【正文】 直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝.∴VA－CDEF＝S四邊形CDEF∴A1D2＋DE2＝A1E2.∴x＝.∴D為AB的中點．∴CD⊥AB.又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面A1ABB1.，長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中點，E是棱AA1上任意一點．1證明：BD⊥EC1；2如果AB＝2，AE＝，OE⊥EC1，求AA1的長．【解析】　(1)如圖，連接AC，A1C1，AC與BD相交于點O.由底面是正方形知，BD⊥AC.因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD.又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.再由EC1?平面AA1C1C知，BD⊥EC1.(2)設AA1的長為h，連接OC1.在Rt△OAE中，AE＝，AO＝，故OE2＝()2＋()2＝4.在Rt△EA1C1中，A1E＝h－，A1C1＝2.故EC＝(h－)2＋(2)2.在Rt△OCC1中，OC＝，CC1＝h，OC＝h2＋()2.因為OE⊥EC1，所以OE2＋EC＝OC.即4＋(h－)2＋(2)2＝h2＋()2，解得h＝.考點7：面面垂直1.△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點，求證：①DE＝DA；②平面BDM⊥平面ECA；③平面DEA⊥平面ECA.【證明】　①取EC的中點F，連接DF.∵BD∥CE，∴DB⊥⊥BC，在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝EC＝BD，F(xiàn)D＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，∴DE＝DA.②取CA的中點N，連接MN、BN，則MN綊EC.∴MN∥BD，∴N點在平面BDM內(nèi)．∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.③∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.⊥平面ABC，平面PAC⊥⊥平面PBC，E為垂足．①求證：PA⊥平面ABC；②當E為△PBC的垂心時，求證：△ABC是直角三角形．【證明】?、僭谄矫鍭BC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又PA?平面PAC，∴DF⊥⊥AB于G，同理可證：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC內(nèi)，∴PA⊥平面ABC.②連接BE并延長交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂線，PC?平面PBC，∴PC⊥∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB?平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.又AC?平面PAC，∴AB⊥AC.即△ABC是直角三角形．，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB ＝AC，側面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；(2)過側面BB1C1C的對角線BC1的平面交側棱于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側面BB1C1C；(3)AM＝MA1是截面MBC1⊥側面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由．【證明】　(1)∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側面BB1C1C，且交線為BC，∴由面面垂直的性質(zhì)定理可知AD⊥側面BB1C1C.又∵CC1?側面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)方法一　取BC1的中點E，連接DE、△BCC1中，D、E分別是BC、BC1的中點．∴DE綊CC1.又AA1綊CC1，∴DE綊AA1.∵M是AA1的中點(由AM＝MA1知)，∴DE綊AM.∴AMED是平行四邊形，∴AD綊ME.由(1)知AD⊥面BB1C1C，∴ME⊥側面BB1C1C.又∵ME?面BMC1，∴面BMC1⊥側面BB1C1C.方法二　延長B1A1與BM交于N(在側面AA1B1B中)，連接C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.又∵AB＝AC，由棱柱定義知△ABC≌△A1B1C1.∴AB＝A1B1，AC＝A1C1.∴A1C1＝A1N＝A1B1.在△B1C1N中，由平面幾何定理知：∠NC1B1＝90176。AB所以∠ECB＝60176。故PA＝AC.∵E是PC的中點，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，從而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.，α，β是兩個不同的平面(　　)A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若l⊥α，α⊥β，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案　B解析　A項中由l∥α，l∥β不能確定α與β的位置關系，C項中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l?β，D項由α⊥β，l∥α不能確定l與β的位置關系．，c表示兩條直線，α，β表示兩個平面，下列命題中真命題是 (　　)A．若b?α，c∥α，則b∥c　B．若b?α，b∥c，則c∥αC．若c∥α，c⊥β，則α⊥β D．若c∥α，α⊥β，則c⊥β答案　C解析　如果一條直線平行于一個平面，它不是與平面內(nèi)的所有直線平行，只有部分平行，故A錯；若一條直線與平面內(nèi)的直線平行，該直線不一定與該平面平行，該直線可能是該平面內(nèi)的直線，故B錯；如果一個平面與另一個平面的一條垂線平行，那么這兩個平面垂直，這是一個真命題，故C對；對D來講若c∥α，α⊥β，則c與β的位置關系不定，故選C.7. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90176。AH＝22＝.，b外一點，則過P且與a，b均平行的平面 (　　)A．不存在　　　　　　 B．有且只有一個C．可以有兩個 D．有無數(shù)多個答案　B，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面AA1B1B.【證明】　方法一　如右圖，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交