立體幾何證明題專題教師版資料-資料下載頁
2025-03-25 06:44本頁面
【正文】 棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB ＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；(3)AM＝MA1是截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由．【證明】 (1)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，且交線為BC，∴由面面垂直的性質(zhì)定理可知AD⊥側(cè)面BB1C1C.又∵CC1?側(cè)面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)方法一 取BC1的中點(diǎn)E，連接DE、△BCC1中，D、E分別是BC、BC1的中點(diǎn)．∴DE綊CC1.又AA1綊CC1，∴DE綊AA1.∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)(由AM＝MA1知)，∴DE綊AM.∴AMED是平行四邊形，∴AD綊ME.由(1)知AD⊥面BB1C1C，∴ME⊥側(cè)面BB1C1C.又∵M(jìn)E?面BMC1，∴面BMC1⊥側(cè)面BB1C1C.方法二 延長B1A1與BM交于N(在側(cè)面AA1B1B中)，連接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.又∵AB＝AC，由棱柱定義知△ABC≌△A1B1C1.∴AB＝A1B1，AC＝A1C1.∴A1C1＝A1N＝A1B1.在△B1C1N中，由平面幾何定理知：∠NC1B1＝90176。，即C1N⊥B1C1.又∵側(cè)面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交線為B1C1，∴NC1⊥側(cè)面BB1C1C.又∵NC1?面BNC1，∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明．下面僅證明必要性(即由截面BMC1⊥側(cè)面BB1C1C推出AM＝MA1，實(shí)質(zhì)是證明M是AA1的中點(diǎn))，過M作ME1⊥BC1于E1.∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，交線為BC1.∴ME1⊥(1)知AD⊥側(cè)面BB1C1C，∵垂直于同一個平面的兩條直線平行，∴AD∥ME1，∴M、ED、A四點(diǎn)共面．又∵AM∥側(cè)面BB1C1C，面AME1D∩面BB1C1C＝DE1，∴由線面平行的性質(zhì)定理可知AM∥DE1.又AD∥ME1，∴四邊形AME1D是平行四邊形．∴AD＝ME1，DE1綊AM.又∵AM∥CC1，∴DE1∥CC1.又∵D是BC的中點(diǎn)，∴E1是BC1的中點(diǎn)．∴DE1＝CC1＝AA1.∴AM＝AA1，∴MA＝MA1.∴AM＝MA1是截面MBC1⊥側(cè)面BB1CC1的充要條件．考點(diǎn)8：平行與垂直的綜合問題，在直角梯形ABEF中，將DCEF沿CD折起使∠FDA＝60176。，得到一個空間幾何體． (1)求證：BE∥平面ADF；(2)求證：AF⊥平面ABCD；(3)求三棱錐E—BCD的體積．【解析】 (1)由已知條件，可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關(guān)系不變．又因?yàn)锽C?平面ADF，AD?平面ADF，所以BC∥∥平面ADF.又因?yàn)锽C∩CE＝C，BC，CE?平面BCE，所以平面BCE∥平面ADF.所以BE∥平面ADF.(2)由于∠FDA＝60176。，F(xiàn)D＝2，AD＝1，所以AF2＝FD2＋AD2－2FDADcosFDA＝4＋1－221＝3.即AF＝.所以AF2＋AD2＝⊥AD.又因?yàn)镈C⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD＝D，所以DC⊥?平面ADF，所以DC⊥AF.因?yàn)锳D∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD，所以AF⊥平面ABCD.(3)因?yàn)镈C⊥EC，DC⊥BC，EC，BC?平面EBC，EC∩BC＝C，所以DC⊥∥EC，AD∥BC，∠FDA＝60176。，所以∠ECB＝60176。.又因?yàn)镋C＝1，BC＝1，所以S△ECB＝11＝.所以VE－BCD＝VD－EBC＝DCS△ECB＝1＝.，在Rt△ABC中，∠C＝90176。，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如圖2.1求證：DE∥平面A1CB；2求證：A1F⊥BE；3線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C⊥平面DEQ？說明理由．【解析】 (1)因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又因?yàn)镈E?平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因?yàn)锳1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C⊥：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，連接PQ，QE，PD，則PQ∥BC.因?yàn)镈E∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.從而A1C⊥平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C⊥平面DEQ.，四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為矩形，△PAD為等腰三角形，∠APD＝90176。，平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．1證明：EF∥平面PAD；2證明：平面PDC⊥平面PAD；3求四棱錐P—ABCD的體積．解析 (1)證明：如圖，連接AC.∵四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn)，∴F也是AC的中點(diǎn)．又E是PC的中點(diǎn)，EF∥AP，∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，∴EF∥平面PAD. (2)證明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.(3).∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，∴PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P—ABCD的高．∵AD＝2，∴PO＝＝1，∴四棱錐P—ABCD的體積V＝POABAD＝.21
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