【正文】 Ch13？解： 不是可交換證券價格的變量的風險市場價格是通過求可交換證券的風險市場價格而來，但必須滿足該可交換證券的價格與不是可交換證券價格的變量瞬態(tài)完全正相關(guān)。，如果貯存成本為每年1%，無風險年利率為6%，那么黃金價格的期望增長率為多少？解： 由公式ms=ry+u,而=0,r=,y=0,u==。：銅的價格和日元兌美元的匯率。若銅的價格固定，則該證券的波動率為每年8%；如果日元對美元的匯率固定，則該證券的波動率為每年12%。無風險利率為每年7%。證券的預(yù)期回報率為多少？如果兩個變量彼此之間是不相關(guān)的，該證券的波動率為多少？解：（1） 令u為證券的預(yù)期收益率，已知無風險利率r=，銅價和日圓兌美圓匯率的風險市場價格分別為==，銅價固定時匯率引起的證券波動率為=，匯率固定時銅價引起的證券波動率為=。因此由公式ur=+可得u=（2）由dz+dz=dz3代入。其價值主要依賴于如下兩個隨機變量：石油的價格和以探明石油的儲存量。討論：這兩個變量中的風險市場價格為正數(shù)、負數(shù)還是零？解：第二個變量的風險市場價格為0。這是因為這種風險是非系統(tǒng)的，它與經(jīng)濟社會的其他風險完全不相關(guān)，投資者不能因為承擔這種不可轉(zhuǎn)換的風險而要求更高的回報。，推導出這個衍生工具的微分方程。解：假定兩個無紅利支付交易證券的價格分別為S1和S2，而依賴于它們的衍生工具的價格為f，可以得到如下等式：dS1=u1S1dt+1S1dz1 。 dS2=u2S2dt+2S2dz2又根據(jù)Ito定理可得式： 由 可得 所以，根據(jù)無風險組合特性：我們可以得到等式：因此。（ST—K）日元，其中ST是T時刻黃金的價格，K是以美元計的交割價格。假設(shè)儲存成本為零，若有必要可定義其他變量，計算遠期價格。解：假設(shè)是從日圓投資者來看的風險中性世界中的期望值，是T時刻用日圓表示的一美圓的價值，、分別是美圓和日圓的無風險利率，是指數(shù)的紅利收益率，是的瞬時相關(guān)系數(shù)，是S和Q的波動率，F(xiàn)是遠期價格 由本章可得如下等式： 、以及所以，遠期價格%，年貯存成本為1%，無風險利率為年率6%。豆油價格期望增長率為0。那么6個月的期貨價格和6個月的期望價格之間有何聯(lián)系？解：y=r+um +s ,已知y==,u=,m=0 ,可求得s=因為F=()=，()=所以F=()=()=() 即六個月的期貨價格比六個月的期望價格高出百分之一。，銅的年波動率為20%，即期價格為每磅80美分，6個月期貨價格為每磅75美分。問在下6個月中預(yù)期銅價的相應(yīng)增長率為多少？ 解：由上題知道F=()。而=，s=, =, F== 可求得()==，()=，所以m=即期望增長率為負百分之三。： 其中、和是正常數(shù)。假設(shè)的風險市場價格是。當用擴展后的風險中性原理估計一個衍生工具時，漂移率是如何被調(diào)整的？解：題中等式可改寫為：，其中是利率的期望增長率，是它的干擾項，那么在風險中性世界期望增長率為因此，過程變?yōu)?，即，所以，漂移率調(diào)整為,其中S1是標準普爾500指數(shù)的水平，S2是石油的價格。假設(shè)S1和S2都遵循幾何布朗運動且不相關(guān)。若有必要，可定義其他變量，計算T時刻該證券的價值。解：假設(shè)、分別是標準普爾500指數(shù)和石油價格增長率，是無風險利率：，以及考慮本題有而根據(jù)布朗運動知道所以,T時刻該證券的價值為：6個月后以一股IBM股票兌兩股柯達股票的期權(quán)價格與利率無關(guān)。解：由題意可假設(shè)現(xiàn)時刻一股IBM股票剛好可兌換兩股柯達股票，那么六個月后一股IBM股票兌兩股柯達股票的期權(quán)價格即是后者與前者的遠期價格之差，令SS20分別是IBM股票和柯達股票的現(xiàn)時刻價格，即S10=2S20；再令mm2分別是兩股票的預(yù)期增長率，根據(jù)風險中性定價原理，在風險中性世界中兩者的預(yù)期增長率為m1 、 m1 ， IBM股票和柯達股票六個月的遠期價格為S10 、 S20 所以在風險中性世界中期權(quán)價格為2S20 S10 ，即與利率無關(guān)，根據(jù)風險中性定價原理將其應(yīng)用到風險世界中同樣成立，其波動率為一常數(shù)，無風險收益率也為常數(shù)。證明在風險中性的世界中：其中為時刻商品的價值，是到期日時刻期貨合約的價格。解：由第11章我們可得，而，即所以，Ch14 ？，如何使一個1000個看漲期權(quán)的空頭變成delta中性？解：：當股票價格上漲一個小量ΔS時，期權(quán)價格上漲70%ΔS。反之亦然。1000個看漲期權(quán)空頭其Delta是700，可以購買700股使之變成Delta中性。 無風險年利率為10%，股票價格的年波動率為25%，計算標的物為不分紅股票，6個月期兩平期權(quán)歐式看漲期權(quán)的delta值。解：S0=X, r=, σ=, T=看漲期權(quán)delta為N(d1) 若以年計，一個期權(quán)頭寸的theta值為－？若一個交易者認為股票價格和隱含波動率都不會變，那么期權(quán)頭寸是什么類型？解： Theta為－：如果Δt年后，股票價格和波動率都不變。如果交易者認為股票價格和隱含波動率都不會變，期權(quán)頭寸會選擇一個盡可能高的theta值，相對來說，短期平價期權(quán)具有最高的theta值。 期權(quán)頭寸的gamma是代表什么？當一個期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大的負值時，并且delta為零，其風險是什么？解：Gamma代表某種標的資產(chǎn)的衍生證券組合的delta變化相對于標的資產(chǎn)價格變化的比率。當一個期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大負值，而delta為0，風險在于：如果資產(chǎn)價格有大的變化（上升或下降），該交易者會遭受巨大損失。 “構(gòu)造一個合成期權(quán)頭寸的過程就是對沖該期權(quán)頭寸的逆過程。”請你解釋這句話的意思。解： 要為一個期權(quán)套期保值，必須構(gòu)造一個數(shù)量相同、頭寸方向相反的合成期權(quán)。比如說，要為一個看跌期權(quán)多頭套期保值，就必須構(gòu)造一個合成看跌期權(quán)的空頭。這就是說：構(gòu)造一個合成期權(quán)頭寸的過程就是對沖該期權(quán)頭寸的逆過程。 為什么在1987年10月19日證券組合的保險方式失效了？解： 如果指數(shù)波動率變化迅速或者股票指數(shù)產(chǎn)生很大的跳躍，那么構(gòu)造基于指數(shù)的合成看跌期權(quán)不是很有效的辦法。因為他們無法足夠快的賣出股票或者指數(shù)期貨以保護原頭寸免遭損失。1987年10月19日，市場下跌的太快，以至于證券組合不能及時做出反應(yīng)。 一個執(zhí)行價格為＄40的處于虛值狀態(tài)的看漲期權(quán)，其blackscholes公式的價格為＄。交易商計劃以＄買入，以＄賣出。估計股票被買入或賣出的預(yù)期次數(shù)。解：在該策略中，交易者每次買賣股票要花費＄1/8，預(yù)期總成本是＄4，意味著：股票買賣次數(shù)大約為32次。買和賣的次數(shù)分別大約為16次。 利用看漲看跌期權(quán)之間的平價關(guān)系推導不分紅股票的如下二者之間的關(guān)系： （a）一個歐式看漲期權(quán)的delta值和一個歐式看跌期權(quán)的delta值 （b）一個歐式看漲期權(quán)的gamma值和一個歐式看跌期權(quán)的gamma值 （c）一個歐式看漲期權(quán)的vega值和一個歐式看跌期權(quán)的vega值 （d）一個歐式看漲期權(quán)的theta值和一個歐式看跌期權(quán)的theta值解：對于不分紅股票，根據(jù)看漲看跌平價關(guān)系有：在t時刻，（a）對S求偏導或者這表示，歐式看跌期權(quán)的delta值等于對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的delta值減去1。（b）再次對S求二階偏導表示：歐式看跌期權(quán)的gamma值與對應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的gamma值相等。（c）對σ求偏導表示：歐式看漲期權(quán)的vega值與對應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的vega值相等。（d）對T求偏導歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的theta值存在以上關(guān)系。 假設(shè)一股票現(xiàn)價為＄20，假象一個執(zhí)行價格為25的看漲期權(quán)，由頻繁變化的股票頭寸合成的。考慮下面兩種情況： （a）在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價格由＄20穩(wěn)定增長至＄35 （b）股票價格波動劇烈，最終價格為＄35 請解釋哪種方案使合成的期權(quán)更值錢？解釋你的答案。解： 該策略為買高賣低。第一種情況，股票價格穩(wěn)定增長，因此，一直都是買進；第二種情況則是不斷的買進、賣出、買進、賣出……最終股票價格一樣。顯然后者比前者花費更高。 1000個白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為多少？該期權(quán)有 效期為8個月，期權(quán)的標的期貨合約有效期為9個月。當前9個月期的白銀期貨價格為每盎司＄，期權(quán)執(zhí)行價格為每盎司＄，無風險年利率為12%，白銀價格的年波動率為18%。解： 期貨的歐式看漲期權(quán)的delta值是期權(quán)價格變化和期貨價格的比率。是本題中，F(xiàn)0=8， X=8， r=， σ=， T=N（d1）=，所以delta值為因此，1000個白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為－ ，若進行delta套期保值，白銀期貨的初始頭寸至少應(yīng)為多少？如果使用白銀本身，初始頭寸為多少？如果是一年期期貨，初始頭寸應(yīng)為多少？假設(shè)沒有儲存費用。解： 前者指的是期貨delta值，后者指的是現(xiàn)貨delta值。對于前者，從上題的答案得出，要進行delta套期保值。對于后者，delta值為=（無儲存費用）。因此，期貨頭寸的當前delta值為－=。若使用一年期期貨，=，所以，=。 一家公司打算對一個貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的多頭頭寸組合進行delta套期保值。請解釋下面哪種情況結(jié)果最佳？解： 無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，多頭頭寸都有正的gamma值，意味著，對于套期保值者，股票價格大幅波動比穩(wěn)定的效果要好。因此（b）的結(jié)果最佳。 一家金融機構(gòu)擁有一種貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的空頭頭寸組合。解： 無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，空頭頭寸都有負的gamma值，意味著，對于套期保值者，股票價格大幅波動比穩(wěn)定的效果要差。因此（a）的結(jié)果最佳。 一個金融機構(gòu)剛剛賣出一些日元的7個月期歐式看漲期權(quán)。，美元的無風險年利率為8%，日元的無風險年利率為5%，日元的年波動率為15%。計算并解釋說明期權(quán)的delta，vega，theta和rho。解：本題中，看漲期權(quán)的delta值為所以看漲期權(quán)的gamma值為看漲期權(quán)的vega值為看漲期權(quán)的theta值為 + ＝－看漲期權(quán)的rho為 ＝ ＝解釋：delta表示，現(xiàn)價上升一個小量，；vega表示，當波動率上升一個小量，；theta表示，時間過去一個小量，；rho表示，利率上升一個小量。 某個基金經(jīng)理擁有一個風險分散的組合，該組合的狀況可由Samp。P500來反映，價值＄9000萬。Samp。P500的點數(shù)為300，該組合的經(jīng)理打算購買保險，防止在隨后的6個月中組合價值下跌超過5%。無風險年利率為6%。該組合以及Samp。P500的紅利率為3%，指數(shù)的年波動率為30%。 （a）如果基金經(jīng)理購買可交易歐式看跌期權(quán)，保險費為多少？ （b）詳細解釋包括可交易歐式看漲期權(quán)在內(nèi)的幾種策略，并說明他們?nèi)绾蔚玫较嗤慕Y(jié)果。 （c）如果基金經(jīng)理決定通過部分無風險證券組合來提供保險，初始頭寸應(yīng)該為多少？ （d）如果基金經(jīng)理決定通過使用9個月期指數(shù)期貨來提供保險，初始頭寸應(yīng)該為多少?解：（a）一份看跌期權(quán)價值為因此總的保險費為300，000＝＄19，020，000（b）由看漲看跌平價關(guān)系表明一份看跌期權(quán)可以這樣構(gòu)造：賣空的指數(shù)，買一份看漲期權(quán)，剩下的投資于無風險資產(chǎn)。應(yīng)用到本題情況，該基金經(jīng)理應(yīng)該：1） 賣出360 =＄354，640，000的股票2） 買入300，000份Samp。P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價1140，期限為6個月3） 投資剩余現(xiàn)金到無風險資產(chǎn)獲得每年6%的無風險利率。該策略和直接買進看跌期權(quán)有同樣的效果。（c）一份看跌期權(quán)的delta值為表示，初始頭寸為，%（即＄119，770，000）并投資于無風險證券。（d）9個月期指數(shù)期貨合約的delta值為當前空頭頭寸必須為除以指數(shù)，所以，空頭頭寸為：份期貨合約。 ，年紅利率為4%。解： 6個月內(nèi)，證券組合價值下跌5%，證券組合的總回報，包括分紅，為：－5+2=3%即每年6%。比無風險年利率少了12%。，那么可以預(yù)測，市場回報率比無風險利率少8%，即為－2%。既然紅利率為3%，可以預(yù)測市場指數(shù)每年下降5%，%，市場預(yù)計會下降到1170。因此需要總計450，000=（300，000）份Samp。P500看跌期權(quán)，執(zhí)行價1170，執(zhí)行時間為6個月。（a）所以看跌期權(quán)價值為：所以，保險費總計為： 450，000＝＄34，326，000（b）策略1：賣出＄354，640，000的股票；2：買進450，000Samp。P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價1170，執(zhí)行期6個月；3：投資剩余現(xiàn)金于無風險資產(chǎn)。（c）證券組合的波動率比Samp。P500高50%，以證券組合來提供保險，參數(shù)為：S0=360, X=342, r=, σ=, T=, q=期權(quán)delta值為：這表明，%（即＄127，800，000）應(yīng)該被賣出并投資于無風險證券。（d）此時，每份看跌期權(quán)的delta值為看跌期權(quán)總頭寸的delta值為－450，000=－170，000。所以初始頭寸應(yīng)該為：份指數(shù)期貨合約空頭。 證明代入Θ，Δ，Γ和f，等式（）在以下情況仍成立： （a）不分紅股票的歐式看漲期權(quán) （b）不分紅股票的歐式看漲期權(quán) （c）任何不分紅股票的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的組合。解：（a）對于不分紅股票的歐式看漲期權(quán)，等式左邊等于：（b）對于不分紅股票的歐式看跌期權(quán)，等式左邊等于：（c）對于期權(quán)組合，П，Δ，Θ和Γ是證券組合中的單個期權(quán)的價值的總和，因此。 與等式（）相對應(yīng)的一種貨