【正文】 率比無風(fēng)險(xiǎn)利率少8%，即為－2%。（d）9個(gè)月期指數(shù)期貨合約的delta值為當(dāng)前空頭頭寸必須為除以指數(shù)，所以，空頭頭寸為：份期貨合約。應(yīng)用到本題情況，該基金經(jīng)理應(yīng)該：1） 賣出360 =＄354，640，000的股票2） 買入300，000份Samp。該組合以及Samp。P500來反映，價(jià)值＄9000萬。美元的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8%，日元的無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5%，日元的年波動(dòng)率為15%。 一家金融機(jī)構(gòu)擁有一種貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的空頭頭寸組合。若使用一年期期貨，=，所以，=。解： 前者指的是期貨delta值，后者指的是現(xiàn)貨delta值。 1000個(gè)白銀期貨的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸的delta值為多少？該期權(quán)有 效期為8個(gè)月，期權(quán)的標(biāo)的期貨合約有效期為9個(gè)月?？紤]下面兩種情況： （a）在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格由＄20穩(wěn)定增長至＄35 （b）股票價(jià)格波動(dòng)劇烈，最終價(jià)格為＄35 請解釋哪種方案使合成的期權(quán)更值錢？解釋你的答案。（b）再次對(duì)S求二階偏導(dǎo)表示：歐式看跌期權(quán)的gamma值與對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)的gamma值相等。估計(jì)股票被買入或賣出的預(yù)期次數(shù)。因?yàn)樗麄儫o法足夠快的賣出股票或者指數(shù)期貨以保護(hù)原頭寸免遭損失。解： 要為一個(gè)期權(quán)套期保值，必須構(gòu)造一個(gè)數(shù)量相同、頭寸方向相反的合成期權(quán)。 期權(quán)頭寸的gamma是代表什么？當(dāng)一個(gè)期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大的負(fù)值時(shí)，并且delta為零，其風(fēng)險(xiǎn)是什么？解：Gamma代表某種標(biāo)的資產(chǎn)的衍生證券組合的delta變化相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的比率。1000個(gè)看漲期權(quán)空頭其Delta是700，可以購買700股使之變成Delta中性。解：由題意可假設(shè)現(xiàn)時(shí)刻一股IBM股票剛好可兌換兩股柯達(dá)股票，那么六個(gè)月后一股IBM股票兌兩股柯達(dá)股票的期權(quán)價(jià)格即是后者與前者的遠(yuǎn)期價(jià)格之差，令SS20分別是IBM股票和柯達(dá)股票的現(xiàn)時(shí)刻價(jià)格，即S10=2S20；再令mm2分別是兩股票的預(yù)期增長率，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中兩者的預(yù)期增長率為m1 、 m1 ， IBM股票和柯達(dá)股票六個(gè)月的遠(yuǎn)期價(jià)格為S10 、 S20 所以在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中期權(quán)價(jià)格為2S20 S10 ，即與利率無關(guān)，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理將其應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)世界中同樣成立，其波動(dòng)率為一常數(shù)，無風(fēng)險(xiǎn)收益率也為常數(shù)。當(dāng)用擴(kuò)展后的風(fēng)險(xiǎn)中性原理估計(jì)一個(gè)衍生工具時(shí)，漂移率是如何被調(diào)整的？解：題中等式可改寫為：，其中是利率的期望增長率，是它的干擾項(xiàng)，那么在風(fēng)險(xiǎn)中性世界期望增長率為因此，過程變?yōu)?，即，所以，漂移率調(diào)整為,其中S1是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的水平，S2是石油的價(jià)格。問在下6個(gè)月中預(yù)期銅價(jià)的相應(yīng)增長率為多少？ 解：由上題知道F=()。解：假設(shè)是從日圓投資者來看的風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望值，是T時(shí)刻用日圓表示的一美圓的價(jià)值，、分別是美圓和日圓的無風(fēng)險(xiǎn)利率，是指數(shù)的紅利收益率，是的瞬時(shí)相關(guān)系數(shù)，是S和Q的波動(dòng)率，F(xiàn)是遠(yuǎn)期價(jià)格 由本章可得如下等式： 、以及所以，遠(yuǎn)期價(jià)格%，年貯存成本為1%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率6%。解：假定兩個(gè)無紅利支付交易證券的價(jià)格分別為S1和S2，而依賴于它們的衍生工具的價(jià)格為f，可以得到如下等式：dS1=u1S1dt+1S1dz1 。其價(jià)值主要依賴于如下兩個(gè)隨機(jī)變量：石油的價(jià)格和以探明石油的儲(chǔ)存量。若銅的價(jià)格固定，則該證券的波動(dòng)率為每年8%；如果日元對(duì)美元的匯率固定，則該證券的波動(dòng)率為每年12%。Ch13？解： 不是可交換證券價(jià)格的變量的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格是通過求可交換證券的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格而來，但必須滿足該可交換證券的價(jià)格與不是可交換證券價(jià)格的變量瞬態(tài)完全正相關(guān)。無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年7%。討論：這兩個(gè)變量中的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格為正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零？解：第二個(gè)變量的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格為0。 dS2=u2S2dt+2S2dz2又根據(jù)Ito定理可得式： 由 可得 所以，根據(jù)無風(fēng)險(xiǎn)組合特性：我們可以得到等式：因此。豆油價(jià)格期望增長率為0。而=，s=, =, F== 可求得()==，()=，所以m=即期望增長率為負(fù)百分之三。假設(shè)S1和S2都遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)且不相關(guān)。證明在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中：其中為時(shí)刻商品的價(jià)值，是到期日時(shí)刻期貨合約的價(jià)格。 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10%，股票價(jià)格的年波動(dòng)率為25%，計(jì)算標(biāo)的物為不分紅股票，6個(gè)月期兩平期權(quán)歐式看漲期權(quán)的delta值。當(dāng)一個(gè)期權(quán)空頭頭寸的gamma為很大負(fù)值，而delta為0，風(fēng)險(xiǎn)在于：如果資產(chǎn)價(jià)格有大的變化（上升或下降），該交易者會(huì)遭受巨大損失。比如說，要為一個(gè)看跌期權(quán)多頭套期保值，就必須構(gòu)造一個(gè)合成看跌期權(quán)的空頭。1987年10月19日，市場下跌的太快，以至于證券組合不能及時(shí)做出反應(yīng)。解：在該策略中，交易者每次買賣股票要花費(fèi)＄1/8，預(yù)期總成本是＄4，意味著：股票買賣次數(shù)大約為32次。（c）對(duì)σ求偏導(dǎo)表示：歐式看漲期權(quán)的vega值與對(duì)應(yīng)的歐式看跌期權(quán)的vega值相等。解： 該策略為買高賣低。當(dāng)前9個(gè)月期的白銀期貨價(jià)格為每盎司＄，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為每盎司＄，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%，白銀價(jià)格的年波動(dòng)率為18%。對(duì)于前者，從上題的答案得出，要進(jìn)行delta套期保值。 一家公司打算對(duì)一個(gè)貨幣的看漲看跌期權(quán)組成的多頭頭寸組合進(jìn)行delta套期保值。解： 無論是看跌期權(quán)還是看漲期權(quán)，空頭頭寸都有負(fù)的gamma值，意味著，對(duì)于套期保值者，股票價(jià)格大幅波動(dòng)比穩(wěn)定的效果要差。計(jì)算并解釋說明期權(quán)的delta，vega，theta和rho。Samp。P500的紅利率為3%，指數(shù)的年波動(dòng)率為30%。P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1140，期限為6個(gè)月3） 投資剩余現(xiàn)金到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)獲得每年6%的無風(fēng)險(xiǎn)利率。 ，年紅利率為4%。既然紅利率為3%，可以預(yù)測市場指數(shù)每年下降5%，%，市場預(yù)計(jì)會(huì)下降到1170。P500看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)1170，執(zhí)行期6個(gè)月；3：投資剩余現(xiàn)金于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。所以初始頭寸應(yīng)該為：份指數(shù)期貨合約空頭。貨幣衍生產(chǎn)品組合的微分等式為：因此：類似的，對(duì)于獨(dú)立于期貨價(jià)格的衍生產(chǎn)品組合， 假設(shè)要為＄700億的權(quán)益資產(chǎn)組合做個(gè)保險(xiǎn)計(jì)劃。其他參數(shù)估計(jì)為r=，σ=，q=。Ch1Gamma、Vega、Theta和Rho參數(shù)，哪一個(gè)可以通過構(gòu)造單一的二叉樹圖來估值？解：由式（）、（）和（），Delta、Gamma和Theta可以通過構(gòu)造單一的二叉樹圖直接估值；由Vega的定義知，可以通過對(duì)股價(jià)波動(dòng)率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個(gè)二叉樹圖間接估值；由Rho的定義知，可以通過對(duì)利率的微調(diào)，然后重新構(gòu)造一個(gè)二叉樹圖間接估值。 請解釋當(dāng)用樹圖法估計(jì)美式期權(quán)價(jià)值時(shí)，如何應(yīng)用控制變量技術(shù)。（記為） 美式期權(quán)價(jià)格的估計(jì)值是。，其最終收益為期權(quán)有效期期末的股票價(jià)格高出有效期期中最低股價(jià)的部分。“對(duì)于支付紅利的股票，其股價(jià)的樹圖不重合，但從股價(jià)中減去將來的紅利的現(xiàn)值之后，其樹圖重合。但是，當(dāng)開始時(shí)就將將來的紅利的現(xiàn)值從股價(jià)中剔除后（即減去將來的紅利的現(xiàn)值后），其樹圖必然重合。當(dāng)用二叉樹方法對(duì)期權(quán)定價(jià)時(shí)，二叉樹圖的形態(tài)僅依賴于、故標(biāo)的股指的紅利收益率為時(shí)間的函數(shù)與其為常數(shù)所用的二叉樹圖的形態(tài)相同，不同的是在計(jì)算每個(gè)不同時(shí)間對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處的期權(quán)的價(jià)值時(shí)，值應(yīng)該隨著時(shí)間作相應(yīng)的調(diào)整，然后重復(fù)與收益率為常數(shù)時(shí)計(jì)算期權(quán)價(jià)值的程序?？傊?，蒙特卡羅模擬是沿著時(shí)間從到順次進(jìn)行的，不適用于于美式衍生證券的定價(jià)。用樹圖方法對(duì)該期權(quán)定價(jià)。（3） 用Black—Scholes公式對(duì)該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)定價(jià)如下：故該看跌期權(quán)對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)價(jià)格為：+=。無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12%，期貨價(jià)格的波動(dòng)率為年率25%。請估計(jì)該期權(quán)的Delta參數(shù)。（4） 對(duì)應(yīng)于（1）的 Delta參數(shù)為： 對(duì)應(yīng)于（2）的 Delta參數(shù)為： 對(duì)應(yīng)于（3）的 Delta參數(shù)為： 故用控制變量法計(jì)算出的Delta參數(shù)修正值為：注：保留小數(shù)點(diǎn)后四位有效數(shù)字。請將該有效期等分為四個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期半個(gè)月。該股價(jià)的市價(jià)為30美元，執(zhí)行價(jià)格為34美元，無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率10%，不支付紅利的股價(jià)部分的波動(dòng)率為年率30%。用該樹圖估計(jì)該期權(quán)的Delta和Theta參數(shù)。并可估計(jì)Delta和Theta參數(shù)分別如下： （2）Black近似方法計(jì)算該股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格： 由于 故存在提前執(zhí)行的可能。 （2）使用和（1）相同的參數(shù)和相同的二叉樹圖計(jì)算對(duì)應(yīng)的歐式期權(quán)的Delta 值，不妨記為Δ*E。解：（1）在本題中，由于股價(jià)及其波動(dòng)率均為隨機(jī)變量，故蒙特卡羅模擬需要來自于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)樣本集：第一個(gè)樣本集用來模擬及產(chǎn)生股價(jià)波動(dòng)率的運(yùn)動(dòng)，第二個(gè)樣本集是在股價(jià)波動(dòng)率運(yùn)動(dòng)確定的條件下用來模擬及產(chǎn)生股價(jià)的運(yùn)動(dòng)。記股價(jià)波動(dòng)率樣本集為和（與為對(duì)偶變量，即），記股價(jià)樣本集為和 （與為對(duì)偶變量，即）, 由此可知，單獨(dú)使用對(duì)偶變量技術(shù)時(shí)，需要進(jìn)行4次模擬。 模擬5：使用樣本和。請用外推有限差分方法為該期權(quán)估值。，假設(shè)一年中利率的期限結(jié)構(gòu)是水平的，并且 其中,和為已知常數(shù)，為一年內(nèi)到期的利率；為一個(gè)Wiener過程。在用二叉樹圖方法表示的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于參數(shù) 故二叉樹圖中的不受的運(yùn)動(dòng)的影響，但受的運(yùn)動(dòng)的影響，隨著的變化, 的值并不能保證在0到1之間，即有可能為負(fù)值或大于1，這必將影響最終結(jié)果的計(jì)算。在構(gòu)造二叉樹圖模型時(shí)，請將該有效期等分為4個(gè)時(shí)間段，每個(gè)時(shí)間段為期3個(gè)月。 對(duì)應(yīng)第2個(gè)季度的參數(shù)是: 對(duì)應(yīng)第3個(gè)季度的參數(shù)是: 對(duì)應(yīng)第4個(gè)季度的參數(shù)是: ： 。，如何應(yīng)用有限差分方法？解：在紅利已知的情況下。當(dāng)股價(jià)高于或等于18美元時(shí)，公司可提前贖回債券并強(qiáng)制轉(zhuǎn)換。需要考慮的股價(jià)的最高價(jià)格 等于18美元，如果股價(jià)到了，則可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值為36美元。設(shè)樣本i和樣本j的相關(guān)系數(shù)為ρi,j。在重新設(shè)定日，3個(gè)月期的LIBOR為年率12%。？解：由于互換期權(quán)賦予持有者在未來某個(gè)確定的時(shí)間使用某個(gè)固定的利率進(jìn)行利率互換的權(quán)利，而利率互換可以認(rèn)為是固定利率債券和浮動(dòng)利率債券的交換，因此互換期權(quán)是一種交換固定利率債券和浮動(dòng)利率債券的權(quán)利。解：對(duì)某個(gè)特定的抵押擔(dān)保證券提供的經(jīng)過期權(quán)調(diào)整的差價(jià)是155個(gè)基本點(diǎn)，即指在考慮了抵押擔(dān)保證券中所有關(guān)于期權(quán)的因素后，%。，為年復(fù)利8%。用Black模型為該互換期權(quán)定價(jià)。解：假設(shè)僅當(dāng)浮動(dòng)參照利率高于同時(shí)低于（）時(shí)才發(fā)生固定利率支付，則該條件累計(jì)互換可以看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)互換加上兩個(gè)一系列的兩值期權(quán)，再互換有效期限內(nèi)的每天都有一個(gè)兩值期權(quán)。盈虧 在這些利率出現(xiàn)后的90天發(fā)生。解：（A）當(dāng)使用遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動(dòng)率為5年期利率上限估值時(shí)，對(duì)每一個(gè)利率期權(quán)元使用不同的波動(dòng)率估值，此時(shí)遠(yuǎn)期的遠(yuǎn)期波動(dòng)率將作為利率期權(quán)元到期日的一個(gè)函數(shù)。這段時(shí)間內(nèi)的利率波動(dòng)率為年率12%（按季度復(fù)利報(bào)價(jià)），%（按連續(xù)復(fù)利計(jì)算），遠(yuǎn)期利率的波動(dòng)率為年率12%。在9年時(shí)間內(nèi)得到的1年債券價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差的正常期望值將小于5年時(shí)間內(nèi)得到的5年債券價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差的正常期望值，因此最后的結(jié)果是偏高。使用Black模型為該期權(quán)定價(jià)。請說明如何理解這些結(jié)果。，本金為1000美元。按季度計(jì)復(fù)利的上限為8%。期權(quán)價(jià)值總是期權(quán)到期日的增函數(shù)嗎？請解釋?！吹絻r(jià)關(guān)系。組合B：一份該債券的歐式看漲期權(quán)多頭和大小為期權(quán)有效期內(nèi)債券利息支付的現(xiàn)值與債券執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值之和的現(xiàn)金，并將現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資。若債券價(jià)格下跌到。（2）。則在期權(quán)到期日： 若債券價(jià)格上漲到 。對(duì)于組合C，則執(zhí)行債券的看跌期權(quán)，以執(zhí)行價(jià)格 將持有的一份債券賣出（先交割債券遠(yuǎn)期合約，以現(xiàn)金購入一份債券），最終組合C的總價(jià)值為；對(duì)于組合D，則放棄執(zhí)行債券的看漲期權(quán)，最終組合D的總價(jià)值也為。解：歐洲互換期權(quán)之間的看漲—看跌平價(jià)關(guān)系是： 其中：是支付固定利率收到浮動(dòng)利率的互換的看漲期權(quán)的價(jià)格，是支付浮動(dòng)利率收到固定利率的看跌期權(quán)的價(jià)格，是以支付浮動(dòng)利率收到固定利率的互換期權(quán)為標(biāo)的物的遠(yuǎn)期合約的價(jià)值。此時(shí)看漲期權(quán)將執(zhí)行，看跌期權(quán)放棄執(zhí)行，則 組合A與組合B在到期日的價(jià)值均為0。反之，如果利率上限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率不等于利率下限隱含Black（平坦的）波動(dòng)率，則上式不成利，即此時(shí)存在套利機(jī)會(huì)。這使得輸入到Black模型的值有什么不同？解： 這使得輸入到Black模型的值有以下兩方面的不同：（1）折現(xiàn)時(shí)間將使用1年，而不是15個(gè)月（）。計(jì)算如下金融工具的價(jià)值：在5年內(nèi)，收取2年期互換率（年復(fù)利），支付10%的固定利率。事實(shí)上，可以計(jì)算該金融工具的真實(shí)價(jià)值。，支付日的浮動(dòng)利率的支付額是前一支付日的浮動(dòng)利率計(jì)算而得的。Ch171．均衡模型和無套利模型的區(qū)別是什么？解：,無風(fēng)險(xiǎn)利率被設(shè)計(jì)成與初始期限結(jié)構(gòu)相符.2．如果某個(gè)股票價(jià)格為均值回復(fù)或遵循某種路徑依賴過程，就存在某種套利機(jī)會(huì)。第二個(gè)不確定因素導(dǎo)致長期利率和短期利率朝相