動(dòng)，從而對(duì)期權(quán)價(jià)格估計(jì)值改進(jìn)如下： 其中：為第一次模擬中算出的期權(quán)價(jià)值（此時(shí)股價(jià)波動(dòng)率隨機(jī)），為第一次模擬中算出的期權(quán)價(jià)值（此時(shí)股價(jià)波動(dòng)率為常數(shù)），為用Black—Scholes期權(quán)定價(jià)公式中算出的期權(quán)價(jià)值（此時(shí)股價(jià)波動(dòng)率為常數(shù)）?，F(xiàn)比較在提前執(zhí)行期權(quán)預(yù)提前執(zhí)行期權(quán)的情況下，該股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格的大?。? 一、假設(shè)期權(quán)于最后除權(quán)日瞬時(shí)執(zhí)行，此時(shí)： 則由B—S公式有： 美元。請(qǐng)將該有效期等分為6個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期1個(gè)月。 0 0 0 0 0 0 注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。請(qǐng)將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期三個(gè)月。請(qǐng)用控制變量技術(shù)對(duì)這一估計(jì)進(jìn)行修正。 請(qǐng)解釋說(shuō)明為什么蒙特卡羅模擬不適用于于美式衍生證券的定價(jià)?！闭?qǐng)解釋這一論述。 某谷物期貨的美式看漲期權(quán)，有效期為9個(gè)月，期貨市價(jià)為198美分，執(zhí)行價(jià)格為200美分，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率8%，波動(dòng)率為年率30%。，有效期3個(gè)月，股票市價(jià)和執(zhí)行價(jià)格均為60美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，波動(dòng)率為45%。假設(shè)此計(jì)劃可防止資產(chǎn)價(jià)值在一年內(nèi)下跌不超過(guò)5%。（c）證券組合的波動(dòng)率比Samp。解： 6個(gè)月內(nèi)，證券組合價(jià)值下跌5%，證券組合的總回報(bào)，包括分紅，為：－5+2=3%即每年6%。 （a）如果基金經(jīng)理購(gòu)買(mǎi)可交易歐式看跌期權(quán)，保險(xiǎn)費(fèi)為多少？ （b）詳細(xì)解釋包括可交易歐式看漲期權(quán)在內(nèi)的幾種策略，并說(shuō)明他們?nèi)绾蔚玫较嗤慕Y(jié)果。解：本題中，看漲期權(quán)的delta值為所以看漲期權(quán)的gamma值為看漲期權(quán)的vega值為看漲期權(quán)的theta值為 + ＝－看漲期權(quán)的rho為 ＝ ＝解釋：delta表示，現(xiàn)價(jià)上升一個(gè)小量，；vega表示，當(dāng)波動(dòng)率上升一個(gè)小量，；theta表示，時(shí)間過(guò)去一個(gè)小量，；rho表示，利率上升一個(gè)小量。請(qǐng)解釋下面哪種情況結(jié)果最佳？解： 無(wú)論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，多頭頭寸都有正的gamma值，意味著，對(duì)于套期保值者，股票價(jià)格大幅波動(dòng)比穩(wěn)定的效果要好。解： 期貨的歐式看漲期權(quán)的delta值是期權(quán)價(jià)格變化和期貨價(jià)格的比率。（d）對(duì)T求偏導(dǎo)歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的theta值存在以上關(guān)系。 一個(gè)執(zhí)行價(jià)格為＄40的處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)，其blackscholes公式的價(jià)格為＄。 “構(gòu)造一個(gè)合成期權(quán)頭寸的過(guò)程就是對(duì)沖該期權(quán)頭寸的逆過(guò)程。解：由第11章我們可得，而，即所以，Ch14 ？，如何使一個(gè)1000個(gè)看漲期權(quán)的空頭變成delta中性？解：：當(dāng)股票價(jià)格上漲一個(gè)小量ΔS時(shí)，期權(quán)價(jià)格上漲70%ΔS。： 其中、和是正常數(shù)。（ST—K）日元，其中ST是T時(shí)刻黃金的價(jià)格，K是以美元計(jì)的交割價(jià)格。證券的預(yù)期回報(bào)率為多少？如果兩個(gè)變量彼此之間是不相關(guān)的，該證券的波動(dòng)率為多少？解：（1） 令u為證券的預(yù)期收益率，已知無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r=，銅價(jià)和日?qǐng)A兌美圓匯率的風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格分別為==，銅價(jià)固定時(shí)匯率引起的證券波動(dòng)率為=，匯率固定時(shí)銅價(jià)引起的證券波動(dòng)率為=。：銅的價(jià)格和日元兌美元的匯率。，推導(dǎo)出這個(gè)衍生工具的微分方程。，銅的年波動(dòng)率為20%，即期價(jià)格為每磅80美分，6個(gè)月期貨價(jià)格為每磅75美分。解：假設(shè)、分別是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和石油價(jià)格增長(zhǎng)率，是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率：，以及考慮本題有而根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)知道所以,T時(shí)刻該證券的價(jià)值為：6個(gè)月后以一股IBM股票兌兩股柯達(dá)股票的期權(quán)價(jià)格與利率無(wú)關(guān)。如果交易者認(rèn)為股票價(jià)格和隱含波動(dòng)率都不會(huì)變，期權(quán)頭寸會(huì)選擇一個(gè)盡可能高的theta值，相對(duì)來(lái)說(shuō)，短期平價(jià)期權(quán)具有最高的theta值。 為什么在1987年10月19日證券組合的保險(xiǎn)方式失效了？解： 如果指數(shù)波動(dòng)率變化迅速或者股票指數(shù)產(chǎn)生很大的跳躍，那么構(gòu)造基于指數(shù)的合成看跌期權(quán)不是很有效的辦法。 利用看漲看跌期權(quán)之間的平價(jià)關(guān)系推導(dǎo)不分紅股票的如下二者之間的關(guān)系： （a）一個(gè)歐式看漲期權(quán)的delta值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的delta值 （b）一個(gè)歐式看漲期權(quán)的gamma值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的gamma值 （c）一個(gè)歐式看漲期權(quán)的vega值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的vega值 （d）一個(gè)歐式看漲期權(quán)的theta值和一個(gè)歐式看跌期權(quán)的theta值解：對(duì)于不分紅股票，根據(jù)看漲看跌平價(jià)關(guān)系有：在t時(shí)刻，（a）對(duì)S求偏導(dǎo)或者這表示，歐式看跌期權(quán)的delta值等于對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的delta值減去1。顯然后者比前者花費(fèi)更高。因此，期貨頭寸的當(dāng)前delta值為－=。 一個(gè)金融機(jī)構(gòu)剛剛賣(mài)出一些日元的7個(gè)月期歐式看漲期權(quán)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為6%。（c）一份看跌期權(quán)的delta值為表示，初始頭寸為，%（即＄119，770，000）并投資于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券。P500看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1170，執(zhí)行時(shí)間為6個(gè)月。解：（a）對(duì)于不分紅股票的歐式看漲期權(quán)，等式左邊等于：（b）對(duì)于不分紅股票的歐式看跌期權(quán)，等式左邊等于：（c）對(duì)于期權(quán)組合，П，Δ，Θ和Γ是證券組合中的單個(gè)期權(quán)的價(jià)值的總和，因此。下降以后，期權(quán)delta值下降為這表明，%或者＄492億（以下跌前價(jià)格衡量）。（記為）（2）使用與（1）中相同的二叉樹(shù)圖，并保持所有的參數(shù)不變，對(duì)相應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)。解：這一期權(quán)不能用二叉樹(shù)圖方法定價(jià)。解：在腳注6所示的情況下，即或，故有或，此即： 或 則概率或。股票市價(jià)為20美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年率15%，股價(jià)的波動(dòng)率為年率40%。 0 0 0 0 0 20 20 20 0 注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。（2） 。解：已知： 由此可計(jì)算二叉樹(shù)的有關(guān)參數(shù)如下： 計(jì)算二叉樹(shù)圖的結(jié)果如下： 0 0 0 0 0 484 484 484 0 。 所以美元。 由控制變量法的思想知，改進(jìn)后該美式期權(quán)的Delta估計(jì)值為