立體幾何證明題專題教師版資料(參考版)
2025-03-28 06:44本頁面
【正文】 AD＝.21。平面PAD⊥平面ABCD，且AB＝1，AD＝2，E、F分別為PC、BD的中點．1證明：EF∥平面PAD；2證明：平面PDC⊥平面PAD；3求四棱錐P—ABCD的體積．解析 (1)證明：如圖，連接AC.∵四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點，∴F也是AC的中點．又E是PC的中點，EF∥AP，∵EF?平面PAD，PA?平面PAD，∴EF∥平面PAD. (2)證明：∵面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.(3).∵平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等腰直角三角形，∴PO⊥平面ABCD，即PO為四棱錐P—ABCD的高．∵AD＝2，∴PO＝＝1，∴四棱錐P—ABCD的體積V＝PO.又因為EC＝1，BC＝1，所以S△ECB＝11＝.所以VE－BCD＝VD－EBC＝DCS△ECB＝1＝.，在Rt△ABC中，∠C＝90176。FD＝2，AD＝1，所以AF2＝FD2＋AD2－2FDADcosFDA＝4＋1－221＝3.即AF＝.所以AF2＋AD2＝⊥AD.又因為DC⊥FD，DC⊥AD，AD∩FD＝D，所以DC⊥?平面ADF，所以DC⊥AF.因為AD∩DC＝D，AD，DC?平面ABCD，所以AF⊥平面ABCD.(3)因為DC⊥EC，DC⊥BC，EC，BC?平面EBC，EC∩BC＝C，所以DC⊥∥EC，AD∥BC，∠FDA＝60176。即C1N⊥B1C1.又∵側(cè)面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交線為B1C1，∴NC1⊥側(cè)面BB1C1C.又∵NC1?面BNC1，∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C，即截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明．下面僅證明必要性(即由截面BMC1⊥側(cè)面BB1C1C推出AM＝MA1，實質(zhì)是證明M是AA1的中點)，過M作ME1⊥BC1于E1.∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，交線為BC1.∴ME1⊥(1)知AD⊥側(cè)面BB1C1C，∵垂直于同一個平面的兩條直線平行，∴AD∥ME1，∴M、ED、A四點共面．又∵AM∥側(cè)面BB1C1C，面AME1D∩面BB1C1C＝DE1，∴由線面平行的性質(zhì)定理可知AM∥DE1.又AD∥ME1，∴四邊形AME1D是平行四邊形．∴AD＝ME1，DE1綊AM.又∵AM∥CC1，∴DE1∥CC1.又∵D是BC的中點，∴E1是BC1的中點．∴DE1＝CC1＝AA1.∴AM＝AA1，∴MA＝MA1.∴AM＝MA1是截面MBC1⊥側(cè)面BB1CC1的充要條件．考點8：平行與垂直的綜合問題，在直角梯形ABEF中，將DCEF沿CD折起使∠FDA＝60176?！郃B＝2.設(shè)AD＝x，則BD＝2－x.∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(2－x)2，A1E2＝(2)2＋1.∵∠A1DE＝90176。E為BB1的中點，∠A1DE＝90176。PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【證明】 (1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，故CD⊥平面PAC，AE?平面PAC.故CD⊥AE.(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60176。AH＝22＝.，b外一點，則過P且與a，b均平行的平面 ( )A．不存在 B．有且只有一個C．可以有兩個 D．有無數(shù)多個答案 B，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM＝DN，求證：MN∥平面AA1B1B.【證明】 方法一 如右圖，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F，連接EF，則EF?平面AA1B1B.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵＝，＝，∴＝＝，∴ME＝NF.又ME∥BC∥AD∥NF，∴MEFN為平行四邊形．∴NM∥∵MN?面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法二 如圖，連接CN并延長交BA的延長線于點P，連接B1P，則B1P?平面AA1B1B.∵△NDC∽△NBP，∴＝.又CM＝DN，B1C＝BD，＝＝，∴MN∥B1P.∵B1P?平面AA1B1B，∴MN∥平面AA1B1B.方法三 如右圖，作MP∥BB1，交BC于點P，連接NP.∵MP∥BB1，∴＝.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN.∵＝，∴＝，∴NP∥DC∥AB.∴平面MNP∥平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、BC的中點．(1)求證：PA∥平面EFG；(2)求三棱錐P—EFG的體積．解析 (1)證明 如圖，取AD的中點H，連接GH，F(xiàn)H.∵E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，∴EF∥CD.∵G，H分別是BC，AD的中點，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，H，G四點共面．∵F，H分別為DP，DA的中點，∴PA∥FH.∵PA?平面EFG，F(xiàn)H?平面EFG，∴PA∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，CG?平面ABCD，∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴S△PEF＝EF立體幾何證明題考點1：點線面的位置關(guān)系及平面的性質(zhì)：①空間不同三點確定一個平面；②有三個公共點的兩個平面必重合；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同一直線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；⑧兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的命題是________．【解析】 由公理3知，不共線的三點才能確定一個平面，所以知命題①錯，②中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個公共點共線時)，②錯．③
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