【正文】 從而 ，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= 1,計(jì)算：Cov（3X 2Y+1，X+4Y 3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類(lèi)似).（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|≤1時(shí)， 當(dāng)|y|≤1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.（X，Y）的分布律為XY 1 0 1 1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表101X 101 PY 101 PXY 101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知ρXY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨(dú)立的.（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），ρXY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 （X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)ρXY.【解】 從而同理 又 故 （X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X 2Y和Z2=2X Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 ，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.這一不等式稱(chēng)為柯西許瓦茲（Couchy Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見(jiàn)此關(guān)于t的二次式非負(fù)，故其判別式Δ≤0，即 故=1/，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開(kāi)機(jī)后無(wú)故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間X~E(λ),E(X)==5.依題意Y=min(X,2).對(duì)于y0,f(y)=P{Y≤y}=0.對(duì)于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.對(duì)于0≤y2,當(dāng)x≥0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無(wú)故障的概率分布為P{X≤x}=1 e λx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1 e y/5.、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 （毫米）服從正態(tài)分布N（μ,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，銷(xiāo)售每件不合格品虧損，已知銷(xiāo)售利潤(rùn)T（單位：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問(wèn)：平均直徑μ取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？ 【解】 故得 兩邊取對(duì)數(shù)有解得 (毫米)由此可得，當(dāng)u=，平均利潤(rùn)最大.f(x)=對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于π/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 及,所以,從而，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái)，=T1+T2的概率密度f(wàn)T(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知：因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t0時(shí)，fT(t)=0。當(dāng)t≥0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故Z~N（0，1）.因 而 ，所以 .(0p1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，求E（X）和D（X）. 【解】記q=1 p, X的概率分布為P{X=i}=qi 1p,i=1,2,…，故又 所以 題29圖（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY) E(X)E(Y)].由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 [ 2,2]上服從均勻分布，隨機(jī)變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計(jì)算（X，Y）的4個(gè)可能取值( 1, 1),( 1,1),(1, 1)及(1,1)的概率.P{x= 1,Y= 1}=P{U≤ 1,U≤1} P{X= 1,Y=1}=P{U≤ 1,U1}=P{}=0,P{X=1,Y= 1}=P{U 1,U≤1}.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以(x)=，（ ∞x+∞）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并問(wèn)X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問(wèn)X與|X|是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對(duì)定義域 ∞x+∞中的子區(qū)間（0,+∞）上給出任意點(diǎn)x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)ρXY= 1/2，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)ρXZ；（3） 問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，所以X與Z也相互獨(dú)立.，. 【解】由條件知X+Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=,從而有 所以 故= 1.YX 1 0 101 試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ. 【解】由已知知E(X)=,E(Y)=，而XY的概率分布為YX 101P所以E（XY）= +=Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y)= =0從而 =0，0P(A)1，0P(B)1,則稱(chēng)ρ=：（1） 事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. 【證】（1）由ρ的定義知，ρ=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) P(A)P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨(dú)立的定義，即ρ=0是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2) 引入隨機(jī)變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從0 1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(),D(Y)=P(B)P(),Cov(X,Y)=P(AB) P(A)P(B)所以，|ρ|≤1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度f(wàn)Y(y)；(2) Cov(X,Y)。(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y≤0時(shí)， ，；當(dāng)0＜y＜1時(shí)，；當(dāng)1≤y4時(shí)， ；當(dāng)y≥4時(shí)，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .習(xí)題五，{10X18}.【解】設(shè)表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨(dú)立同分布.從而 所以 2. %與84%之間的概率不小于90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,…,n,且X1，X2，…，Xn獨(dú)立同分布，p=P{Xi=1}=.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥, 故取n=269.3. 某車(chē)間有同型號(hào)機(jī)床200部，假定各機(jī)床開(kāi)動(dòng)與否互不影響，%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車(chē)間同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過(guò)m的概率為95%,，則X~B（200，）, 查表知 ,m=151.所以供電能15115=2265（單位）.4. 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk（k=1，2，…，20），設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0，10）=，求P{V＞105}的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20由中心極限定理知，隨機(jī)變量于是 即有 P{V105}≈5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%，問(wèn)其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則X~B（100，）從而 6. 某藥廠斷言，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） ，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少？（2） ，問(wèn)接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1) X~B(100,)， (2) X~B(100,)， 7. ，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=,n=1000,X~B(1000,)，E(X)=50，D(X)=.故 8. ，…，T30服從參數(shù)λ=[單位：（小時(shí)）1]的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，求T超過(guò)350小時(shí)的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計(jì)劃中一年至少需多少元才能以95%的概率